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2015北京丰台高三一模数学(文)(word版+答案+免费免点数)


高三数学高考模拟试题(文科) 第一部分 (选择题 共 40 分) 选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. 1. 设集合 U={1,2,3,4,5,6}, A={x∈N∣1≤x≤3},则 ? U A = (A) U (B) {1,2,3} (C) {4,5,6} (D) {1,3,4,5, 6}

2.下列函数中,在区间 (0, ??) 上存在最小值的是 (D) y?lo g (A) y?(x? (C) y ? 2 x 1 )2 (B) y ? x 2x 3. 已知 a,b 是两条不同的直线,α 是一个平面,且 b ? α,那么“a⊥b”是“a⊥α”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4.当 n=5 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是 (A) 7 (B)10 (C) 11 (D) 16

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 48 (B) 32 (C) 16 (D)
32 3

6.将函数 y? 的图象向右平移 c o s x

个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来 6 的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是 1 ? 1 ? (A) y ?c (B) y ?c o s( x? ) o s( x? ) 2 6 2 3

?

s(2x? ) s(2x? ) (C) y ?co (D) y ?co 6 3 f ( x ), x ? 0 , ? 7.已知奇函数 y ? ? 如果 f (x) ?ax (a ? 0 且 a ? 1) g ( x ), x ? 0. ? 对应的图象如图所示,那么 g(x) ? 1 1 (A) ( ) ? x (B) ? ( ) x 2 2 ?x (C) 2 (D) ? 2 x

?

?

8.在正方体 A 中, P 为底面 A B C D ? A B C D B C D上一动点,如果 P 到点 A 1 的距离等于 P 到 11 1 1 直线 C C 1 的距离,那么点 P 的轨迹所在的曲线是 (A) 直线 (B)圆 (C) 抛物线 (D) 椭圆

第二部分 (非选择题 共 110 分) 一、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 3? i 9.复数 = . 1 ? 2i x2 y2 10.双曲线 ? . ? 1 的渐近线方程为 2 6 ? x ? 2 ? 0, ? 11.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 则 z?x? . 2 y的最大值是 ? x ? y ? 4 ? 0, ? 12.在平面直角坐标系 xO y 中,点 A (? 1 , 0 ), B ( c o s x , s i n) x,则 A B = (0, 3), C A B ∥ O C , 则 tan x = ______. 13.某中学共有女生 2000 人,为了了解学生体质 健康状况,随机抽取 100 名女生进行体质监测, 将她们的体重(单位:kg)数据加以统计,得到 如图所示的频率分布直方图,则直方图中 x 的值 为 ;试估计该校体重在 [55 ,70) 的女生有 人. 14.已知平面上的点集 A 及点 P ,在集合 A 内任取 一点 Q ,线段 P Q 长度的最小值称为点 P 到集合

;若

2 ,A ) .如果集合 Ax ,点 P 的坐标为 ( = { ( ,) yx |2 ?? y 4 } A 的距离,记作 d(P 22 ,2 2 ),那 (PA , )? ? { P | d (, P A )1 ? } 么d ; 如果点集 A 所表示的图形是半径为 2 的圆, 那么点集 D 所表示的图形的面积为 .

二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 2 5 ? 在△ ABC 中, 内角 A ,B , 已知 b ? 2 5 ,B ? , . C 的对边分别为 a , b ,c , cos C ? 4 5 (Ⅰ)求 c 的值; ABC (Ⅱ)求 ? 的面积.

16.(本小题共 13 分) 1, a2 ? b2 , a 2?b 已知等差数列 { a n } 和等比数列 { b n } 中, a 1 ?b 1? 4? 3.

