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2012年湖北省八市高三三月联考数理


2012 年湖北省八市高三三月联考试卷



学(理科)

本试卷共4页.全卷满分150分,考试时间120分钟. ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后, 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效. 3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内.答 在试题卷上无效. 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设集合 A = {x | 0 ≤ x ≤ 3}, B = {x | x 2 ? 3 x + 2 ≤ 0, x ∈ Z } ,则 A I B 等于 A. (?1,3) B.[1,2] C. {0,1, 2} D. {1, 2} 2.设 l , m, n 表示不同的直线, α,β,γ 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ∥ l ,且 m ⊥ α . 则 l ⊥ α ; ②若 m ∥ l ,且 m ∥ α .则 l ∥ α ; ③若 α I β = l , β I γ = m, γ I α = n ,则 l ∥m∥n; ④若 α I β = m, β I γ = l , γ I α = n, 且 n∥ β ,则 l ∥m. 其中正确命题的个数是 A.1 3.如果数列 a1 , A.32 B.2 C.3 D.4

a a a2 , 3 ,…, n ,…是首项为 1,公比为 ? 2 的等比数列,则 a5 等于 a1 a2 an ?1
B.64 C.-32 D.-64

4.下列命题中真命题的个数是 ①“ ?x ∈ R, x 2 ? x > 0 ”的否定是“ ?x ∈ R, x 2 ? x < 0 ” ; ②若 | 2 x ? 1|> 1 ,则 0 <

1 1 < 1或 < 0 ; x x
C.2 D.3

③ ?x ∈ N * , 2 x 4 + 1 是奇数. A.0 B.1
? 2 x ? y ≥ 0, ? y ≥ ? x + b, ?

5.若实数 x,y 满足 ? y ≥ x , ?

且 z = 2 x + y 的最小值为 4,则实数 b 的值为 C. 8
3

A.0

B.2

D.3
开始 s=0,n=1 否

1 6. ( x 2 ? ) n 的展开式中,常数项为 15,则 n 的值可以为 x A.3 B.4
C.5 D.6 7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,

n≤2012? 是 s=s+ sin -1-

nπ 3

输出 s 结束

n= n +1 第 7 题图

则输出的结果是 A.

3 2

B. 3

3 D. ? 3 2 2 2 8.已知方程: (m ? 1) x + (3 ? m) y = ( m ? 1)(3 ? m)
C. ? 表示焦距为 8 的双曲线,则 m 的值等于 A.-30
x

B.10

C.-6 或 10

D.-30 或 34

9. 已知函数 f ( x) = a + x ? b 的零点 x0 ∈ (n, n + 1)(n ∈ Z ) , 其中常数 a, 满足 2a = 3 ,3b = 2 , b 则 n 等于 A.-1 有实根的概率为 A. B.-2 C.1 D.2 则任取 (a, c) ∈ A , 关于 x 的方程 ax 2 + 2 x + c = 0 10. A = {(a, c) | 0 < a < 2, 0 < c < 2, a, c ∈ R} , 设

1 + ln 2 2

B.

1 ? ln 2 2

C.

1 + 2ln 2 4

D.

3 ? 2ln 2 4

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡中相应的位置) 11.已知 i 是虚数单位,计算

(2 + i ) 2 的结果是 ▲ . 3 ? 4i 12.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如图 所示,现规定不低于 70 分为合格,则合格人数是 ▲ .
频率 组距 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O 40 50 60 70 80 90 100 分数

第 13 题图

第 12 题图

米的 C 处 2 2 2 看此树,则该人离此树 ▲ 米时,看 A、B 的视角最大. 14.如图所示:有三根针和套在一根针上的 n 个金属片,按下列规则,把金属片从一根针上 全部移到另一根针上. (1)每次只能移动一个金属片; (2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面.将 n 个金属片从 1 号针移到 3 第 14 题图 号针最少需要移动的次数记为 f ( n) ; 则: (Ⅰ) f (3) = 题计分) ▲ (Ⅱ) f ( n) = ▲ 15. (考生注意:本题为选做题,请在下列两题中任选一题作答,如果都做,则按所做第(1) A D
-2-

13.如图:已知树顶 A 离地面

21

米,树上另一点 B 离地面

11

米,某人在离地面

3

B

C

(1)《几何证明选讲》选做题).如图:直角三角形 ABC 中, ( ∠B=90 o,AB=4,以 BC 为直径的圆交边 AC 于点 D, AD=2,则∠C 的大小为 ▲ . (2)(《坐标系与参数方程选讲》选做题).已知直线的极坐标方程 为 ρ sin(θ + 为 ▲ .

