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2012年新高一数学竞赛14


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 14

── 梅涅劳斯定理及其逆定理
姓名 _____________

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完成练习并将解答回发 jylingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

一、基本知识 定理:若一条直线和 ΔABC 的三边或其延长线分别交于 P、Q、R 三点,则 其逆命题也成立,称梅涅劳斯逆定理;非常广泛. 证明:(提示:证明方法很多,通常中面积法,连结 AP 和 RC ;逆命题证明可也用面积法)
A
AR RB ? BP PC ? CQ QA ?1.

R Q

B

C

P

二、重要例题 例 1. 如图在 ΔABC 中, AB>AC, 为∠BAC 的平分线, E 在 ΔABC 的内部, EC⊥AD, AD 点 且 ED∥AC; 求证:射线 AE 平分 BC 边.(提示:考虑对称,延长 D E 交 AB 于 G ,延长 CE 交 AB 于 F ,两次使
用梅氏定理,一次利用平行,得到三个比式,从而得到 MB ? MC )

证明:
A

E B M D C

1

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教练员 凌彬

例 2.过 ΔABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线,分别和 BC、CA、BA 的延长线交于 P、Q、R;求证:P、Q、R 三点共线.(提示:共线三点 P、 Q、 R 所在直线为 ? ABC 的外割线) 证明:
Q

B

A

R

O C

P

例 3.设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的延长线线交于点 E,另一组对边的延长线交于 F, 求证:AC 的中点 L,BD 的中点 M 及 EF 的中点 N 三点共线.(提示:关键构造一个三角形,
满足梅氏逆定理的条件,取 P、 Q、 R 分别为 FB、 EC、 BC 的中点,并连结 PQ、 PR、 QR、 QN )

证明:
E

A N D M L

B

C

F

2

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教练员 凌彬

三、巩固练习 14

(以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com)

1.如图,已知 ΔABC 的∠A 的外角平分线与边 BC 的延长线交于 P,∠B 的平分线与边 CA 交于 Q, ∠C 的平分线与边 AB 交于 R;求证:P,Q,R 三点共线.

A

R

Q

B

C

P

2. 如图, AD 为 ΔABC 的一条中线, 设 引任一条直线 CF 交 AD 于 E, AB 于 F, 交 求证:

AE ED

?

2 AF FB



A

F E

B

D

C

3.如图,在 ΔABC 的边 BC,CA,AB 上分别取点 M,N,P;使满足:

BM MC

?

CN NA

?

AP PB

? k ?1;

连结线段 CP,BN,AM 相交得 ΔXYZ,设原来的 ΔABC 的面积为 1,求 ΔXYZ 的面积.
A

N X P Y B M Z C

3


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