(Ⅰ)求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式;
* (Ⅱ)如果 am ? bn (n?N . ) ,写出 m,n 的关系式 m ? f (n ),并求 f ( 1 ) ? f ( 2 ) ? ? fn ( )

17.(本小题共 13 分) 某出租车公司响应国家节能减排的号召, 已陆续购买了 140 辆纯电动汽车作为运营车辆, 目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数 R(单位:公里)分为 3 类,即 A:80≤R<150,B: 150≤R<250,C:R≥250.对这 140 辆车的行驶总里程进行统计,结果如下表: A B C 类型 已行驶总里程不超过 5 万公里的车 10 40 30 辆数 已行驶总里程超过 5 万公里的车辆 20 20 20 数 (Ⅰ)从这 140 辆汽车中任取 1 辆,求该车行驶总里程超过 5 万公里的概率; (Ⅱ)公司为了了解这些车的工作状况,决定抽取 14 辆车进行车况分析,按表中描述 的六种情况进行分层抽样,设从 C 类车中抽取了 n 辆车. (ⅰ)求 n 的值; (ⅱ)如果从这 n 辆车中随机选取 2 辆车,求恰有 1 辆车行驶总里程超过 5 万公里 的概率.

18.(本小题共 14 分) ? A B C 如图,在三棱柱 ABC 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , M 为棱 A C 中点. A , B ? B C 1 1 1
A C?2, A A 1 ? 2.

(Ⅰ)求证: B 1 C //平面 A1BM ; (Ⅱ)求证: AC1 ? 平面 A1BM ; (Ⅲ)在棱 BB 1 的上是否存在点 N ,使得平面 AC1 N ⊥平面 AA 1C 1C?如果存在,求此时

BN 的值;如果不存在,说明理由. B B1

B1

A1

C1

B

A

M

C

19.(本小题共 14 分) 2 2 已知椭圆 C: x 的右焦点为 F. ? 3 y ? 6 (Ⅰ)求点 F 的坐标和椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)直线 l: y? k x? m (k ? 0) 过点 F,且与椭圆 C 交于 P ,Q 两点,如果点 P 关于 x 轴 的对称点为 P ? ,判断直线 P ?Q 是否经过 x 轴上的定点,如果经过,求出该定点坐标;如果不 经过,说明理由.

20.(本小题共 13 分)
1 已知函数 f( . x )? a l n x ?( a ? R ) x (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y? f (x )在点 ( 1 , f( 1 )) 处的切线方程; (Ⅱ)如果函数 g 在 (0, ??) 上单调递减,求 a 的取值范围; () x ? f () x ? 2 x (Ⅲ)当 a ? 0 时,讨论函数 y? f (x )零点的个数.

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

丰台区 2015 年高三年级第二学期数学统一练习(一) 数 学(文科)参考答案 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 2 3 4 5 6 7 题号 C A B C B A D 答案 一、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.1-i 10. y ?? 3x

8 A

11.6

12. (1, 3) ; 3 13.0.024;1000 14.2; 8 ? 注:第 12,13,14 题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 2 5 解: (Ⅰ)在 ? 中, 0 , ABC ? C ? ?,且 cos C ? 5 5 所以 sin C ? . 5 c b ? 因为 ,且 b ? 2 5 , B ? , ? 4 sinC sinB 5 2 5? bsin C 5 ?2 2 . 所以 c ? ? sinB 2 2 所 以 c ? 2 2. ????????6 分 2 2 2 (Ⅱ)因为 b , ? a ? c ? 2 ac cos B 2 4 a ? 12 ? 0 所以 a? , 所以 a ? 6 或 a ?? . 2(舍) 1 所以 S . ???????? ? ac sin B ? 6 ? ABC 2 13 分 16.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 { a n } 的公差为 d ,等比数列 { b n } 的公比为 q ,则 ?1? d ? q . ? 2 ?1? 3d ? 2 ? q ?d ? 2 ?d ? ?1 解得 ? 或 ? (舍). ?q ? 3 ? q ? 0 a 2 n? 1 所 以 n?
bn ? 3 .
n?1



????????6 分

(Ⅱ)因为 am ? bn ,

1 n ? 1 m ? 1 ? 3 ). 所以 2 ,即 m? (3n?1 ?1 2

1 0 1 n ? 1 f ( 1 ) ? f ( 2 ) ? f ( n ) ? ( 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? ?? 31 ) 2 1 1?3n 10 1 n ? 1 ? n) ?( 3? 3? ? 3 ? n )? ( 2 1?3 2 3n ? 2n ?1 . ? 4

????????

