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2015-2016学年湖北省武汉市江岸区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年湖北省武汉市江岸区高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.命题“? x0∈(0,+∞) ,lnx0=x0﹣1”的否定是( ) A.? x0∈(0,+∞) ,lnx0≠x0﹣1 B.? x0?(0,+∞) ,lnx0=x0﹣1 C.? x∈(0,+∞) lnx x 1 D x 0 lnx=x ∞ , ≠ ﹣ .? ?( ,+ ) , ﹣1 2 2.设抛物线 y=2x 的焦点坐标是( ) A. (1,0) B. ( ,0) C. (0, ) D. ( ,0) 3.命题“若 x=2,则 x2﹣3x+2=0”的逆否命题是( ) 2 2 A.若 x≠2,则 x ﹣3x+2≠0 B.若 x ﹣3x+2=0,则 x=2 C.若 x2﹣3x+2≠0,则 x≠2 D.若 x≠2,则 x2﹣3x+2=0 4.下列求导运算正确的是( ) A. (log2x)′= B. (x+ )′=1+

C.[sin(﹣x)]′=cos(﹣x) D. (x2cosx)′=﹣2sinx 5.已知双曲线的离心率 e= ,其焦点在 y 轴上,若双曲线的实轴长为 4,则双曲线的标准 方程为( ) A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

C.



=1

D.



=1

6.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,给出下列命题: ①函数 y=f(x)必有两个相异的零点; ②函数 y=f(x)只有一个极值点; ③y=f(x)在 x=0 处切线的斜率小于零; ④y=f(x)在区间(﹣3,1)上单调递增. 则正确命题的序号是( )

A.①④ B.②④ C.②③ D.③④ 7.已知 f(x)=3x+1(x∈3x+1(x∈R) ,若|f(x)﹣4|<a 的充分条件是|x﹣1|<b(a,b >0) ,则 a,b 之间的关系是( )
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A.a

B.

C.

D.

8.设函数 f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2(a≥0)在(0,2)内有两个零点,则实数 a 的 取值范围是( ) A.a>0 B.a>1 C.a> D.a>2 9.已知椭圆: + =1(0<b<3) ,左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆于 A, |的最大值为 8,则 b 的值是( D. ]上递增, 则实数 a 的取值范围是 ( ) )

B 两点,若| A. B.

|+| C.

10. f x) =x﹣ sin2x+asinx 在区间[0, 如果函数 ( A.[﹣1, ]

B.[﹣1,1] C.[﹣ ,+∞) D.[﹣ ,+∞)

11.已知双曲线

=1(a>0,b>0)与函数 y=

的图象交于点 P,若函数 y= )



图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0) ,则双曲线的离心率是( A. B. C. D.

12.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,? x∈R,有 g(x)=f(x)﹣ x2,且 f′(x)< x,若 f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m,则实数 m 的取值范围是( ) A.[﹣2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D. (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) 二、填空题(本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. =0“是“x=0 是 y=f ′ 0) 已知 y=f (x) 为 R 上可导函数, 则“f( (x) 极值点”的 “充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) .

(填

14.已知 p: (x﹣m+1) (x﹣m﹣1)<0;q: <x< ,若 p 是 q 的必要不充分条件,则 实数 m 的取值范围是 . 15.已知 f(x)为偶函数,当 x≤0 时,f(x)=e﹣x﹣2﹣x,则曲线 y=f(x)在点(2,3)处 的切线方程是 . 16.卵形线是常见曲线的一种,分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线,卡西尼卵形线是平面内与 两个定点(叫做焦点)距离之积等于常数的点的轨迹.某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵 c, 0) F( 0) 形线进行了相关性质的探究, 设焦点 F(﹣ , 是平面内两个定点, |PF1|?|PF2|=a2 1 2 c, (a 是定长) ,得出卡西尼卵形线的相关结论: ①当 a=0,c=1 时,次轨迹为两个点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ; ②若 a=c,则曲线过原点; ③若 0<a<c,则曲线不存在; ④既是轴对称也是中心对称图形. 其中正确命题的序号是 .

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三、解答题(本大题共 5 小题,70 分) 17.已知命题 p:“方程 + =1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”,

命题 q:“函数 f(x)=lg(x2﹣mx+

)的定义域为 R”.

