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三角函数公式推导和应用大全


三角函数公式推导和应用大全 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。 它们的本质是任何角的集合与一 个比值的集合的变量之间的映射。 通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。 其定义域 为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数 列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。 三角函数看似很多、 很复杂, 但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各 个公式之间有强大的联系。 而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在 中文名 三角函数公式 外文名 Formulas of trigonometric functions 应用学科 数学、物理、地理、天文等 适用领域范围 几何,代数变换,数学、物理、地理、天文等 适用领域范围 高考复习 目录 1 定义式 2 函数关系 3 诱导公式 4 基本公式 ? 和差角公式 ? 和差化积 ? 积化和差 ? 倍角公式 ? 半角公式 ? 万能公式 ? 辅助角公式 5 三角形定理 ? 正弦定理 ? 余弦定理 三角函数公式定义式 编辑 锐角三角函数 任意角三角函数

图形

直角三角形

任意角三角函数 正弦(sin) 余弦 (cos) 正切( tan 或 tg) 余 切 ( cot 或 ctg) 正割 (sec) 余割(csc) 表格参考资料来源:现代汉语词典. 三角函数公式函数关系 编辑 倒数关系: ; ; 商数关系:



. 平方关系: ; ; . 三角函数公式诱导公式 编辑 公式一:设 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

公式二:设 为任意角, 与 的三角函数值之间的关系:

公式三:任意角 与 的三角函数值之间的关系:

公式四: 与 的三角函数值之间的关系:

公式五: 与 的三角函数值之间的关系:

公式六:



与 的三角函数值之间的关系:

记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数, 正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如 2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当 k 为偶数时,等于 α 的同名三角函数值,前面加上一个把 α 看作锐角时原三角函数值的符号;

(2)当 k 为奇数时,等于 α 的异名三角函数值,前面加上一个把 α 看作锐角时原三角函 数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限:

记忆方法二:无论 α 是多大的角,都将 α 看成锐角. 以诱导公式二为例:

若将 α 看成锐角(终边在第一象限) ,则 π 十 α 是第三象限的角(终边在第三象限) ,正弦 函数的函数值在第三象限是负值, 余弦函数的函数值在第三象限是负值, 正切函数的函数值 在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二. 以诱导公式四为例:

若将 α 看成锐角(终边在第一象限) ,则 π-α 是第二象限的角(终边在第二象限) ,正弦函数 的三角函数值在第二象限是正值, 余弦函数的三角函数值在第二象限是负值, 正切函数的三 角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱导公式四. 诱导公式的应用: 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤:

特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意 诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少, 分母能最简,易求值最好。

三角函数公式基本公式 编辑 三角函数公式和差角公式 二角和差公式

证明如图,负号的情况只需要用-β 代替 β 即可.cot(α+β)推导只需把角 α 对边设为 1,过程 与 tan(α+β)相同.

证明正切的和差角公式

证明正弦、余弦的和差角公式

三角和公式

三角函数公式和差化积

口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩,正减正,余在前,余减余,负正弦. 三角函数公式积化和差

三角函数公式倍角公式 二倍角公式

三倍角公式

证明: sin3a =sin(a+2a) =sin^2a· cosa+cos^2a· sina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos^2acosa-sin^2asina =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a

=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina*(√3/2)-sina+*(√3/2)+sina+ =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a =4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2+ =4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得: tan3a=tana· tan(60°-a)· tan(60°+a) 四倍角公式 sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)] cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4) tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4) 五倍角公式

n 倍角公式 应用欧拉公式: . 上式用于求 n 倍角的三角函数时,可变形为:

所以,

其中,Re 表示取实数部分,Im 表示取虚数部分.而

所以,

n 倍角的三角函数 三角函数公式半角公式

(正负由

所在的象限决定) 三角函数公式万能公式

三角函数公式辅助角公式

. 证明: 由于

,显然 ,且

故有:

三角函数公式三角形定理 编辑 三角函数公式正弦定理 详见词条:正弦定理 在任意△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,三角形外接圆的半径为 R.则有:

正弦定理变形可得:

三角函数公式余弦定理 详见词条:余弦定理 在如图所示的在△ABC 中,有

余弦定理 或


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