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等比数列知识点总结 (1)


等比数列
知识梳理: 1、等比数列的定义: 2、通项公式:

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

an ? a1q n ?1 ?

a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
n?m

推广: an ? am q 3、等比中项:

? q n?m ?

an a ? q ? n?m n am am
2

A ? ab 或 A ? ? ab (1) 如果 a, A, b 成等比数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项, 即: 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项 互为相反数)
(2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2)当 q ? 1 时, Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

?
5、等比数列的判定方法:

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A '( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

(1)用定义:对任意的 n ,都有 an ?1 ? qan或 等比数列

an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为 an

(2)等比中项: an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? B 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若
n

? A? B ? 0? ? {an} 为等比数列

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1

7、等比数列的性质:

(1)当 q ? 1 时 ①等比数列通项公式 an ? a1q 指数函数,底数为公比 q ; ②前 n 项和 S n ?
n ?1

?

a1 n q ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? 是关于 n 的带有系数的类 q

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? a1q n a 1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ,系 1? q 1? q 1? q

数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比 q 。 (2)对任何 m, n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m ,特别的,当 m ? 1 时,便得 到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 ( 3 )若 m ? n ? s ? t( m, n, s, t ? N ) ,则 an ? am ? as ? at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时,得
*

an ? am ? ak2

注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???

(4)数列 {an } ,{bn } 为等比数列,则数列 { 为非零常数)均为等比数列。

a k } ,{k ? an } ,{an k } ,{k ? an ? bn } ,{ n }( k bn an

(5)数列 {an } 为等比数列,每隔 k (k ? N ) 项取出一项 (am , am?k , am?2k , am?3k , ???) 仍为等
*

比数列 (6)如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7)若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n , ??? ,成等比数列 (8)若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an , an?1 ? an?2 ????? a2n , a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 成 等比数列

a1 ? 0,则{an }为递增数列 { (9)①当 q ? 1 时, a1 ? 0,则{an }为递减数列
a1 ? 0,则{an }为递减数列 ②当 0<q ? 1时, a1 ? 0,则{an }为递增数列

{

③当 q ? 1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列) ; ④当 q ? 0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中,当项数为 2n(n ? N ) 时,
*

S奇 1 ? S偶 q

二 例题解析 【例 1】 【2015 高考山东,理 18】设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn ? 3n ? 3 . (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 anbn ? log3 an ,求 ?bn ? 的前 n 项和Tn . 【答案】 (I) an ? ?

?3, n ? 1, ?3 , n ? 1,
n ?1

; (II) Tn ?

13 6n ? 3 ? . 12 4 ? 3n

所以 T1 ? b1 ? 当 n ? 1 时,

1 3

1 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ? ? ?1? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ? ? ? n ? 1? 31? n ? 3
0 ?1 2?n 所以 3Tn ? 1 ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ? 1? 3

?

?

两式相减,得

2Tn ?
?

2 1 ? 31?n 2 ? ? 30 ? 3?1 ? 32? n ? ? ? n ? 1? ? 31? n ? ? ? ? n ? 1? ? 31?n 3 3 1 ? 3?1

13 6n ? 3 ? 6 2 ? 3n 13 6n ? 3 ? 所以 Tn ? 12 4 ? 3n
经检验, n ? 1 时也适合,

综上可得: Tn ?

13 6n ? 3 ? 12 4 ? 3n

【考点定位】1、数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系;2、特殊数列的求和问题. 【名师点睛】 本题考查了数列的基本概念与运算, 意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解 能力,思维的严密性和运算的准确性,在利用 Sn 与通项 an 的关系求 an 的过程中,一定要 注意 n ? 1 的情况,错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求. 三 考点分析

考点一:等比数列定义的应用 4 1 1、数列 ?an ? 满足 an ? ? an ?1 ? n ? 2 ? , a1 ? ,则 a4 ? _________. 3 3
2、 在数列 ?an ? 中, 若 a1 ? 1 ,an?1 ? 2an ? 1? n ? 1? , 则该数列的通项 an ? ______________.

考点二:等比中项的应用
1、已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? ( A. ?4 B. ?6
2

) D. ?10 )

C. ? 8

2、若 a 、 b 、 c 成等比数列,则函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交点的个数为( A. 0 B. 1 C. 2 D.不确定

3、已知数列 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2 , a2 ? a4 ?

20 ,求 ?an ? 的通项公式. 3

考点三:等比数列及其前 n 项和的基本运算 2 9 1 1、若公比为 的等比数列的首项为 ,末项为 ,则这个数列的项数是( ) 8 3 3 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2、 已知等比数列 ?an ? 中,a3 ? 3 ,a10 ? 384 , 则该数列的通项 an ? _________________. 3、若 ?an ? 为等比数列,且 2a4 ? a6 ? a5 ,则公比 q ? ________. 4、设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2 ,则

2a1 ? a2 的值为( 2a3 ? a4



A.

1 4

B.

1 2

C.

1 8

D. 1

1 且 a2+a4+…+a100=30,则 a1+a2+…+a100=______________. 2 考点四:等比数列及其前 n 项和性质的应用
5、等比数列{an}中,公比 q= 1、在等比数列 ?an ? 中,如果 a6 ? 6 , a9 ? 9 ,那么 a3 为( )

3 16 C. 2 9 2、如果 ?1, a , b , c , ?9 成等比数列,那么( ) A. b ? 3 , ac ? 9 B. b ? ?3 , ac ? 9 C. b ? 3 , ac ? ?9 D. b ? ?3 , ac ? ?9
A. 4 B. 3、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a10 ? 3 ,则 a2 a3a4 a5a6a7 a8a9 等于( A. 81 B. 27 5 27 C. 3

D. 2

) D. 243 )
10

4、在等比数列 ?an ? 中, a9 ? a10 ? a ? a ? 0? , a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a100 等于(

b9 A. 8 a

?b? B. ? ? ?a?

9

b10 C. 9 a
2

?b? D. ? ? ?a?

5、 在等比数列 ?an ? 中, 则 a2 a4 a6 的值为 ( a3 和 a5 是二次方程 x ? kx ? 5 ? 0 的两个根, A. 25 B. 5 5 C. ?5 5 D. ?5 5



6、若 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,若 a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 的值等于

?S , (n ? 1) 考点五:公式 an ? ? 1 的应用 ?Sn ? S n ?1 , (n ? 2)
1、若数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+…+an,满足条件 log2Sn=n,那么{an}是( A.公比为 2 的等比数列 B.公比为 )

1 的等比数列 2

C.公差为 2 的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 n 2、等比数列前 n 项和 Sn=2 -1,则前 n 项的平方和为( ) A.(2n-1)2

B.

1 n 2 (2 -1) 3

C.4n-1

D.

1 n (4 -1) 3

3、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n+r,那么 r 的值为______________. * 4、设数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 S1=3,若对任意的 n∈N 都有 Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式 an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn

5(湖北文科 17)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后 成为等比数列 ? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 。 (I) 求数列 ? b n ? 的通项公式; (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S ,求证:数列 ? S n ?

n

? ?

5? ? 是等比数列。 4?

6(全国课标理 17)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式. (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ???? ? log3 an , 求 (理) 数列 ? 的通项公式

?1? (文) 求数列 ?bn ? ? 的前项和. ? bn ?


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