当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2012年新高一数学竞赛14


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 14

── 梅涅劳斯定理及其逆定理
姓名 _____________

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完

成练习并将解答回发 jylingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

一、基本知识 定理:若一条直线和 ΔABC 的三边或其延长线分别交于 P、Q、R 三点,则 其逆命题也成立,称梅涅劳斯逆定理;非常广泛. 证明:(提示:证明方法很多,通常中面积法,连结 AP 和 RC ;逆命题证明可也用面积法)
A
AR RB ? BP PC ? CQ QA ?1.

R Q

B

C

P

二、重要例题 例 1. 如图在 ΔABC 中, AB>AC, 为∠BAC 的平分线, E 在 ΔABC 的内部, EC⊥AD, AD 点 且 ED∥AC; 求证:射线 AE 平分 BC 边.(提示:考虑对称,延长 D E 交 AB 于 G ,延长 CE 交 AB 于 F ,两次使
用梅氏定理,一次利用平行,得到三个比式,从而得到 MB ? MC )

证明:
A

E B M D C

1

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

例 2.过 ΔABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线,分别和 BC、CA、BA 的延长线交于 P、Q、R;求证:P、Q、R 三点共线.(提示:共线三点 P、 Q、 R 所在直线为 ? ABC 的外割线) 证明:
Q

B

A

R

O C

P

例 3.设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的延长线线交于点 E,另一组对边的延长线交于 F, 求证:AC 的中点 L,BD 的中点 M 及 EF 的中点 N 三点共线.(提示:关键构造一个三角形,
满足梅氏逆定理的条件,取 P、 Q、 R 分别为 FB、 EC、 BC 的中点,并连结 PQ、 PR、 QR、 QN )

证明:
E

A N D M L

B

C

F

2

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

三、巩固练习 14

(以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com)

1.如图,已知 ΔABC 的∠A 的外角平分线与边 BC 的延长线交于 P,∠B 的平分线与边 CA 交于 Q, ∠C 的平分线与边 AB 交于 R;求证:P,Q,R 三点共线.

A

R

Q

B

C

P

2. 如图, AD 为 ΔABC 的一条中线, 设 引任一条直线 CF 交 AD 于 E, AB 于 F, 交 求证:

AE ED

?

2 AF FB



A

F E

B

D

C

3.如图,在 ΔABC 的边 BC,CA,AB 上分别取点 M,N,P;使满足:

BM MC

?

CN NA

?

AP PB

? k ?1;

连结线段 CP,BN,AM 相交得 ΔXYZ,设原来的 ΔABC 的面积为 1,求 ΔXYZ 的面积.
A

N X P Y B M Z C

3


相关文章:
2012年高一数学竞赛解答14
2012年新高一数学竞赛05 4页 免费 2012年新高一数学竞赛04 4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
2012年新高一数学竞赛14
2012年新高一数学竞赛03 4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 2012年新高一数学竞赛14 隐藏>> 2012...
2012年新高一数学竞赛19
2012年新高一数学竞赛09 2012年新高一数学竞赛10 2012年新高一数学竞赛11 2012年新高一数学竞赛12 2012年新高一数学竞赛13 2012年新高一数学竞赛14 2012年新高一数...
2012年新高一数学竞赛15
2012年新高一数学竞赛09 2012年新高一数学竞赛10 2012年新高一数学竞赛11 2012年新高一数学竞赛12 2012年新高一数学竞赛13 2012年新高一数学竞赛14 2012年新高一数...
2012年高一数学竞赛题
2012年新高一数学竞赛20 3页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要...则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是 14. 已知 ...
高一数学竞赛参考答案(13-14上)
2012年新高一数学竞赛14 3页 免费 2012年新高一数学竞赛13 4页 免费 2012年高一...f ( x) f ( x) 高一数学竞赛试题参考答案与评分建议·第 3 页共 4 页...
2012年高一数学竞赛解答01
2012年高一数学竞赛解答09 2012年高一数学竞赛解答10 2012年高一数学竞赛解答11 2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答13 2012年高一数学竞赛解答14 2012年...
2012年新高一数学竞赛17
2012年新高一数学竞赛09 2012年新高一数学竞赛10 2012年新高一数学竞赛11 2012年新高一数学竞赛12 2012年新高一数学竞赛13 2012年新高一数学竞赛14 2012年新高一数...
2012年高一数学竞赛解答18
2012年高一数学竞赛解答09 2012年高一数学竞赛解答10 2012年高一数学竞赛解答11 2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答13 2012年高一数学竞赛解答14 2012年...
2012年高一数学竞赛解答13
2012年高一数学竞赛解答07 2012年高一数学竞赛解答09 2012年高一数学竞赛解答10 2012年高一数学竞赛解答11 2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答14 2012年...
更多相关标签:
高一数学竞赛 | 高一数学竞赛试题 | 全国高一数学竞赛试题 | 高一数学竞赛题 | 2016北京高一数学竞赛 | 高一数学竞赛辅导 | 高一数学竞赛辅导书 | 北京市高一数学竞赛 |