(1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若 p∧q 是真命题,求实数 m 的取值范围. 18.设函数 f(x)=(x+a)ex,已知曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处切线与直线 ex﹣y=0 平行. (1)求 a 的值; (2)求 y=f(x)的单调区间. 19.已知点 F(1,0) ,直线 l:x=﹣1,动点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离. (Ⅰ)试判断点 P 的轨迹 C 的形状,并写出其方程. (Ⅱ)是否存在过 N(4,2)的直线 m,使得直线 m 被截得的弦 AB 恰好被点 N 所平分? 20.已知函数 f(x)=alnx+ x2﹣(1+a)x. (1)当 a>1 时,求函数 f(x)的极值; (2)若 f(x)≥0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 21.给定椭圆 C: =1(a>b>0) ,称圆 x2+y2=a2+b2 为椭圆 C 的“伴随圆”,已知椭

圆 C 的短轴长为 2,离心率为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,与其“伴随圆”交于 C,D 两点,当|CD|= 求△AOB 面积的最大值.

时,

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过 A 点作 AD⊥CD 于 D,交半圆于点 E,DE=1 (1)证明:AC 平分∠BAD; (2)求 BC 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位 相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2(cosθ+sinθ) . (1)求 C 的直角坐标方程;
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(2) 直线 l:

B 两点, 为参数) 与曲线 C 交于 A, 与 y 轴交于 E, 求|EA|+|EB|

的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣3|+|2x+t|,t∈R. (1)当 t=1 时,解不等式 f(x)≥5; (2)若存在实数 a 满足 f(a)+|a﹣3|<2,求 t 的取值范围.

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2015-2016 学年湖北省武汉市江岸区高二(下)期末数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.命题“? x0∈(0,+∞) ,lnx0=x0﹣1”的否定是( ) A.? x0∈(0,+∞) ,lnx0≠x0﹣1 B.? x0?(0,+∞) ,lnx0=x0﹣1 C.? x∈(0,+∞) ,lnx≠x﹣1 D.? x?(0,+∞) ,lnx=x﹣1 【考点】命题的否定. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 【解答】解:命题的否定是:? x∈(0,+∞) ,lnx≠x﹣1, 故选:C 2.设抛物线 y=2x2 的焦点坐标是( )

A. (1,0) B. ( ,0) C. (0, ) D. ( ,0) 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】先将方程化成标准形式,即 x2= y,求出 p= ,即可得到焦点坐标. 【解答】解:抛物线 y=2x2 的方程即 x2= y,∴p= , ∴焦点坐标为 (0, ) , 故选:C. 3.命题“若 x=2,则 x2﹣3x+2=0”的逆否命题是( ) A.若 x≠2,则 x2﹣3x+2≠0 B.若 x2﹣3x+2=0,则 x=2 C.若 x2﹣3x+2≠0,则 x≠2 D.若 x≠2,则 x2﹣3x+2=0 【考点】四种命题间的逆否关系. 【分析】根据命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”,写出它的逆否命题即可. 【解答】解:命题“若 x=2,则 x2﹣3x+2=0”的逆否命题是 “若 x2﹣3x+2≠0,则 x≠2”. 故选:C. 4.下列求导运算正确的是( A. (log2x)′= )

B. (x+ )′=1+

C.[sin(﹣x)]′=cos(﹣x) D. (x2cosx)′=﹣2sinx 【考点】导数的运算. 【分析】根据导数的运算法则求导,再判断即可.
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【解答】解: (log2x)′=

, (x+ )′=1﹣



[sin(﹣x)]′=﹣cosx, (x2cosx)′=2xcosx﹣x2sinx, 故选:A. 5.已知双曲线的离心率 e= 方程为( A. ﹣ ) =1 B. ﹣ =1 ,其焦点在 y 轴上,若双曲线的实轴长为 4,则双曲线的标准

C.



=1

D.



=1

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据条件建立方程求出 a,b 的值即可得到结论. 【解答】解:∵双曲线的实轴长为 4,∴2a=4,得 a=2, ∵离心率 e= ,∴ ,即 c=2 ,

则 b2=c2﹣a2=8﹣4=4, ∵双曲线的焦点在 y 轴上, ∴双曲线的标准方程为 故选:A. 6.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,给出下列命题: ①函数 y=f(x)必有两个相异的零点; ②函数 y=f(x)只有一个极值点; ③y=f(x)在 x=0 处切线的斜率小于零; ④y=f(x)在区间(﹣3,1)上单调递增. 则正确命题的序号是( ) ﹣ =1,

