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高中数学联赛模拟题1


全国高中数学联赛模拟试题 1
第一试
一.填空题(每小题 8 分,共 64 分) 5 ? 4 x ? x2 1.函数 f ( x) ? 在 (??, 2) 上的最小值是 2? x 2. 函数 y ? . .

sin x cos x 的值域是 1 ? sin x ? cos x

3. 将号码分别为 1、2、?、9 的九

个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完 全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b。则使不等式 a?2b+10>0 成立的事件发生的概率等于 . n ?1 4.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? an ? , n ? 1, 2,? ,则通项 an = . n(n ? 1)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 交于 M,N 两点,且 OM ? ON ,( O 为 a 2 b2 3 2 原点),当椭圆的离心率 e ? [ . , ] 时,椭圆长轴长的取值范围是 3 2 6.函数 y ? 5 x ?1 ? 10 ? 2x 的最大值是 . 7 .在平面 直角坐标 系中,定 义点 P?x1 , y1 ? 、 Q?x2 , y 2 ? 之 间的“直角距 离”为
5.已知椭圆

d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 .

若 C ? x, y ? 到点 A?1,3? 、 B?6,9? 的“直角距离”相等,其中实

数 x 、y 满足 0 ? x ? 10 、0 ? y ? 10 , 则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和为 . 8. 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运 动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .

二.解答题(共 56 分)
9.(16 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f (1) ? 总有 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) 成立.

5 ,且对于任意实数 x、 y , 2

(1)若数列 {an } 满足 an ? 2 f (n ? 1) ? f (n)(n ? 1, 2,3,?) ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若对于任意非零实数 y ,总有 f ( y ) ? 2 .设有理数 x1 , x2 满足 | x1 |?| x2 | ,判断 f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的大小关系,并证明你的结论. 10.(20 分)设 b ? 0 ,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

b n ?1 ?1. 2n ?1 kabc ? (a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ,求 k 的 11.(20 分)若 a 、 b 、 c ? R? ,且满足 a?b?c
(2)证明:对于一切正整数 n , an ? 最大值。

加试
一. (40 分)在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L : y ?

1 2 x .实数 p, q 满足 4

p2 ? 4q ≥ 0 , x1 , x2 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两根,记 ?( p, q) ? max{ x1 , x2 } .

1 2 p0 ) ( p0 ? 0) 作 L 的切线交 y 轴于点 B .证明:对线段 AB 上的任 4 p0 一点 Q( p, q) ,有 ? ( p, q) ? ; 2 1 5 2 ( 2 )设 D ? {( x , y ) | y≤ x ? 1 , y ≥ ( x ? 1) ? } .当点 ( p , q ) 取遍 D 时,求 4 4 ? ( p, q) 的最小值 (记为 ?min )和最大值(记为 ?max ).
(1)过点 A( p0 , 二. ( 40 分)如图,给定凸四边形 ABCD , ?B ? ?D ? 180? , P 是平面上的动点,令 f ( P) ? PA ? BC ? PD ? CA ? PC ? AB . (Ⅰ)求证:当 f ( P ) 达到最小值时, P,A,B,C 四点共圆; (Ⅱ)设 E 是 ?ABC 外接圆 O 的弧AB上一点,满足:

AE 3 , ? AB 2

BC 1 , D C是 圆 O 的 切 线 , ? 3 ? 1 , ?ECB ? ?ECA , 又 D A EC 2 AC ? 2 ,求 f ( P ) 的最小值.
二题图 三. (50 分)如图,在 7×8 的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果 两个棋子所在的小方格共边或共顶点,那么称这两个棋子相连。现从这 56 个棋子中取出一 些,使得棋盘上剩下的棋子,没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连。问最少 取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由。

四. (50 分)求证:对 i ? 1, 2,3, 均有无穷多个正整数 n ,使 得 n, n ? 2, n ? 28 中恰有 i 个可表示为三个正整数的立方和。

模拟试题一参考答案
第一试 一. 填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.2.当 x ? 2 时, 2 ? x ? 0 ,因此 f ( x) ?

