当前位置:首页 >> 数学 >>

所有自然数之和是负十二分之一




刘大可

最近有一个很有趣的视频,讲述了这样一件数学趣事:全体自然数的和是-1/12。

虽然果壳和知乎上都已经有了问答,但是数学语言过于晦涩,不利于理解,所以我 自己写了一份更简洁的日志作为阐述,不过尽量保证了严谨。 首先说视频,他是这么证明的: 设

这个东西等于多少呢?很显然, 这要看你在

什么地方停下来了, 如果你停在第奇数 个1上,结果就是1;如果停在偶数个1上,那结果就是0。既然这样的话,那就平均一下好 了,它等于1/2。看到这里,你显然会觉得这实在荒唐愚蠢,但是更“荒唐”的东西还在后 面,但新奇的东西也在后面,你最好还是继续看下去。 好,有了 S1=1/2,他又令

那么取两个 S2错开一位相加,即

则有2S2=S1=1/2, ,也就是 S2=1/4 !虽然这让人很不服气,但是他接着计算

既然 S2=1/4,那么我们大功告成了,S=-1/12 ——全体自然数的和是 -1/12 !

看到这里的时候, 我想几乎所有人都和我一样觉得这实在是牵强附会荒唐可笑, 但 视频中一再声称这种算法的意义,所以我翻墙出去做了个简单的研究,得到了这样的结论: 我们确实可以对全体自然数求和得到 -1/12 ,但这个和并非我们做加法得到的代数和,而

是发散级数和—— 这个 -1/12 根本就不“ 加 ” 出来的。 于是, 下面就是我对这个问题 的解释,虽然有一些公式,但是都极其简单,你可以轻松阅读不费脑子。 要弄明白这个问题, 我们首先要知道什么是“ 级数”以及 “ 发散级数” , 而这 是一个非常简单的问题。 随便找一个数列,比如等差数列 an=n ,也就是1 、2、3 、4 、5、6 ?? 把数列中的每个元素都用加号连接起来,就是一个级数, 其实就是求总和。对于 上面的 an,它的级数就是

其中, 级数的前 n 项的和被称作部分和, 记作 Sn (其实就是“数列的前 n 项和”, 高考复习翻来覆去做过的那个东西) 。 那么只要上过高中就能意识到,随着 n 趋于无穷,级数的部分和 Sn 有可能趋近于 某一个值,即有极限,比如级数1+1/2+1/4+1/8??,它的部分和就会不断趋近于2。这样 的级数称为收敛级数,这个部分和的极限就是收敛级数的和; 级数的部分和 Sn 也可能不趋近于某一值,即无极限。比如1+2+3+4+??,越加 越大趋于无穷;又比如1-1+1-1+??,部分和一会儿是1一会儿是0,永远不会固定。只要 级数的部分和不是越来越接近某一个定值,就都是发散级数。 事情到这里,都是高中数学就学过的内容。很明显的,在这样的背景下,一个发散 级数的和没有意义,但是在应用数学中,尤其是物理学的数学应用中,常常被迫需要计算发 散级数的和。于是,数学家们发明了很多种算法,在保证收敛级数的和不变的前提下,又让 发散级数确实能算出一个东西来,这就是发散级数和,也就是视频里计算出来的那个东西。 但是要注意,视频里加来加去的计算只是发现了发散级数的和,但并不能给出良 性的定义,也就不是严格意义上的发散级数求和,所以千万不要觉得数学家和物理学家是 在胡闹,更不要对科学的严谨产生怀疑。 那么,如何计算发散级数和呢? 事实上,发散级数和有许多种算法,这些方法强度不同,但结果一致,这里先捡一 个最简单也最弱的“切萨罗求和”。

恩纳斯托·切萨罗(Ernesto Cesàro,1859-1906)

切萨罗求和(Cesàro summation )是意大利数学家恩纳斯托·切萨罗( Ernesto Cesàro)发明的发散级数求和法。对于一个发散级数 n 项的平均值,即令 ,对它的部分和数列 Sn 求前

如果 tn 有极限,那么这个极限就是发散级数的和,称为切萨罗和。不难体会到, 切萨罗和本质上是在求数学期望,视频里辅助用的级数 1-1+1-1+??=1/2那个“平均一 下”就是这么来的。

当 n 无穷增大的时候,分子上的1只有 n 的一半那么多,所以它显然是1/2。 这个乍看怪异的级数和首先由意大利数学家路易吉·格兰迪(Luigi Guido Grandi) 于1703年发现,因此被称为格兰迪级数,当时被当作一个佯谬。后来那个著名流体力学奠 基者,荷兰数学家丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli) ,以及瑞士的大数学家莱昂哈德·欧 拉(Leonhard Euler)都对它做过研究,一直都是争议的焦点。直到19世纪才由切萨罗等人 提出了这样的良好定义。