A.①④

B.②④

C.②③

D.③④

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号,从而确定函数的单调性,得到极值点,以及 根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率. 【解答】解:根据导函数图象可知当 x∈(﹣∞,﹣3)时,f'(x)<0,在 x∈(﹣3,1) 时,f'(x)≥0,
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∴函数 y=f(x)在(﹣∞,﹣3)上单调递减,在(﹣3,1)上单调递增,故④正确; ﹣3 是函数 y=f(x)的极小值点,当 f(﹣3)<0 时,函数 y=f(x)有两个相异的零点,故 ①错误; ∵在(﹣3,1)上单调递增∴﹣1 不是函数 y=f(x)的最小值点, ∴函数 y=f(x)只有一个极值点,故②正确; ∵函数 y=f(x)在 x=0 处的导数大于 0,∴切线的斜率大于零,故③不正确; 故②④正确, 故选:B. 7.已知 f(x)=3x+1(x∈3x+1(x∈R) ,若|f(x)﹣4|<a 的充分条件是|x﹣1|<b(a,b >0) ,则 a,b 之间的关系是( ) A.a B. C. D.

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由题意的|f(x)﹣4|=|3x﹣3|<a,即原不等式等价于|x﹣1|< .根据题意可得 |x﹣1|< 的充分条件是|x﹣1|<b,即|x﹣1|<b? |x﹣1|< ,进而可得到答案. 【解答】解:因为 f(x)=3x+1(x∈R) , 所以|f(x)﹣4|=|3x﹣3|<a,即原不等式等价于|x﹣1|< . 又因为|f(x)﹣4|<a 的充分条件是|x﹣1|<b, 所以|x﹣1|< 的充分条件是|x﹣1|<b. 即|x﹣1|<b? |x﹣1|< 所以 故选 B. 8.设函数 f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2(a≥0)在(0,2)内有两个零点,则实数 a 的 取值范围是( ) A.a>0 B.a>1 C.a> D.a>2 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 【分析】 根据函数与方程之间的关系, 利用参数分离法进行转化, 构造函数, 求函数的导数, 利用导数研究函数的单调性,利用数形结合进行求解即可. 【解答】解:由 f(x)=0 得 a(x﹣1)2=﹣(x﹣2)ex, 当 x=1 时,方程不成立, 即 x≠1,则 a= , .

设 h(x)=



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则 h′(x)=

=

=



当 0<x<2 且 x≠1 时,由 h′(x)>0 得 0<x<1, 此时函数单调递增, 由 h′(x)<0 得 1<x<2, ∵h(0)=2,h(2)=0,当 x→1 时,h(x)→+∞, ∴要使 f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2(a≥0)在(0,2)内有两个零点, 则 a>2, 故选:D.

9.已知椭圆:

+

=1(0<b<3) ,左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆于 A, |的最大值为 8,则 b 的值是( D. )

B 两点,若| A. B.

|+| C.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】△AF2B 为焦点三角形,周长等于两个长轴长,再根据椭圆方程,即可求出△AF2B 的周长,欲使| |+| |的最大,只须|AB|最小,利用椭圆的性质即可得出答案.

【解答】解:∵F1,F2 为椭圆

+

=1 的两个焦点,

∴|AF1|+|AF2|=6,|BF1|+|BF2|=6,
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△AF2B 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=12; 若|AB|最小时,| |+| |的最大, = ,

又当 AB⊥x 轴时,|AB|最小,此时|AB|= 故 12﹣ 故选 D. =8,b= .

10. f x) =x﹣ sin2x+asinx 在区间[0, 如果函数 ( A.[﹣1, ]

]上递增, 则实数 a 的取值范围是 (



B.[﹣1,1] C.[﹣ ,+∞) D.[﹣ ,+∞)

【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】由求导公式和法则求出 f′(x) ,由题意可得 f′(x)≥0 在区间[0, ]上恒成立,

设 t=cosx(0≤t≤1) ,化简得 5﹣4t2+3at≥0,对 t 分 t=0、0<t≤1 讨论,分离出参数 a,运 用函数的单调性求出最值,由恒成立求出实数 a 的取值范围. 【解答】解:由题意得,f′(x)=1﹣ cos2x+acosx, ∵函数 f(x)=x﹣ sin2x+asinx 在区间[0, ∴函数 f′(x)≥0 在区间[0, ]上恒成立, ]上递增,

则 1﹣ cos2x+acosx≥0,即 ﹣ cos2x+acosx≥0, 设 t=cosx(0≤t≤1) ,即有 5﹣4t2+3at≥0, 当 t=0 时,不等式显然成立; 当 0<t≤1 时,3a≥4t﹣ , ∵y=4t﹣ 在(0,1]递增,∴t=1 时,取得最大值﹣1, 即 3a≥﹣1,解得 a≥ 综上可得 a 的范围是[ 故选:C. , ) .