π
4

)=

2 7π ,则点 A(2, ) 到这条直线的距离 2 4

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = Asin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0,| ? |< (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)求函数 y = f ( x) + f ( x + 2) 的最大值与最小值.
2 1 -1 0 -1 -2 第 16 题图 1 2 3 4 5 6 7 x

π
2

, x ∈ R) 的图象的一部分如下图所示.
y

17. (本题满分 12 分) 形状如图所示的三个游戏盘中(图(1)是正方形,M、N 分别是所在边中点,图(2)是 半径分别为 2 和 4 的两个同心圆,O 为圆心,图(3)是正六边形,点 P 为其中心)各有一 个玻璃小球,依次摇动三个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏. (I)一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少? (II)用随机变量 ξ 表示一局游戏后,小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部 分的事件数之差的绝对值,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望.

(1)

(2) 第 17 题图

(3)

18. (本题满分 12 分) 一个四棱椎的三视图如图所示: (I)求证:PA⊥BD; (II)在线段 PD 上是否存在一点 Q, 使二面角 Q-AC-D 的平面角为 30o?若存在,求

DQ DP

的值;若不存在,说明理由. 18 题图 第 O 方程为 x 2 + y 2 = 4 ,点 P 在圆上,点 D 在 x 轴上,点 M 在

19. (本题满分 12 分)如图: DP 延长线上,

O 交 y 轴于点 N, DP / / ON .且 DM =

uuu r

uuur

uuuu r

r 3 uuu DP. 2

(I)求点 M 的轨迹 C 的方程; (II)设 F (0, 5)、F2 (0, ? 5) ,若过 F1 的直线交(I)中 1

-3第 19 题图

曲线 C 于 A、B 两点,求 F2 A F2 B 的取值范围.

uuuu uuuu r r

20. (本题满分 13 分)已知函数 f ( x) = a ln x ? ax ? 3(a ∈ R ) . (I)当 a = 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 y = f ( x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45o ,问:m 在什么范围取 值时, 对于任意的 t ∈ [1, 2] , 函数 g ( x) = x3 + x 2 [

m + f ′( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值? 2

21. (本题满分 14 分) 顶点在坐标原点,开口向上的抛物线经过点 A0 (1,1) ,过点 A0 作抛物线的切线交 x 轴于点 B1,过点 B1 作 x 轴的垂线交抛物线于点 A1,过点 A1 作抛物线的切线交 x 轴于点 B2,…, 过点 An ( xn , yn ) 作抛物线的切线交 x 轴于点 Bn +1 ( xn +1 ,0) . (I)求数列{ xn },{ yn}的通项公式 (n ∈ N ? ) ; (II)设 an =

1 1 1 ,数列{ an}的前 n 项和为 Tn.求证: Tn > 2n ? ; + 1 + xn 1 ? xn +1 2 1 1 1 )(1 + ) … (1 + ) ≥ a 2n + 3 b1 b2 bn
y A0

(III) bn = 1 ? log 2 yn , 设 若对于任意正整数 n, 不等式 (1 + 成立,求正数 a 的取值范围.

A1 A2 O B2 B1 x

第 21 题图

-4-

2012 年湖北省八市高三三月联考

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题: (每小题 5 分,10 小题共 50 分) 1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.C 9.A 10.C 二、填空题: (每小题 5 分,满 35 分) 11. ?

7 24 n + i 12.600 13.6 14.7(3 分) 2 ? 1(2 分) 25 25 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分) 2π 16. (I)由图象,知 A=2, =8,

15.(1)30o

(2)