路易吉·格兰迪(Luigi Guido Grandi,1761-1742)

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler,1718–1781)

丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli,1700-1782)

而到了量子物理时代, 格兰迪级数及其衍生级数意外的变得有用——这或许让你联 想起薛定谔的猫,要么是死(0)要么是活(1) ,那它就是半死不活(1/2) 。但它们的关系 显然不是这么幼稚简单,它被用来研究量子化的费米子场(费米子包括组成实体万物的基 本粒子,比如电子、质子、中子,以及中微子这样极其重要的基本粒子) ,它们同时具有正 的和负的本征值。另外在玻色子(比如光子)的研究中,格兰迪级数也有戏份,比如揭示宇 宙中“真空不空”的“卡西米尔效应” 而格兰迪级数最重要的衍生级数,就是视频里的另一个辅助用的级数:

它最早于18世纪中期由欧拉发现(又是他,而且当时他已经瞎了) 。视频里发现这 个级数和的时候错开了一位,但实际上错开多少位结果都一样,例如错开两位:

当然, 欧拉这样的数学大师是用了更复杂的方法才发现了它, 并被当作另一个佯谬 提出。这个佯谬直到19世纪80年代初才由刚才的恩那斯托·切萨罗等人研究出了定义良好 的计算方法,但是,这个级数不能直接用上面的切萨罗求和计算,因为 tn 仍然没有极限, 需要做一些复杂的扩展,这里就不加说明了,或者采用下面灰字部分的 阿贝尔求和也能轻 易算出——如果你不想看,不看也可以。 阿贝尔求和 (Abel summation) 来自挪威数学家尼尔斯·阿贝尔 (Niels Henrik Abel) 在幂级数研究上的总要结果阿贝尔定理(不要介意这个定理是干什么用的) 。 如果|x|<1,且幂级数(也就是级数中的每一项都有一个指数)

收敛,那么

就是级数

的阿贝尔和。 虽然看上去比较玄,但明白了其中的意思就是“比1小但无限接近于1”,就能明 白就是一个无限接近1的数,整个算法也就不难明白了。 下面再给出一种更简单,同时也更巧妙的算法:

看明白了吗?把两个格兰迪级数“相乘” (实际上是一种被称为柯西乘积的数列卷 积,但是这两个数列的数字实在简单,恰好与直接乘法结果一致) ,可以用一个棋盘格子表 示其结果中的每一项,黑色表示1,红色表示-1,那么斜着数一数黑红格子数,就可以数出1 个黑的、2个红的、3个黑的、4个红的??,也就是1-2+3-4+??,所以

有没有觉得很有趣? 现在回到最初的问题上来,“全体自然数的和是-1/12?” 是一个发散得非常厉害的级数, 不论切萨罗求和还是阿贝尔求和都强度不够, 对它 无能为力。 真正给出这个发散级数的良性定义的计算方法的, 是印度数学家斯里尼瓦瑟·拉 马努詹(Srinivasa Ramanujan)给出的拉马努詹求和。但这个求和非常复杂: 若函数 f(x)在 x=1处不发散,那么令

C(0)就是级数的拉马努詹和了??好吧,恐怕没有足够数学基础的人是无法看懂 了, 所以我并不打算在这里讲述——能看懂的人不需要我这样的水平来讲; 看不懂的人我这 样的水平也讲不了。 不过可以简单介绍一下拉马努詹这个人, 因为他是一个传奇的数学神才 ——天才只是一个更加优秀的常人, 但神才是一个超出常人理解的存在, 一个开了外挂的存 在。他从没有接受过高等数学教育,却仅凭直觉就能直接发现惊人的数学公式,证明他正确 工作就甩给天才们了——于是留下了一连串的拉马努詹猜想,而绝大多数都被证明正确。

斯里尼瓦瑟·拉马努詹(Srinivasa Ramanujan,1887-1920)

他总能用直觉和洞察力给出不可思议的数学公式,比如他发现:

又如他重病时,他在剑桥大学的导师哈代前去探望,哈代说:“我乘计程车来,车 牌号码是1729,这数真没趣,希望不是不祥之兆。” 拉马努詹答道:“不,那是个有趣得 很的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中,1729是最小的。”(即 1729是1和12的立方和,也是9和10的立方和,后来这类数称为的士数。 )说完不久,拉马努 詹就病死了?? 后来哈代这样评价他: “他的知识的缺陷和他的深刻一样令人吃惊。这是一个能够发现模方程和定理的 人??直到前所未闻的地步,他对连分数的掌握??超出了世界上任何一个数学家,他自 己发现了 ζ 函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题的主导项; 但他却没有听说过双 周期函数或者柯西定理,对复变函数只有最模糊的概念??”

