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对数及对数函数练习题及详细答案


log89 1.log 3的值为(
2

) B.-1 3 D.2

A.1 2 C.3 答案 C

2.(2013· 陕西)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数,则下列等式中恒成立的 是( ) A.logab· logcb=logca B.logab· logca=logcb C.loga(bc)=logab· logac D.loga(b+c)=logab+logac 答案 解析 B. 3.(2013· 课标全国Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a C.a>c>b 答案 解析 D a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,则 B.b>c>a D.a>b>c ) B logcb 利用对数的换底公式进行验证, logab· logca=log a· logca=logcb, 故选
c

只要比较 log32,log52,log72 的大小即可,在同一坐标系中作出函数 y=log3x,y =log5x,y=log7x 的图像,由三个图像的相对位置关系,可知 a>b>c,故选 D. π π 4.log2sin12+log2cos12的值为( A.-4 C.-2 答案 解析 选 C. 5.当 0<x<1 时,下列不等式成立的是( ) C π π π π 1 π 1 log2sin12+log2cos12=log2(sin12cos12)=log2(2sin6)=log24=-2,故 ) B.4 D.2

1 + 1 - A.(2)x 1>(2)1 x C.0<1-x2<1 答案 解析 不正确; C

B.log(1+x)(1-x)>1 D.log(1-x)(1+x)>0

1 1 方法一:考查答案 A:∵0<x<1,∴x+1>1-x.∴(2)x+1<(2)1-x,故 A

考查答案 B:∵0<x<1,∴1+x>1,0<1-x<1. ∴log(1+x)(1-x)<0,故 B 不正确; 考查答案 C:∵0<x<1,∴0<x2<1,∴0<1-x2<1,故 C 正确; 考查答案 D:∵0<1-x<1,1+x>1.∴log(1-x)(1+x)<0.故 D 不正确. 1 方法二:(特值法)取 x=2,验证立得答案 C. 6.若 0<a<1,在区间(0,1)上函数 f(x)=loga(x+1)是( A.增函数且 f(x)>0 C.减函数且 f(x)>0 答案 解析 D ∵0<a<1 时, y=logau 为减函数, 又 u=x+1 增函数, ∴f(x)为减函数; B.增函数且 f(x)<0 D.减函数且 f(x)<0 )

又 0<x<1 时,x+1>1,又 0<a<1,∴f(x)<0.选 D. 7.函数 的图像大致是( )

答案

C x,x≥1, ? ? =?1 ,0<x<1, ? ?x

解析



∴选 C. )

8.设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则( A.a>b>c C.b>a>c 答案 A B.a>c>b D.b>c>a

解析

∵a=log3π>log33=1, b=log2

1 log 3 b 2 2 3<log22=1, ∴a>b, 又 c =1 = log 2 2 3

(log23)2>1,∴b>c,故 a>b>c,选 A. 1 9.0<a<1,不等式log x>1 的解是( a A.x>a C.x>1 答案 解析 B 易得 0<logax<1,∴a<x<1. logb?logba? p logba ,则 a =________. )

B.a<x<1 D.0<x<a

10.若 a>1,b>1,p= 答案 logba

11.若 loga(x+1)>loga(x-1),则 x∈________,a∈________. 答案 (1,+∞) (1,+∞)

12.若 loga(a2+1)<loga2a<0,则实数 a 的取值范围是__________. 答案 解析 1 ( ,1) 2 ∵a2+1>1, loga(a2+1)<0,∴0<a<1.

1 又 loga2a<0,∴2a>1,∴a>2. 1 ∴实数 a 的取值范围是(2,1). 13.若正整数 m 满足 10m-1<2512<10m,则 m=__________.(lg2≈0.301 0) 答案 解析 155 由 10m-1<2512<10m,得

m-1<512lg2<m.∴m-1<154.12<m. ∴m=155. 14.若函数 f(x)=loga(x+1)(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则 a= ________. 答案 解析 2 f(x)=loga(x+1)的定义域是[0,1],∴0≤x≤1,则 1≤x+1≤2.

当 a>1 时,0=loga1≤loga(x+1)≤loga2=1,∴a=2; 当 0<a<1 时,loga2≤loga(x+1)≤loga1=0,与值域是[0,1]矛盾. 综上,a=2. 15.已知函数 y=log2(x2-ax-a)的值域为 R, 则实数 a 的取值范围是________.

答案 解析

(-∞,-4]∪[0,+∞) 要使 f(x)=x2-ax-a 的值能取遍一切正实数,应有 Δ=a2+4a≥0,

解之得 a≥0 或 a≤-4,即 a 的取值范围为(-∞,-4]∪[0,+∞). 16.设函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)>f(b).证明:ab<1. 答案 解析 略 由题设 f(a)>f(b),即|lga|>|lgb|.

a 上式等价于(lga)2>(lgb)2,即(lga+lgb)(lga-lgb)>0,lg(ab)lgb>0,由已知 a b>a>0,得 0<b<1. a ∴lgb<0,故 lg(ab)<0.∴ab<1. 17.若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及对应的 x 值; (2)x 取何值时,f(log2x)>f(1),且 log2f(x)<f(1). 答案 解析 7 (1)x= 2时,最小值4 (1)∵f(x)=x2-x+b, (2)0<x<1

∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b. 由已知(log2a)2-log2a+b=b,∴log2a(log2a-1)=0. ∵a≠1,∴log2a=1,∴a=2. 又 log2f(a)=2,∴f(a)=4. ∴a2-a+b=4,∴b=4-a2+a=2.故 f(x)=x2-x+2. 1 7 从而 f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x-2)2+4.

1 7 ∴当 log2x=2,即 x= 2时,f(log2x)有最小值4.
2 ??log2x? -log2x+2>2, (2)由题意? ? 2 ?log2?x -x+2?<2

?x>2或0<x<1, ? ?0<x<1. ?-1<x<2


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