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11.已知双曲线

=1(a>0,b>0)与函数 y=

的图象交于点 P,若函数 y= )



图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0) ,则双曲线的离心率是( A. B. C. D.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;双曲线的简单性质. 【分析】设出切点坐标,通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出 切点坐标,然后求解双曲线的离心率. 【解答】解:设 ,函数 y= 的导数为:y′= ,∴切线的斜率为 ,

又∵在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0) ,∴ ,c2=a2+b2.c=1,解得 a= ,故双曲线的离心率是 ,

,解得 x0=1,

∴P(1,1) ,可得 因此 故选 A;

12.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,? x∈R,有 g(x)=f(x)﹣ x2,且 f′(x)< x,若 f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m,则实数 m 的取值范围是( ) A.[﹣2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D. (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】利用导数可得函数 g(x)在 R 上是减函数,结合函数的单调性解不等式即可. 【解答】解:g(x)=f(x)﹣ x2, ∴g′(x)=f′(x)﹣x<0, ∴g(x)在 R 递减, ∴f(4﹣m)﹣f(m) =g(4﹣m)+ (4﹣m)2﹣g(m)﹣ m2 =g(4﹣m)﹣g(m)+8﹣4m ≥8﹣4m, ∴g(4﹣m)≥g(m) , ∴4﹣m≤m, 解得:m≥2, 故选:B. 二、填空题(本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

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13.已知 y=f(x)为 R 上可导函数,则“f′(0)=0“是“x=0 是 y=f(x)极值点”的 必要不 充分条件 (填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条 件”) . 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】x=0 是 y=f(x)极值点,可得 f′(0)=0;反之不成立,例如函数 f(x)=x3,虽然 f′(0)=0,但是 x=0 不是函数 f(x)的极值点. 【解答】解:x=0 是 y=f(x)极值点,可得 f′(0)=0;反之不成立,例如函数 f(x)=x3, f′(x)=3x2,虽然 f′(0)=0,但是 x=0 不是函数 f(x)的极值点. ∴f′(0)=0“是“x=0 是 y=f(x)极值点”的必要不充分条件. 故答案为:必要不充分条件.

14.已知 p: (x﹣m+1) (x﹣m﹣1)<0;q: <x< ,若 p 是 q 的必要不充分条件,则 实数 m 的取值范围是 .

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】求出 p 的等价条件,利用必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可. 【解答】解:p 的等价条件是 m﹣1<x<m+1, 若 p 是 q 的必要不充分条件,



,即

,即

≤m≤ ,

故答案为:



15.已知 f(x)为偶函数,当 x≤0 时,f(x)=e﹣x﹣2﹣x,则曲线 y=f(x)在点(2,3)处 的切线方程是 2x﹣y﹣1=0 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】由偶函数的定义,可得 f(﹣x)=f(x) ,即有 f(x)=ex﹣2+x,x>0.求出导数, 可得切线的斜率,由点斜式方程,即可得到所求切线的方程. 【解答】解:f(x)为偶函数,可得 f(﹣x)=f(x) , ﹣x﹣2 由 x≤0 时,f(x)=e ﹣x, 当 x>0 时,﹣x<0,即有 f(﹣x)=ex﹣2+x, 可得 f(x)=ex﹣2+x,x>0. 由 f′(x)=ex﹣2+1, 可得曲线 y=f(x)在点(2,3)处的切线的斜率为 e0+1=2, 即有曲线 y=f(x)在点(2,3)处的切线的方程为 y﹣3=2(x﹣2) , 即为 2x﹣y﹣1=0. 故答案为:2x﹣y﹣1=0. 16.卵形线是常见曲线的一种,分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线,卡西尼卵形线是平面内与 两个定点(叫做焦点)距离之积等于常数的点的轨迹.某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵

