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等比数列的前n项和


2.5

等比数列的前n项和

复习回顾
定义

等差数列

通项公式
前n项和公式

等比数列

an?1 * ? q( n ? N ) 定义 an
通项公式

an ? a1q

n?1



? amq

n? m



Sn ? a1 ? a2
a2 ? a1 ? 1 a3 ? a2 ? 2 a4 ? a3 ? 3
.........

? a3 ? ? ? an

Sn ? an ? an?1 ? an? 2 ? ? ? a1


倒序相加法



an ? an ?1 ? n ? 1 法

1 a1 ? ? 1 2 1 1 a2 ? ? 3 2 ? 1 1 an ? ? n?1 n

裂 项 相 消 法

求和的根本目的是— —消项

引入:国际象棋起源于古代印度,据传,国王要奖赏国 际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在 棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2 个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里 放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦 粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数 都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直 到第64个格子.”国王能满足他的要求吗?

等比数列前n项和公式

? ? q≠1时, 当 Sn ? ? n a1 (1 ? q ) a1 ? an q ? ? ? 1? q ? 1? q
① ②

当 ? q=1时,

na1

q?1 q?1

思考: 什么时候用公式①, 什么时候用公式②?

例1 判断正误:

1 ? (1 ? 2 ) ?1? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? × 1? 2
n 2 3 n

( 5 1-1 ) ? 5 ? 5 ? 5 ? ... ? 5( n项) ? ?0 1?1

n

×
n

?

1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? ( ?2 )

n ?1

1 1 ? (1 ? n ) 1 1 1 1 3 3 ④ ? 2 ? 3 ?? ? n ? 1 3 3 3 3 1? 3

1? (1 - 2 ) ? 1- 2 ×

?an ?为等比数列, Sn为前n项和 例2 填空:已知
a1
第 1题 第 2题 第 4题 3 8
-6

q
2 0.5
-4

n
6
5

an
96

Sn
189

第3题 -1.5

4
5

0.5 15.5 96 76.5 -96 -66

反思总结:

-2

①。 a1 , q, n, an , Sn

知三求二

②如果不能用公式直接求出某个量,就要建立方 程组来求解。

课堂小结 这节课我们主要学到了什么?
q?1

1. 一个公式: 错位相减 2. 两种方法: 解方程 类比 3. 三种数学思想: 方程 分类讨论

q?1

深化理解
3 9 例.在等比数列?an ?中,a3 ? , S3 ? , 求a1与q. 2 2

?an ?中,a1 ? 2, S3 ? 14, 求a3与q. 变式:在等比数列

能力检验
1 1 1.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 8, q ? , an ? , 求S n 2 2 2.设等比数列?an ?的前n项和为Sn , 若S3 ? S6 ? 2S9 , 求公比q.

?an ?中,已知Sn ? 189, q ? 2, an ? 96, 求a1和n. 3.在等比数列
4.求1 ? a ? a ? ? ? a 的和
2 n ?1

5.数列 1,1 ? 2,1 ? 2 ? 2 ,..., 1 ? 2 ? 2 ? ...? 2 ,... 的前n项和.
2 2

n?1

基础训练

6.已知等比数列的前 n项和为S n ? 4 ? a, 则a的值为()
n

A. ? 4

B. ? 1

C.0

D.1

?an ?中,已知Sn ? 48, S2n ? 60, 求S3n 7.在等比数列
?an ?中, 首项a1 ? 3, 前3项和为21 8.正项等比数列 ,求公比
S2 9.等比数列中, 8a2 ? a5 ? 0, 求 S5 10.等比数列中 , q ? 0,已知a2 ? 1, an?2 ? an?1 ? 2an求其前2013 项的和 .

11.等比数列公比不为 1, 若a1 ? 1, 且an?2 ? an?1 ? an ? 0, 求S5

提高练习

1.等比数列中 , Sn?1 , Sn , Sn?2成等差, 求公比q

2.一个等比数列的首项为 1,项数是偶数,其奇数 项的和为 85, 偶数项的和为 170 ,求此数列的公比和项 数.

分组求和法
3.在等差数列?an ?中,a5 ? 9, a3 ? a9 ? 22 (1)求数列?an ?的通项公式 (2)若在数列?an ?的相邻两项an和an ?1之间各插入一个数2n , 使之成为 新的数列?bn ?,Sn为数列?bn ?的前n项和,求S 20 . (3)若构成的新数列?bn ? 恰好为2n项,求S2 n

分组求和法

1 1 1 1 练习:求数列 1 ,2 ,3 , ... ,n ? n 的前 n项和. 2 4 8 2
裂项相消法

1 1 1 例.求数列1 ? ? ? ... ? 的值. 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n

变式:已知数列?bn ?的前n项和Sn ? n ? 2n ? 1,
2

? 1 ? 求数列 ? ?的前n项和Tn ? bnbn ?1 ?

常见裂项形式:

1 1 1 ? 1 ? n( n ? 2) ? 2 ( n ? n ? 2 ) ? 1 1 1 1 ? ? ( 2n ? 1)(2n ? 1) ? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1 ) ? ? 1 ? n ?1 ? n ? ? n ? n ?1 n ? 2 1 1 ? n ? n ?1 ? n n ?1 ? ( 2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 ? n ?1 ? l n (n ? 1) ? l n n ?l n n ?

错位相减法

1 n 2.已知 an ? (3n ? 1) ? ( ) , 求其前 n项和. 2 2 3 n 3.求和Sn ? x ? 2x ? 3x ? ... ? nx ( x ? 0)

1.求和Sn ? 1? 2 ? 2 ? 4 ? 3? 8 ? ....? n ? 2

n

数列求和小结
1.公式法

直接用等差、等比数列 的求和公式求和(注意 公比含字母是一定要讨 论)

2.分组求和法 把数列的每一项分成若 干部分,并分别把具有 共同特征的部分放在一 起 是其转化为等差或等比 数列求和(等差? 等比)(等比? 等比)

3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项 之差,求和时按照所拆 写出所有项,正负相消 剩下首尾若干项 .

4.错位相减法 只适用于(等差? 等比)的形式,做法唯 一:两边同时乘以公比

其它求和公式简介: n(n ? 1)(2n ? 1) 1.1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 6
2 2 2 2

? n(n ? 1) ? 2.1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? ? ? ? 2 ?
3 3 3 3

2

1.已知函数f ( x) ? ? x 2 ? 7 x, 数列?an ? 的前n项和为S n , 点P(n, S n ) 在y ? f ( x)上(1)求数列?an ? 的通项公式及 S n的最大值; (2)令bn ? 2 an , 求?nbn ? 的前n项和Tn .

链接高考

?an ? 2?为等比数列; (1)求证:

2.已知数列?an ? 的前n项和为S n , 满足S n ? 2an ? 2n

? bn ? (2)若数列?bn ?满足bn ? log2 (an ? 2),Tn为数列? ? ? an ? 2 ? 1 3 的前n项和,求证: ? Tn ? 2 2


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