拉马努金的传奇故事还有很多,这里点到为止,有兴趣的同学可以自行查阅。 除了拉马努詹求和,全体自然数组成的发散级数还可以用黎曼 ζ 给出维基百科的页面,如果上过大学数学,应该能获得感性认识。 另外,这里额外补充一个发散级数: 函数计算,这里

也就是无穷多个1相加,在通常的认识里,它也就是无 穷大的化身——但是作为一个发散级数, 同样可以用拉马努詹求和或者采用黎曼 ζ 函数计 算,结果是-1/2。这实在让人难以置信,但同样在物理学上有切实的意义——所以在21世 纪初一次巴塞罗那的报告会上,两位杰出的物理学家 A. Slavnov 和 F. Yndurain 不约而 同地说道:“各位都知道,1 + 1 + 1 + 1 + ? = ? 1?2——含义是:如果您不知道这个, 那么继续听下去是没有意义的。”(Elizalde, Emilio (2004). "Cosmology: Techniques and Applications".) 好, 这就是日志的结尾了, 重申开头部分提过的那句话: 全体自然数之和等于-1/12 并不是加法游戏搞出来的代数和,而是将其作为发散级数,经过严谨的定义计算获得的发 散级数和,只有声明它是切萨罗和、阿贝尔和、拉马努詹和或者任何级数和才有意义。而 这个级数和同样在物理学中有重要应用,特别是在当代物理的量子论和弦论当中。 另外,还需谨记:数学和科学永远严谨,一丝不苟,如果你发现其中有看似荒唐 或者怪异的结论——请先跳出自己常识认知的藩篱,了解其中的深意再做评价。举个最常 见的例子, 陈景润证明哥德巴赫猜想时得出了“任何充分大的偶数都是两个自然数的和, 一 个质因数不超过1个(即质数) ,另一个的质因数不超2个”,简称“1+2”,如果一听到这 个简称就跑出去说“陈景润证明了1+2=3”,并且藉此说“到现在数学都没证明1+1=2”, 那就真是太可笑了——我初三的数学老师就是这么一个家伙,我很讨厌他,因为他欺负我。 另外,本人非数学专业,欢迎指正。


相关文章:
自然数和谬论
关键词:自然数和 收敛 物理效应 解析延拓 正文关于所有自然数之和等于负十二分之一这一“悖论” ,许多网站上都给出了 相关的证明,但是证明方式无出其右。自然,...
数学常识——自然数
[1] 数学术语 自然数集是全体非负整数组成的集合,...数,所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的...数列 数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,?...
题目15376a7302768e9951e7383f
填空题 数学 整数认识 整数分为自然数,0和负整数.___. 正确答案及相关解析 正确答案 错误 解析 解:自然数包括0. 故答案为:错误. 最新上传...
自然数
自然数集是全体非负整数(在过去的教科书中,零一般...为重要的数字,0 的发现被称为人类伟大的发现之一...数列数列 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...
第2讲 负数
广州市博尔雅教育中心由教学研究专家和中学一线教师...小的自然数是( 最小偶数是( ); ),最小...练 2:负十二写作___;负二分之一写作___;负零点...
习题一
(w-1); Writeln(j); end 2.输入三个正整数,...如: N=12,输出: 12=1*2*2*3. 6.出售金鱼者...第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条;第 二次...
人教版新课标(2016秋)六年级数学上册竞赛试题卷(附答案)
是在校的学生,十二分 之一是老大爷,剩下的四个则...一场) ,规定获胜得 2 分,平局 各得 1 分,负...数,这些两位数都是其个位数字与十位数字之和的 7...
【新编】人教版六年级数学上册竞赛试题卷(附答案)
是在校的学生,十二分 之一是老大爷,剩下的四个则...一场) ,规定获胜得 2 分,平局 各得 1 分,负...数,这些两位数都是其个位数字与十位数字之和的 7...
第12届中环杯5年级决赛试题&答案
8. 9. 10. 1102 到 2011 所有数数数位上的数字之和是( 二、动手动脑...如图,三角形 ABC 是等腰三角形,斜边 AB=12 厘米,MN 是 BC 的三分之一,AP...
2014华杯赛决赛小学高年级组试题A答案详解
“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大...DE = 1厘米, AC = 12 厘米, AE = 6厘米. 如果...如果汽车行驶1个小时后, 将车速提高五分之一, 就...
更多相关标签:
负十二分之一 | 若x 2分之6为自然数 | 所有自然数之和是负数 | 负数是自然数吗 | 自然数包括负数吗 | 负数是不是自然数 | 负数算不算自然数 | 负整数是自然数吗 |