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c, 0) F( 0) 形线进行了相关性质的探究, 设焦点 F(﹣ , 是平面内两个定点, |PF1|?|PF2|=a2 1 2 c, (a 是定长) ,得出卡西尼卵形线的相关结论: ①当 a=0,c=1 时,次轨迹为两个点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ; ②若 a=c,则曲线过原点; ③若 0<a<c,则曲线不存在; ④既是轴对称也是中心对称图形. 其中正确命题的序号是 ①②③④ . 【考点】类比推理. 【分析】由题意设 P(x,y) ,则 ﹣c)2+y2]=a4,对 4 个选项加以验证,即可得出结论. 【解答】解:由题意设 P(x,y) ,则 =a2, =a2,即[(x+c)2+y2]?[(x

即[(x+c)2+y2]?[(x﹣c)2+y2]=a4, ①当 a=0,c=1 时,轨迹为两个点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,正确; ②a=c, (0,0)代入,方程成立则曲线过原点,即故②正确; ③∵(|PF1|+|PF2|)min=2c, (当且仅当,|PF1|=|PF2|=c 时取等号) , 2 ∴(|PF1||PF2|)min=c , ∴若 0<a<c,则曲线不存在,故③正确; ④把方程中的 x 被﹣x 代换,方程不变,故此曲线关于 y 轴对称; 把方程中的 y 被﹣y 代换,方程不变,故此曲线关于 x 轴对称; 把方程中的 x 被﹣x 代换,y 被﹣y 代换,方程不变, 故此曲线关于原点对称;故④正确; 故答案为:①②③④. 三、解答题(本大题共 5 小题,70 分) 17.已知命题 p:“方程 + =1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”,

命题 q:“函数 f(x)=lg(x2﹣mx+

)的定义域为 R”.

(1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若 p∧q 是真命题,求实数 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【分析】若命题 p 为真命题:则 3﹣m>m﹣1>0,解得 m 范围.若命题 q 为真命题:则△ <0,解得 m 取值范围.再利用复合命题的真假判定方法即可得出. 【解答】解:∵命题 p:“方程 + =1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”,

∴3﹣m>m﹣1>0,解得 1<m<2. 命题 q:“函数 f(x)=lg(x2﹣mx+ .
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)的定义域为 R”,∴△=m2﹣4×

<0,解得

(1)由命题 p 为真命题,则实数 m 的取值范围是(1,2) ; (2)若 p∧q 是真命题,则 p 与 q 都为真命题,∴ ,解得 .

∴实数 m 的取值范围是



18.设函数 f(x)=(x+a)ex,已知曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处切线与直线 ex﹣y=0 平行. (1)求 a 的值; (2)求 y=f(x)的单调区间. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)根据两直线平行的条件,求出曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处切线的斜率 k, 求出函数 f(x)的导函数 f′(x) ,令 x=1,f′(1)=k,求出 a; (2)将(1)中的 a 代入原式,求出 f(x)的导函数 f′(x) ,令 f′(x)>0,得出 y=f(x) 的单调增区间,令 f′(x)<0,得出 y=f(x)的单调减区间. 【解答】解: (1)∵曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处切线与直线 ex﹣y=0 平行, 直线 ex﹣y=0 的斜率为 e, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处切线的斜率为 k=e. x f x = x a e ∵函数 ( ) ( + ) 的导函数为 f′(x)=ex(1+x+a) , 令 x=1,∴f′(1)=k=e,即 e(2+a)=e, 解得 a=﹣1; (2)f(x)=(x﹣1)ex, ∴f′(x)=ex?x, 令 f′(x)>0,解得 x>0;令 f′(x)<0,解得 x<0, ∴y=f(x)的单调减区间为(﹣∞,0) ,单调增区间为(0,+∞) . 19.已知点 F(1,0) ,直线 l:x=﹣1,动点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离. (Ⅰ)试判断点 P 的轨迹 C 的形状,并写出其方程. (Ⅱ)是否存在过 N(4,2)的直线 m,使得直线 m 被截得的弦 AB 恰好被点 N 所平分? 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (Ⅰ)根据点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离,利用抛物线的定义,可得点 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点、直线 x=﹣1 为准线的抛物线,从而可求抛物线方程为 y2=4x; (Ⅱ)解法一:假设存在满足题设的直线 m.设直线 m 与轨迹 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2, y2) ,由中点坐标公式可得 ,直线 m 的斜率存在,设直线 m 的方程与抛物线方

程联立,消去 y,利用

,可得结论;解法二:假设存在满足题设的

y1) B y2) 直线 m. 设直线 m 与轨迹 C 交于 A (x1, , (x2, , 由中点坐标公式可得 设直线 m 的方程与抛物线方程联立,消去 x,利用 y1+y2=4a=4,可得结论;
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解法三:假假设存在满足题设的直线 m.设直线 m 与轨迹 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由中点坐标公式可得 ,利用点差法求直线的斜率,从而可得结论.

