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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第9届)


国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 9 届)
1. 平行四边形 ABCD,边长 AB = a, AD = 1, 角 BAD = A, 已知三角形 ABD 是 一个锐角三角形,求证以 A,B,C,D 为圆心半径为 1 的四个圆能够覆盖此平行四边形 的充要条件是 a ≤ cos A +

3 sin A.

2. 若四面体有且仅有

一边大于 1,求证其体积 ≤ 1/8. 3. k,m,n 是自然数 且 m + k + 1 是一个大于 n+1 的素数,令 cs = s(s+1),求证 (cm+1 - ck)(cm+2 - ck) ... (cm+n - ck) 可被乘积 c1c2 ... cn 整除. 4. 任意两个锐角三角形 A0B0C0 和 A1B1C1 . 考虑所有与三角形 A1B1C1 相似且外接于 三角形 A0B0C0 的所有三角形 ABC (即 BC 边包含 A0, 边包含 B0, 边包含 C0) CA AB , 试构造出满足此条件的面积最大的三角形 ABC. 5. a1, ... , a8 是不全为 0 的实数, cn = a1n + a2n + ... + a8n ( n = 1, 2, 3, ... ), 令 如果数列{ cn }中有无穷多项等于 0,试求出所有使 cn=0 的自然数 n. 6. 在一次运动会中,连续 n 天内(n>1)一共颁发了 m 块奖牌.在第一天,颁发了 一块奖牌以及剩下 m-1 个中的 1/7;在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的 1/7;依此类 推.在最后一天即第 n 天,剩下的 n 块奖牌全部颁发完毕.问该运动会共进行了几天, 一共颁发了多少块奖牌?


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