13 分 所以 f ? ( 1 ) ? f ( 2 ) ? ? fn ( )

3n ? 2n ?1 . 4

17.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)从这 140 辆汽车中任取 1 辆,则该车行驶总里程超过 5 万公里的概率为 20 ?20 ?20 3 ???????? ? . 140 7 3分 3 0? 2 0 (Ⅱ) (ⅰ)依题意 n? ???????? ? 1 4?5. 1 4 0 6分 (ⅱ)5 辆车中已行驶总里程不超过 5 万公里的车有 3 辆,记为 A,B,C; 5 辆车中已行驶总里程超过 5 万公里的车有 2 辆,记为 M,N. “从 5 辆车中随机选取 2 辆车”的所有选法共 10 种: AB,AC ,AM,AN, BC,BM,BN,CM,CN,MN. “从 5 辆车中随机选取 2 辆车, 恰有一辆车行驶里程超过 5 万公里” 的选法共 6 种: AM,AN,BM,BN,CM,CN. 设“选取 2 辆车中恰有一辆车行驶里程超过 5 万公里”为事件 D, 6 3 则 P(D) ? ? . 10 5 3 答:选取 2 辆车中恰有一辆车行驶里程超过 5 万公里的概率为 .??????? 5 13 分 18.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)连结 A B 1 交 A 1 B 于 O ,连结 OM . 在 ?B1 AC 中,因为 M , O 分别为 A C , A B 1 中 点, 所以 OM // B 1 C .
B1

M ?平面 A1BM , B1C ? 平面 A1BM , 又因为 O
所以 B 1 C //平面 A1BM . ???????? 4分 M?平面 ABC , (Ⅱ)因为侧棱 AA1 ? 底面 ABC , B

A1 O B

C1

A B M 所以 A . 1? B ? B C, 所 以 又 因 为 M 为 棱 AC 中 点 , A B M ? A C . A C ? A 因为 A ,所以 B M?平面 ACC 1 A 1A 1.

A

M

C

所以 B M?A C 1. 因为 M 为棱 A C 中点, A . C?2,所以 A M? 1 又因为 A 中, t . t? A C C t? AA A a n ???? A C C t a n A M A 2 1和 R 1 M 1 ? 2 ,所以在 R 1 1 所以 ? ,即 ? . A C C ? ? A M A A C C ? ? C A C ? ? A M A ? ? C A C ? 9 0 1 1 1 1 1 1 所以 A M ? A C 1 1. 因为 B MA MM ? , 1 所以 AC1 ? 平面 A1BM . 10 分 (Ⅲ)当点 N 为 B B 1 中点时,即 ????????

BN 1 ? ,平面 ACN ?平面 AACC 1 1 1 . B B1 2 设 A C 1 中点为 D ,连结 DM , DN . B1 因为 D , M 分别为 A C 1 , A C 中点, 1 所以 DM // C C 1 ,且 DM ? CC1 . 2 A1 又因为 N 为 B B 1 中点, N 所以 DM // B N ,且 D . M ? B N 所以 BM // DN , B D 因为 B M?平面 ACC 1A 1, N ?平面 ACC 所以 D 1A 1. N ? 平 面 AC1 N , 所 以 平 面 A 又因为 D M ????????14 分 ACN ?平面 ACC 1 1A 1. 19.(本小题共 14 分) x2 y2 解: (Ⅰ)因为椭圆 C: ? ?1 6 2 所 以 焦 点 , 离 F(2,0)
e?

