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湖南省张家界市2013-2014学年高一下学期期末联考数学(B卷)试题


2014 年张家界市普通高中一年级第二学期期末联考

数学试题卷(B)
考生注意:本试卷分第Ⅰ卷(75 分)和第Ⅱ卷(75 分)两部分,考试内容为必修 2 与必 修 5 全部内容,共 4 页。考试时量 120 分钟,满分 150 分。考生必须在答题卷上答题,在草 稿纸、试题卷上答题无效。

第I卷
一、选择题:本大题共

10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的,请将答案填在答题卷中相应位置. 1.已知点 A(3,6) , B(2,4) ,则直线 AB 的斜率是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.已知一个球的直径为 2 ,则该球的表面积是 A. p B. 2p C. 3p D. 4p

3.直线 2 x - y + 2 = 0 与坐标轴围成的三角形的面积是 A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 4

4.不等式 ( x - 1)( x - 2) < 0 的解集是

(1,2) A.
(- 2, - 1) C.

(- ゥ,1)( ? 2, + ) B. (- ? , 2)( ? - 1, +? ) D.

5.在数列 ?an ? 中, a1 = 1 , an+ 1 = 3an ,则 a4 的值是 A.9 B.10 C.27 D.81

6.已知直线 l1 : ax - 2 y - 1 = 0 , l2 : 6 x ? 4 y ? 1 ? 0 , 若 l1//l2 ,则实数 a 的值是 A.1 B.2 C.3 D.4

7.若两个平面互相平行,则分别在这两个平面内的两条直线的位置关系是 A.平行 行或异面 8.一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积是 A. ? C. 3? B. 2? D. 4? 正视图 侧视图 (第 8 题图) 俯视图 B.异面 C. 相交 D. 平

ì x ≥ 0, ? ? ? 9.若实数 x,y 满足约束条件 í x + y ≤ 1, 则 z = x - y 的最大值是 ? ? ? ? ? y ≥ 0.

A. - 1

B. 0

C. 1

D. 2

10.设 an1 , an2 ,…, anm 是等差数列 ?an ? 中的任意 m 项,若 则

n1 + n2 + ... + nm = p( p ? N * ) , m

an1 + an2 + ... + anm m

= ap , 称 a p 是 an1 ,an2 , …,anm 的等差平均项。 现已知等差数列 ?an ?

的通项公式为 an = 2n ,则 a1 , a2 , a4 , a10 , a18 的等差平均项是 A. 18 B. 14 C. 8 D. 7

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷中相应位置. 11.三个数 2 ,G, 2 2 成等比数列. 且 G >0,则 G = 12 .在正方体 ABCD? A 1B 1C 1D 1 中,平面 C1 D 1 AB 与平面 .

CDAB 所成的锐二面角的大小是

.

13.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 20 , 则 a3 = . (第 12 题图)

14.如图, A 、 B 两点在河的两岸,为了测量 A 、 B 之间的距离,测量者在 A 的同侧选定一 点 C ,测出 A 、 C 之间的距离是 100 米, ? BAC 之间的距离为 米.

105? , ? ACB

45? ,则 A 、 B 两点

15.在下列图形中,小黑点的个数构成一个数列 ?an ? 的前 3 项. (1) a 5 = ; .

(2)数列 {an }的一个通项公式 an = B


105?

A

45?

C

(第 15 题图)

(第 14 题图)

第 II 卷
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知直线 l1 : 2 x - 3 y + 1 = 0 , l2 : x + y - 2 = 0 的交点为 P . (1)求点 P 的坐标; (2)求过点 P 且与直线 l2 垂直的直线 l 的方程.

17. (本小题满分 12 分) 在等差数列 {an }中,已知 a2 = 9, a5 = 21. (1)求数列 {an }的通项公式; (2)令 bn = 2
an - 1 4

,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分 12 分) 在 D ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , a = 2 , sin B = (1)若 b = 4 ,求 sin A 的值; (2)若 D ABC 的面积为 4 ,求 b 和 c 的值.21

4 . 5

19. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA ^ 平面 ABCD ,底面 ABCD 是矩形, M 、 N 分别是
PC 、 PD 的中点.

(1)求证: MN // 平面 PAB ; (2)若 PA = 2 , AB = 1, BC =

3 ,求直线 PC 与平面 ABCD 所成的角.

P
N

M
A

D

B

(第 19 题图) C

20. (本小题满分 13 分) 一段长为 20 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 米. 如图,设菜园与墙平行 的边长为 x 米,另一边长为 y 米. (1)求 x 与 y 满足的关系式; (2)求菜园面积 S 的最大值及此时 x 的值.

y
x
(第 20 题图)

21.(本小题满分 13 分) 已知方程 x2 + y 2 - 2 x + 2my + m2 - 2m - 2 = 0 ( m ? R). (1)若方程表示圆,求实数 m 的取值范围; (2)若方程表示的圆 C 的圆心 C (1,1) ,求经过 P(2,4) 的圆 C 的切线方程; (3)若直线 x + y + t = 0 与(2)中的圆 C 交于 A、 B 两点,且 D ABC 是直角三角 形,求实数 t 的值.

