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全国高中数学联赛模拟卷(6)


全国高中数学联赛模拟卷(6)第一试
(考试时间:80 分钟 学校 .姓名 满分:120 分) .得分 .

一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) (1)设函数 f ( x ) ? ? 则 f (lg (lg 2 )) ?
?
x

1

? a ?1

?

1? ,若 f (lg (lo g 8 1 0 0 0 )) ? 8 , ? c o s x ? b s in x ? 6 ( a , b 为常数且 a ? 1 ) 2?



(2)不等式 3 x ? 4 x y ? 4 a ( x ? y ) 对于一切正数 x , y 恒成立,则实数 a 的最小值为



(3)一个班级有 n ( n ? 3 0 ) 个学生,已知任选一个女生是优等生的概率为 生的概率为
4 11

3 13

,任选一个男生是优等

,则任选一个学生是优等生的概率为



(4)在 △ A B C 中, c o s

C 2

?

2 5 5

, H 为 B C 边上一点,且 A H ? B C ? 0 , A B ? ( C A ? C B ) ? 0 ,则 .

???? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

过点 C ,以 A , H 为两焦点的双曲线的离心率为

2009 ? 被 7 除的余数为 (5) 已知方程 x ? 7 x ? 1 ? 0 的最大实根为 t , ? t 则? ?

3

2

. 其中 ? x ?

表示不超过 x 的最大整数.

(6)设 ( x ? 2 x ? 2 ) ? a 0 ? a 1 ( x ? 2 ) ? a 2 ( x ? 2 ) ? ? ? a 1 2 ( x ? 2 ) ,其中 a i ( i ? 1, 2 , ? ,1 2 ) 为实常
2 6 2 12

数,则 a 0 ? a 1 ? 2 a 2 ? ? ? 1 2 a 1 2 ?



(7) 已知四棱锥 S ? A B C D 的顶点 S 在底面的射影恰好是底面四边形两对角线的交点 O , S ? , 若O t
V S ? A D O ? m , V S ? O B C ? n ,则 V S ? A B C D 的最小值为
2 2



(8)一个五位数 a b c d e 满足 a ? b , b ? c ? d , d ? e 且 a ? d , b ? e (如 3 7 2 0 1 、 4 5 4 1 2 等) ,则 称 a b c d e 为“好数” ,则“好数”共有 个.

1

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10 题、第 11 题 20 分,共 56 分) (9)已知函数 f ( x ) ?
1 2 m x ? 2 x ? 1 ? ln ( x ? 1)( m ? 1) .
2

(Ⅰ)若曲线 C : y ? f ( x ) 在点 P (0,1) 处的切线 l 与 C 有且只有一个公共点,求 m 的值; (Ⅱ)求证:函数 f ( x ) 存在单减区间 [ a , b ] ,并求出单减区间的长度 t ? b ? a 的取值范围.

2

(10) (Ⅰ)已知 x1 , x 2 , x 3 ? R ,求证: x1 ? x 2 ? x 3 ?
2 2 2

2 ( x1 x 2 ? x 2 x 3 ) ,并说明等号成立的条件;
2 2 2 2

(Ⅱ)已知实数 a 使得对于任意实数 x1 , x 2 , x 3 , x 4 ,不等式 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? a ( x1 x 2 ? x 2 x 3 ? x 3 x 4 ) 都 成立,求 a 的最大值.

3

(11)已知直线 y ? x 与椭圆 C :

x

2

?

y

2

? 1 交于 A , B 两点,过椭圆 C 的右焦点 F 、倾斜角为 ? 的

16

11

直线 l 交弦 A B 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (Ⅰ)用 ? 表示四边形 M A N B 的面积; (Ⅱ)求四边形 M A N B 的面积取到最大值时直线 l 的方程.

4

全国高中数学联赛模拟卷(6)加试
(加试时间:150 分钟 学校 一、 (本题满分 40 分) 如图, 已知 △ A B C 的内切圆分别切三边 B C , C A , A B 于点 D , E , F , 直线 D E 交 △ A B C 的外接圆 ? 于 点 P , Q , M 为线段 A B 的中点.求证: P , Q , F , M 四点共圆. .姓名 满分:180 分) .得分 .

P

C

D E

Q
B M F A

5

二、 (本题满分 40 分) 求证:存在唯一的正整数数列 a 1 , a 2 , ? ,使得 a 1 ? 1 , a 2 ? 1 ,且对任意 n ? 1, 2 , ? ,满足
a n ? 1 ( a n ? 1 ? 1) ? anan?2
3

anan?2 ? 1 ? 1

?1.

6

三、 (本题满分 50 分) 一次足球邀请赛共安排了 n 支球队参加,每支球队预定的比赛场数分别是 m 1 , m 2 , ? , m n ,如果任两支 球队之间至多安排了一场比赛,则称 ( m 1 , m 2 , ? , m n ) 是一个有效安排. 证明:如果 ( m 1 , m 2 , ? , m n ) 是一个有效安排,且 m 1 ? m 2 ? ? ? m n ,则可去掉一支球队,并重新调 整各队之间的对局情况,使得 ( m 2 ? 1, m 3 ? 1, ? , m m
1

?1

? 1, m m

1

?2

, ? , m n ) 也是一个有效安排.

7

四、 (本题满分 50 分) 求所有的素数 p ,使得
2
p ?11
3

?1

为整数.

p

8

9

10

11

12

13


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