C1

C





6 ????????4 分 . 3 (Ⅱ)直线 l: y? ?? 2 k,所以 l: y k x? m (k ? 0) 过点 F,所以 m ? kx (? 2 ).

? x2 ? 3 y2 ? 6 2 2 2 2 3 k ? 1 ) x ? 1 2 k xk ?? 1 26 ? 0 . 由? ,得 ( (依题意 ? ? 0 ) . ? y ? k ( x ? 2) 设 P(x (x 1, y 1) , Q 2, y 2) ,
12k2 12k2 ?6 , . x . x ? 1 2 3k2 ?1 3k2 ?1 ?(x ,? y 因为点 P 关于 x 轴的对称点为 P ? ,则 P 1 1). y y 2? 1 所以,直线 P ?Q 的方程可以设为 y?y ( x? x ), 1? 1 x ? x 2 1 令 y ? 0, x y ? x y x y ? x y k x( x? 2 )? k x ( x 2 ) 1 2? x ?2 1 11? x ?2 1 1 2 ? 2 1 1 y ? y y ? y kx ( 1? x 4 ) 1 2 1 2 2?
则x 1 ?x 2 ?

12k 2 ? 6 12k 2 ? 2 2 2 2 xx ?2 (x 1 ?x 2) ? 3k ? 1 2 3k ? 1 ? 3 . ? 12 12k (x 4 ) 1 ?x 2? ( 2 ? 4) 3k ? 1 所以直线 P ?Q 过 x 轴上定点 (3, 0) . 2

????????14

分 20.(本小题共 13 分)
1 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f (x) ?2lnx? , f ( 1 ) ?1, x 2 1 所以 f ?(x) ? ? 2 , f ?( 1 ) ?1. x x 所 以 切 线 方 ????????3 分 y ? x. (Ⅱ)因为 g 在 (0, ??) 上单调递减, () x ? f () x ? 2 x a 1 ? 等价于 g 在 (0, ??) 恒成立, ( x )? ? 2 ? 2 ? 0 x x 1 变形得 a ? 2 x ? (x ? 0) 恒成立, x 1 1 x ? ? 22 x ? ? 22 而2 x x





(当且仅当 2 x ? 所以 a ?2 2. 8分 (Ⅲ) f ?(x) ?

1 2 ,即 x ? 时,等号成立) . x 2

????????

ax ?1 . x2
1 . a 1 (0 , ) a ?

令 f ?(x )?0,得 x ?

x
f ?( x) f ( x)

↘ 1 1 所以 f (x)min =f ( ) = a l n ? a? a ( 1 ? l n a ). a a ) 0 e时, f (x (ⅰ)当 0?a? ,所以 f ( x ) 在定义域内无零点; m i n? ) 0 (ⅱ)当 a ?e时, f (x ,所以 f ( x ) 在定义域内有唯一的零点; m i n?

1 a 0 极小值

1 ( , ?? ) a ? ↗

) 0 (ⅲ)当 a ?e时, f (x , m i n?
1 ① 因为 f( ,所以 f ( x ) 在增区间 ( , ? ? ) 内有唯一零点; 1 )? 1 ? 0 a 1 aa ( ? 2 l n a ), ② f( 2)? a 2 设h ,则 h?(a) ? 1? , () a ?? a2 l n a a ?(a 因为 a ?e,所以 h ) ?0,即 h ( a ) 在 (e, ??) 上单调递增,

1 1 ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在减区间 ( 0 , ) 内有唯一的零点. 2 a a 所以 a ?e时 f ( x ) 在定义域内有两个零点. 综上所述:当 0?a? e时, f ( x ) 在定义域内无零点; 当 a ?e时, f ( x ) 在定义域内有唯一的零点; 当 a ?e时, f ( x ) 在定义域内有两个零点. ????????

所以 h ,即 f ( () a? h () e? 0

13 分 (若用其他方法解题,请酌情给分)


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