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数学人教A版必修5第二章2.3等差数列的前n项和(第1课时) (2)


第 1 课时 等差数列的前 n 项和 1.理解等差数列前 n 项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前 n 项和公式及其应用. 1.数列的前 n 项和 对于数列{an},一般地,我们称 a1+a2+a3+…+an 为数列{an}的前 n 项和,用 Sn 表示, 即 Sn=______________. 数列的前 n 项和必须从第 1 项开始,逐项相加到第 n 项,不能是 其中几项的和. 【做一做 1】 数列 9,-2,-10,3 的前 3 项和 S3=__________. 2.等差数列{an}的前 n 项和 n(a1+an) 设等差数列{an}的公差是 d, 则 Sn= =na1+__________. 2 [来源:学#科#网] n(a1+an) n(n-1) 等差数列{an}的通项公式 an=a1+(n-1)d, 前 n 项和公式 Sn= =na1+ d. 2 2 ①上述两个公式共涉及到 a1,an,Sn,n,d 五个量,通常已知其中三个,可求另外两个, 即“知三求二”,而且方法就是解方程 组,这也是解决等差数列问题的策略. n(a1+an) ②当已知首项 a1,末项 an,项数 n 时,常用公式 Sn= ;当已知首项 a1,公差 d, 2 n(n-1) 项数 n 时,常用公式 Sn=na1+ d. 2 【做一做 2-1】 等差数列{an}中,a1=1,d=1,则 Sn 等于( ) A.n B.n(n+1) n(n+1) C.n(n-1) D. 2 【做一做 2-2】 等差数列{an}中,an=2n-1,则其前 n 项和 Sn=__________. 答案:1.a1+a2+a3+…+an 【做一做 1】 -3 n(n-1) 2. d 2 【做一做 2-1】 D 【做一做 2-2】 n2 1.等差数列前 n 项和公式与函数的关系 n(n-1) d? d 剖析:等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ d 可以写为 Sn= n2+? ?a1-2?n. 2 2 d d 若令 =A,a1- =B,则上式可以写成 Sn=An2+Bn,即 Sn 是关于项数 n 的函数. 2 2 当 A=0,B=0 时(此时 a1=0,d=0),Sn=0 是关于 n 的常数函数; 当 A=0,B≠0 时(此时 a1≠0,d=0),Sn=Bn 是关于 n 的一次函数(正比例函数); [来源:学_科_网 Z_X_X_K] 当 A≠0 时(此时 d≠0),Sn=An2+Bn 是关于 n 的二次函数. 从上面的分析,我们可以看出: (1)一个数列{an}是等差数列,则其前 n 项和公式 Sn=f(n)是关于 n 的二次函数或一次函 数或常数函数,且其常数项为 0,即 Sn=An2+Bn(A,B 为常数 ). (2)如果一个数列的前 n 项和的表达式为 Sn=An2+Bn+C(A,B,C 为常数),则当 C≠0 时,数列{an}不是等差数列. d? d (3)当 d≠0 时,点(1,S1),(2,S2),(3,S3),…,(n,Sn),…在抛物线 y= x2+? ?a1-2?x 2 的图象上. (4)由二次函数图象的性质可知,当 d>0 时,{an}是递增数列,Sn 有最小值;当 d<0 时,{an}是递减数列,Sn 有最大值. 2.Sn 与 an 的关系 剖析:已知数列{an}的通项公式 an,前 n 项和 Sn,则 Sn 与 an 有如下的关系: an= ? S , ? 1 n=1, ? ?Sn-Sn-1,n≥2. ? 推导如下: ∵Sn=a1+a2+a3+…

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