2014 年张家界市普通高中一年级第二学期期末联考

数学参考答案(B)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题5分,共 50 分. 题 答 号 案 1 B 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 C 9 C 10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.2 14. 100 2 12. 45 ° 15.(1) 13 ; (2) 3n - 2 13. 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

ì ì x= 1 ? 2x - 3 y + 1 = 0 ? 16.解:(1)由 ? 得? , …………………………………………5 分 í í ? ? ? x+ y- 2= 0 ? ? ? y= 1

点 P 的坐标为 (1,1) ; (2)直线 l2 的斜率为 - 1, ………………………………………………………7 分 而 l2⊥l, 则直线 l 的斜率为 1,………………………………………………9 分 由点斜式可得 l 的方程为 y - 1 = 1? ( x 1) ,即 x - y = 0. ………………12 分

17.解: (1)设数列 {an }的公差为 d ,依题意得方程组

ì a1 + d = 9 ? ? ,解得 a1 = 5 , d = 4 ,…………………………………4 分 í ? ? ? a1 + 4d = 21
则 an = 5 + (n - 1)? 4

4n + 1 ,

所以 {an }的通项公式为 an = 4n + 1 ; …………………………………6 分 (2)由 an = 4n + 1 得 bn = 2n , ………………………………………………7 分 显然 {bn }是首项 b1 = 2 ,公比为 q = 2 的等比数列, …………………9 分 则 ?bn ? 的前 n 项和 Sn =

2? (1 2n ) = 2n+ 1 - 2 . ……………………12 分 1- 2
a b = ,……………………………3 分 sin A sin B

18.解: (1)在 ?ABC 中,由正弦定理有 则 sin A= (2)由 S =

a sin B 2 4 2 = ? = ;……………………………………………6 分 b 4 5 5

1 ac sin B = 4 ,有 c = 5 ,……………………………………………9 分 2

由余弦定理得
b2 =a2 +c2 - 2ac cos B
= 4 + 25 - 2创2 5?
…………………………………………………10 分

3 5

17 ,

则 b= 17 .………………………………………………………………12 分 19.证: (1)? M 、 N 分别是 PC 、 PD 的中点, \ MN // CD , 又 AB // CD ,则 MN//AB , 而 MN 颂平面PAB, AB

平面PAB ,

\ MN // 平面 PAB ; …………………………………………………..…7 分
解: (2)由题意可知, AC 是 PC 在平面 ABCD 上的射影, 则 ?PCA 是 PC 与平面 ABCD 所成的角, .…………………………10 分 因 AC =

( 3) 2 + 12 = 2 ,又 PA ? 2 ,

则 △PAC 是等腰直角三角形, \ ? PCA 即直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45 .
?

45? ,
.…………………………13 分

20.解: (1)由已知 x + 2 y = 20 , x ? (0,18] ,……………………………………5 分 (2)由(1)有 y = 则S =

1 (20 - x) , x ? (0,18] , 2

1 x(20 - x) ………………………………………………………7 分 2 50 , ……………………………………………10 分
…………………12 分

?

1 x + (20 - x) 2 [ ] 2 2

当且仅当 x = 20 - x ,即 x=10 ? (0,18] 时等号成立,

故当 x =10 米时,菜园面积 S 最大,最大值为 50 平方米 …………………13 分
2 21.解: (1)方程配方得 (x - 1 ) + (y+m)2 = 3 + 2m ,.……………………………1 分

使方程表示圆,则 3 + 2m > 0 , m > 故实数 m 的取值范围是 (-

3 , 2

3 , + ? ) ; .…….……………………………3 分 2

(2)由(1) ,圆 C 的圆心为 (1, - m) ,可得 m = - 1 , ……………………4 分
2 所以圆 C 的方程为 (x - 1 ) + (y - 1)2 = 1 ,

…………………………5 分

①过点 P(2,4) 且垂直于 x 轴的直线与圆 C 相切,即 x ? 2 是圆的切线;……6 分 ②当切线不垂直于 x 轴时,设切线方程为 y - 4 = k ( x - 2) ,即 kx - y + 4- 2k = 0 , 由

k- 3 k2 + 1

= 1 ,可得 k =

4 , 3
……………8 分

此时切线方程为 y - 4 =

4 ( x - 2) ,即 4 x - 3 y + 4 = 0, 3

综上,所求切线方程为 x ? 2 和 4 x - 3 y + 4 = 0 ; .……………………9 分 (3)由题意可知, CA = CB = 1,且 ? ACB 则圆心 C 到直线 x ? y ? t ? 0 的距离为

90? ,

t+ 2 2 2 ,即 ,.………11 分 = 2 2 2

解得 t = - 3 或 t = - 1 . .…………………………………………………13 分 注:解答题如有其他解法,可视具体情况给分.


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