2 2

ω

π π ∴ ω = ,得 f ( x) = 2sin( x + ? ) , ………………………………………2 分 4 4 π π 当 x = 1 时,有 × 1 + ? = , 4 2 π ∴ ? = .…………………………………………………………………………4 分 4 π π ∴ f ( x) = 2sin( x + ) .……………………………………………………… 6 分 4 4 π π π π (II) y = 2sin( x + ) + 2sin[ ( x + 2) + ] 4 4 4 4 π π π π = 2sin( x + ) + 2cos( x + ) ……………………………………………8 分 4 4 4 4 π π = 2 2 sin( x + ) 4 2 π = 2 2 cos x …………………………………………………………………10 分 4 ∴ ymax = 2 2 , ymin = ?2 2 .……………………………………………………12 分 17. “一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件 A1、A2、A3,由题 (I) 1 1 1 意知,A1、A2、A3 互相独立,且 P(A1) = ,P(A2) = ,P(A3) = , …3 分 2 4 3 1 1 1 1 ………………………………6 分 P(A1 A2 A3)= P(A1) P(A2) P(A3) = × × = 2 4 3 24 (II)一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是 0,1,2,3,相应 的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为 3,2,1,0,所以ξ可能的取值为 1, 3,则 P(ξ=3)= P(A1 A2 A3)+ P( A1 A2 A3 )=P(A1) P(A2) P(A3)+ P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 1 1 1 1 3 2 7 = × × + × × = , 2 4 3 2 4 3 24 7 17 P(ξ=1)=1- = . …………………………………………………………8 分 24 24 所以分布列为
ξ P 1 3

17 24

7 24

…………10 分

-5-

17 7 19 +3× = . ………………………………………12 分 24 24 12 18. (I)由三视图可知 P-ABCD 为四棱锥,底面 ABCD 为正方形,且 PA=PB=PC=PD, 连接 AC、BD 交于点 O,连接 PO . ……………………………………………3 分 因为 BD⊥AC,BD⊥PO,所以 BD⊥平面 PAC, 即 BD⊥PA.…………………………………………………………………………6 分 (II)由三视图可知,BC=2,PA=2 2 ,假设存在这样的点 Q, 因为 AC⊥OQ,AC⊥OD, 所以∠DOQ 为二面角 Q-AC-D 的平面角, ……………………………………8 分 在△POD 中,PD=2 2 ,OD= 2 ,则∠PDO=60o, 在△DQO 中,∠PDO=60o,且∠QOD=30o.所以 DP⊥OQ. ……………10 分 2 所以 OD= 2 ,QD= . 2 DQ 1 所以 = . …………………………………………12 分 Q DP 4
数学期望 Eξ=1× 19. (I)设 p ( x 0 , y 0 ), M ( x, y ) ,
O

? r ? y = 3 y0 ? y0 = 2 y 3 uuu ? 由于 DM = DP ? ? 3 2 ?? 2 ? x = x0 ? x0 = x ? ? uuuu r
代入 x0 + y0 = 4 得
2 2

……………………………3 分

x2 y 2 + =1 4 9

…………………………………………5 分

(II)①当直线 AB 的斜率不存在时,显然 F2 A F2 B = ?4 ;

uuuu uuuu r r

……………………6 分

②当直线 AB 的斜率存在时,不妨设 AB 的方程为: y = kx + 5

? y = kx + 5, ? 由? x2 y2 ? (9 + 4k 2 ) x 2 + 8 5kx ? 16 = 0 =1 ? + 9 ?4 不妨设 A1 ( x1,y1 ),B ( x2,y2 ),则:

uuuu uuuu r r F2 A F2 B = ( x1 , y1 + 5) ( x2 , y2 + 5) = ( x1 , kx1 + 2 5) ( x2 , kx2 + 2 5)

? ? 8 5k ? x1 + x2 = ? 9 + 4k 2 ? ? x x = ?16 ? 1 2 9 + 4k 2 ?

= x1 x2 + (kx1 + 2 5) (kx2 + 2 5) = (1 + k 2 ) x1 x2 + 2 5k ( x1 + x2 ) + 20 …8 分
?16(1 + k 2 ) ?80k 2 ?96k 2 ? 16 200 + + 20 = + 20 = ?4 + ……10 分 2 2 2 9 + 4k 9 + 4k 9 + 4k 9 + 4k 2 200 200 Q 0 ≤ k 2 ∴ 9 ≤ 9 + 4k 2 ∴ 0 < ≤ 2 9 + 4k 9 uuuu uuuu 164 r r ?4 < F2 A F2 B ≤ ……………………………………………………11 分 9 uuuu uuuu r r ? 164 ? 综上所述 F2 A F2 B 的范围是 ? ?4, ………………………………………12 分 9 ? ? ?