【解答】解: (Ⅰ)因为点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离, 所以点 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点、直线 x=﹣1 为准线的抛物线,… 所以方程为 y2=4x.… (Ⅱ)解法一:假设存在满足题设的直线 m.设直线 m 与轨迹 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2, y2) , 依题意,得 .…

①当直线 m 的斜率不存在时,不合题意.… ②当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y﹣2=k(x﹣4) ,… 联立方程组 ,消去 y,得 k2x2﹣(8k2﹣4k+4)x+(2﹣4k)2=0, (*) …



,解得 k=1.…

此时,方程(*)为 x2﹣8x+4=0,其判别式大于零,… ∴存在满足题设的直线 m,且直线 m 的方程为:y﹣2=x﹣4,即 x﹣y﹣2=0.… 解法二:假设存在满足题设的直线 m.设直线 m 与轨迹 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 依题意,得 .…

易判断直线 m 不可能垂直 y 轴,… ∴设直线 m 的方程为 x﹣4=a(y﹣2) ,… 联立方程组 ,消去 x,得 y2﹣4ay+8a﹣16=0,…

∵△=16(a﹣1)2+48>0,∴直线与轨迹 C 必相交.… 又 y1+y2=4a=4,∴a=1.… ∴存在满足题设的直线 m,且直线 m 的方程为:y﹣2=x﹣4 即 x﹣y﹣2=0.… 解法三:假设存在满足题设的直线 m.设直线 m 与轨迹 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 依题意,得 .…

∵A(x1,y1) ,B(x2,y2)在轨迹 C 上, ∴有 ,将(1)﹣(2) ,得 .…

当 x1=x2 时,弦 AB 的中点不是 N,不合题意,…

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,即直线 AB 的斜率 k=1,…

注意到点 N 在曲线 C 的张口内(或:经检验,直线 m 与轨迹 C 相交)… ∴存在满足题设的直线 m,且直线 m 的方程为:y﹣2=x﹣4 即 x﹣y﹣2=0.… 20.已知函数 f(x)=alnx+ x2﹣(1+a)x. (1)当 a>1 时,求函数 f(x)的极值; (2)若 f(x)≥0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数 的极值. 【分析】 (1)求导数,利用导数的正负,可得函数 f(x)的单调区间; (2)利用(1)中函数的单调性, 求得函数在 x=1 处取得最小值,即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)求导数可得 f′(x)= (x>0) ,

a>1 时,令 f′(x)<0,可得 1<x<a,∵x>0,∴1<x<a; 令 f′(x)>0,可得 x>a 或 x<1,∵x>0,∴0<x<1 或 x>a; ∴函数 f(x)在(0,1) , (a,+∞)上单调递增,在(1,a)上单调递减, ∴f(x)极大值=f(1)=﹣ ﹣a,f(x)极小值=f(a)=alna﹣ a2﹣a; (2)①a≤0 时,令 f′(x)<0,可得 x<1,∵x>0,∴0<x<1; 令 f′(x)>0,可得 x>1,∵x>0,∴x>1, ∴函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; ∴函数在 x=1 处取得最小值, ∵函数 f(x)≥0 对定义域内的任意的 x 恒成立, ∴f(1)=﹣ ﹣a≥0,解得:a≤﹣ . ②a≥0 时,f(1)=﹣ ﹣a<0,舍去; 综上,a≤﹣ .

21.给定椭圆 C:

=1(a>b>0) ,称圆 x2+y2=a2+b2 为椭圆 C 的“伴随圆”,已知椭

圆 C 的短轴长为 2,离心率为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,与其“伴随圆”交于 C,D 两点,当|CD|= 时, 求△AOB 面积的最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由题意得,根据离心率公式以及 b=1,知 a2=3,由此能求出椭圆 C 的方程.

