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直角三角形和直角三棱锥性质的类比


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2 0 0 5 年第 8 期 

数 学 通 讯 

9  

直 角三 角形和 直 角三棱 锥 性质 的类 比  
苏进文  
( 岑溪市第二中学, 广西 5 4 3 2 0 0 )  

2 0 0 3 . 年全国高考( 广西卷) 第1 5 题是: 在平面  
几何里 , 有勾股定理 : “ 设 △A B C 的两边 A B, A C互 

直, 则

. 




此题涉及直角三角形与直角三棱锥 ( 三个侧面  两两互相垂直的三棱锥) 性质的一个类 比命题 , 值得  进一步探讨 , 为方便同学们阅读 , 本文用列表法类 比  
如下 :  

相垂直 , 则A B   +AC   =B C   ” . 拓展到空间 , 类 比平  面几何的勾股定理 , 研究三棱锥 的侧 面面积与底面  积间的关系, 可以得 出的正确结论是 : “ 设 三棱锥 A  


B C D 的三个侧 面 A B C, A C D, A D B 两两 相 互垂  直角三角形的性质  直角三棱锥的性质 

面 积 等 于 两 条 直 角 边 长 乘 积 的  
两直角边 的平方和等于斜边 的平方 

体 积 等 于 三 条 侧 棱 长 乘 积 的 吉  
三个侧面面积的平方和等于底面面积的平方 

外 接 圆 半 径 的 平 方 等 于 两 直 角 边 平 方 和 的 丢  
内切圆的半径等于
三角形面积二倍除以周长 

外 接 球 半 径 的 平 方 等 于 三 条 侧 棱 的 平 方 和 的 丢  
内切球 的半径 等于三棱锥 体积 的三倍除 以表 
面积 



条直角边是它在斜边 上的射影和斜边 的比例 中  

一个侧 面面 积是该侧面 在底面 的射影面 积和 

项 

底面积的比例中项 

斜边上的高的平方 的倒数等于两直角边 的平方 的  
倒数的和 

底面上 的高的平方 的倒 数等于 三条侧棱 的平 

方的倒数和 

内切圆半径的倒数等于两直角边及斜边上 的高 的  
倒数和 

内切球半径 的倒数等于 三条侧棱 及底面 上的 

高的倒数和  底面上 任一 点到三个侧 面 的距 离 的平 方和等 

斜边上任意一点到两直 角边距离 的平方和等于这  点到直角顶点 的平方  两直角边与斜边所成角的余弦的平方和等于 1   两直角边相等 , 直角边 与斜边所成 角 的余 弦值 为  
2   为 

于这点到直角顶点距离 的平方  三侧面与底面所成角的余弦的平方和等于 1   三条侧棱长相等 , 侧面与底面所成角的余弦值 

j 

形 内一点到各边的距离与顶点 到相应各边 的距 离 
之 比的和等于 1  

体 内一点到各面 的距 离与各 顶点 到相应各 面 

的距离之比的和等于 1  

上述类比性质 , 结构对称 , 证 明方法及思路相似, 在此证 明从略 

( 收稿 日期 : 2 0 0 4 —1 0 —1 2 )  


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