-6-

20. f ′( x) =

(I)当 a = 1 时, f ′( x) =

1 1? x ?1 = , ……………………………………2 分 x x 令 f ′( x) > 0 时,解得 0 < x < 1 ,所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增;………4 分 令 f ′( x) < 0 时,解得 x > 1 ,所以 f ( x) 在(1,+∞)上单调递减.…………6 分 (II)因为函数 y = f ( x) 的图象在点(2, f (2) )处的切线的倾斜角为 45o, 所以 f ′(2) = 1 . ?2 所以 a = ?2 , f ′( x) = + 2 . ………………………………………………7 分 x m 2 m g ( x) = x3 + x 2 [ + 2 ? ] = x 3 + ( + 2) x 2 ? 2 x , 2 x 2 g ′( x) = 3x 2 + (4 + m) x ? 2 , ……………………………………………………9 分 m 因为任意的 t ∈ [1,2] ,函数 g ( x) = x3 + x 2 [ + f ′( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值, 2 ? g ′(2) < 0, …………………………………………………………11 分 所以只需 ? ? g ′(3) > 0,
解得 ?

a ? a ( x > 0) x

……………………………………………………………1 分

37 < m < ?9 . ……………………………………………………………13 分 3 21. (I)由已知得抛物线方程为 y = x 2 , y ′ = 2 x . ………………………………………2 分
2 则设过点 An ( xn , yn ) 的切线为 y ? xn = 2 xn ( x ? xn ) .

令 y = 0, x =

xn x ,故 xn +1 = n . 2 2 1 1 又 x0 = 1 ,所以 xn = n , yn = n . ……………………………………………4 分 2 4

1 (II)由(1)知 xn = ( ) n . 2 1 1 2n 2n +1 所以 an = + = n + n +1 1 1 1 + ( ) n 1 ? ( ) n +1 2 + 1 2 ? 1 2 2 n n +1 2 +1 ?1 2 ?1 +1 1 1 = n + n +1 =1? n +1+ n+1 2 +1 2 ?1 2 +1 2 ?1 1 1 = 2?( n ? ) .……………………………………………6 分 2 + 1 2n+1 ? 1 1 1 1 1 由 n < n , n +1 > n +1 , 2 +1 2 2 ?1 2 1 1 1 1 得 n ? n+1 < n ? n+1 . 2 +1 2 ?1 2 2 1 1 1 1 所以 an = 2 ? ( n ? n+1 ) > 2 ? ( n ? n+1 ).…………………………7 分 2 +1 2 ?1 2 2 1 1 1 1 1 1 从而 Tn = a1 + a2 + L + an > [2 ? ( ? 2 )] + [2 ? ( 2 ? 3 )] + L + [2 ? ( n ? n +1 )] 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 = 2n ? [( ? 2 ) + ( 2 ? 3 )] + L + ( n ? n +1 )] 2 2 2 2 2 2 1 1 1 = 2n ? ( ? n +1 ) > 2n ? , 2 2 2

-7-

即 Tn > 2n ? (III)由于 yn =

1 .…………………………………………………………………9 分 2

1 ,故 bn = 2n + 1 . 4n
b1 b2 bn

对任意正整数 n,不等式 (1 + 1 )(1 + 1 ) L (1 + 1 ) ≥ a 2 n + 3 成立, 即a≤ 设 f (n) =

1 1 1 1 (1 + )(1 + )L (1 + ) 恒成立. b1 b2 bn 2n + 3
1 2n + 3

(1 +

1 1 1 )(1 + )L (1 + ) ,………………………………10 分 b1 b2 bn

则 f (n + 1) = 故

1 1 1 1 1 (1 + )(1 + )L (1 + )(1 + ). b1 b2 bn bn +1 2n + 5

f (n + 1) 2n + 3 2n + 3 2n + 4 2n + 4 1 = = (1 + )= bn +1 f ( n) 2n + 5 2n + 3 2n + 5 2 n + 3 2n + 5

>1 4n 2 + 16n + 15 所以 f (n + 1) > f ( n) ,故 f (n) 递增.…………………………………………12 分
则 f (n) min = f (1) = 故0 < a≤

4n 2 + 16n + 16

1 4 4 5 × = . 5 3 15

4 5 .…………………………………………………………………14 分 15 命题:天门市教研室 刘兵华 仙桃市教研室 曹时武 黄石市教研室 孙建伟 黄石二中 叶济宇 黄石四中 彭 强 审校:荆门市教研室 方延伟 荆门市龙泉中学 杨后宝 袁 海

-8-


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