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第八届中国东南地区数学奥林匹克


第八届中国东南地区数学奥林匹克
第二天 (2011 年 7 月 28 日 上午 8:00-12:00)宁波·北仑
5.设 AA0 , BB0 , CC0 是 ?ABC 的三条角平分线,自 A0 作 A0 A1 ∥ BB0 ,

A0 A2 ∥ CC 0 , A1 , A2 分别在 AC, AB 上,直线 A1 A2
证明: A3 , B3 , C3 三点共线.

BC ? A3 ;类似得到点 B3 , C3 .
C3 A
B1

C0
A2
I

C2

B0
A1 B2 C

B

C1

A0

A3

B3

6.设 P M 是线段 1, P 2 , ?, P n 为平面上 n 个定点, AB 上任一点,记 P i M 为点 Pi 与 M 的距离, i ? 1,2,3, ? , n ,证明:

?n P M ? max ?? Pi A , ? i i ?1 ? i ?1
n

. ? PB ? ?
i i ?1

n

?

7.设数列 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? 1, an ? 7an?1 ? an?2 , n ? 3 .证明:对于每个 n ? N ,
*

an ? an?1 ? 2 皆为完全平方数.
8.将时钟盘面上标有数字 1,2,

,12 的十二个点分别染红、黄、蓝、绿四种颜色,每

色三个点,以这些点为顶点构作 n 个凸四边形,使其满足: ( 1 )每个四边形的四个顶点四色都有; ( 2 )其中任何三个四边形,都存在某一色,具有该色的三个顶点所标数字各不相同. 求 n 的最大值.


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