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(Ⅱ)分类讨论,当 CD⊥x 轴时,当 CD 与 x 轴不垂直时,设直线 CD 的方程为 y=kx+m, 则韦达定理以及弦长公式和基本不等式求出弦长的最大值,由此能求出△AOB 的面积取最 大值. 【解答】解: (Ⅰ)由题意得,e2= 又∵b=1,∴a2=3, ∴椭圆 C 的方程为 +y2=1, =1﹣ = ,

(Ⅱ)“伴随圆”的方程为 x2+y2=4, ①当 CD⊥x 轴时,由|CD|= ,得|AB|= ②当 CD 与 x 轴不垂直时,由|CD|=

. .

,得圆心 O 到 CD 的距离为 ,得 m2= (k2+1) ,

设直线 CD 的方程为 y=kx+m,则由

=

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由

,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣3=0.

∴x1+x2=

,x1x2=



当 k≠0 时,|AB|2=(1+k2) (x1﹣x2)2, =(1+k2)[ ﹣ ],

=



=3+



=3+



≤3+

=4, ,即 k=± 时等号成立,此时|AB|=2.

当且仅当 9k2=

当 k=0 时,|AB|=

,综上所述:|AB|max=2, = .

此时△AOB 的面积取最大值 S=|AB|max×

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[选修 4-1:几何证明选讲] 22.已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过 A 点作 AD⊥CD 于 D,交半圆于点 E,DE=1 (1)证明:AC 平分∠BAD; (2)求 BC 的长.

【考点】相似三角形的性质. OC⊥CD, 【分析】 (1) 推导出∠OAC=∠OCA, 从而 AD∥OC, 由此能证明 AC 平分∠BAD. (2)由已知推导出 BC=CE,连结 CE,推导出△CDE∽△ACD,△ACD∽△ABC,由此能 求出 BC 的长. 【解答】证明: (1)∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA, ∵CD 是圆的切线,∴OC⊥CD, ∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠OCA 故∠DAC=∠OAC,即 AC 平分∠BAD. 解: (2)由(1)得: ,∴BC=CE, 连结 CE,则∠DCE=∠DAC=∠OAC, ∴△CDE∽△ACD,△ACD∽△ABC ∴ 故 , .

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位 相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2(cosθ+sinθ) . (1)求 C 的直角坐标方程;

(2) 直线 l:

B 两点, 为参数) 与曲线 C 交于 A, 与 y 轴交于 E, 求|EA|+|EB|

的值. 【考点】参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系. 【分析】 (1)将极坐标方程两边同乘 ρ,进而根据 ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,可求出 C 的直角坐标方程; (2)将直线 l 的参数方程,代入曲线 C 的直角坐标方程,求出对应的 t 值,根据参数 t 的几 何意义,求出|EA|+|EB|的值. 【解答】解: (1)∵曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2(cosθ+sinθ) 2 ∴ρ =2ρcosθ+2ρsinθ ∴x2+y2=2x+2y
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即(x﹣1)2+(y﹣1)2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程, 得 t2﹣t﹣1=0, 所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣3|+|2x+t|,t∈R. (1)当 t=1 时,解不等式 f(x)≥5; (2)若存在实数 a 满足 f(a)+|a﹣3|<2,求 t 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)当 t=1 时,根据绝对值不等式的解法,讨论 x 的取值范围即可解不等式 f(x) ≥5; (2)根据绝对值不等式的性质将不等式转化为[f(a)+|a﹣3|]min<2 成立,结合不等式的 性质进行求解即可. 【解答】解: (1)当 t=1 时,f(x)=|x﹣3|+|2x+1|, 由 f(x)≥5 得|x﹣3|+|2x+1|≥5, 当 x≥3 时,不等式等价为 x﹣3+2x+1≥5,即 3x≥7,得 x≥ ,此时 x≥3, 当﹣ <x<3 时,不等式等价为﹣(x﹣3)+2x+1≥5,即 x≥1,此时 1≤x<3, 当 x<﹣ 时,不等式等价为 3﹣x﹣2x﹣1≥5,解集 x≤﹣1,得 x≤﹣1, 综上此时 x≥1,或 x≤﹣1,即不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) (2)f(a)+|a﹣3|=2|a﹣3|+|2a+t|≥|2a+t﹣(2a﹣6)|=|t+6|, 则命题 f(a)+|a﹣3|<2,等价为[f(a)+|a﹣3|]min<2, 即|t+6|<2, 则﹣2<t+6<2,即﹣8<t<﹣4, 即 t 的取值范围是(﹣8,﹣4) . = .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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2016 年 9 月 1 日

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