1 ? (4 ? 4 x ? x 2 ) 1 1 ? ? (2 ? x) ? 2 ? ? (2 ? x) 2? x 2? x 2? x

2? x 上的最小值为 2.
2. ? ?

1 ? 2, 当且仅当 而此方程有解 x ? 1? (??, 2) , 因此 f ( x) 在 (??, 2) ? 2 ? x 时上式取等号.

? ?

? ? 2 ?1 2 ? 1? , ?1? ?? ?1, ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? 2 sin(x ? 4 ). ? ?

设 t=sinx+cosx= 2 ?

n ?( ) ? 1, 所 以 ? 2 ? t ? 因 为 ?1 ? s i x 4

?

2. 又 因 为 t2=1+2sinxcosx, 所 以

x2 ?1 t 2 ?1 2 ? t ? 1 ,所以 ? 2 ? 1 ? y ? 2 ? 1 . sinxcosx= ,所以 y ? 1? t 2 2 2 2 t ?1 ? ?1 ,所以 y ? -1. 因为 t ? -1,所以 2 ? 2 ?1 ? ? 2 ? 1? ? ? 1, 所以函数值域为 y ? ?? ,?1? ? ?. ? ? 2 2 ? ? ? ? 61 2 3. 甲、乙二人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果,故基本事件总数为 9 =81 个。 81 。
由不等式 a?2b+10>0 得 2b<a+10,于是,当 b=1、2、3、4、5 时,每种情形 a 可取 1、2、?、 9 中每一个值,使不等式成立,则共有 9×5=45 种;当 b=6 时,a 可取 3、4、?、9 中每一 个值,有 7 种;当 b=7 时,a 可取 5、6、7、8、9 中每一个值,有 5 种;当 b=8 时,a 可取 7、8、9 中每一个值,有 3 种;当 b=9 时,a 只能取 9,有 1 种。于是,所求事件的概率为

45 ? 7 ? 5 ? 3 ? 1 61 ? 。 81 81 1 1 n n ?1 4. n ? a ? S ?S ? ?a ? ?a , 2 n(n ? 1) 。 n?1 n?1 n (n ? 1)(n ? 2) n?1 n(n ? 1) n
n?2?2 1 1 ? ? ? an (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n(n ? 1) ?2 1 = , ? an ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) 1 1 由此得 2 (a n ?1 ? . ) ? an ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) 1 1 1 令 bn ? an ? , b1 ? a1 ? ? ( a1 ? 0 ), 2 2 n(n ? 1)
即 2 a n ?1 ? 有 bn ?1 ?

1 1 1 1 . bn ,故 bn ? n ,所以 a n ? n ? 2 2 n ( n ? 1) 2

? x2 y 2 ?1 ? ? 5. ? 5, 6 ? 由 ? a 2 b 2 ,可得 (a2 ? b2 ) x2 ? 2a2 x ? a2 ? a2b2 ? 0 ? ?。 ?x ? y ? 1 ?
由 OM ? ON 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,将 x1 ? x2 ? ?



2a 2 , a 2 ? b2

a 2 ? a 2b 2 1 1 1 1 3 c 2 x1 x2 ? 2 代入得 2 ? 2 ? 2 ,即 2 ? 2 ? 2 ,因为 ,得 ? ? 2 a b b a a ?b 3 a 2 1 b2 1 1 b2 2 3 1 ? 1 ? 2 ? ,得 ? 2 ? ,有 ? a 2 ? (2 ? 2 ) ? 2 ,解得 5 ? 2a ? 6 . 2 a 3 a 2 2 a 3
5] ,且 y ? 0 。 y ? 5 ? x ?1 ? 2 ? 5 ? x 6. 6 3 。函数的定义域为 [1,

? 52 ? ( 2 ) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( 5 ? x ) 2 ? 27 ? 4 ? 6 3

127 当且仅当 2 ? x ?1 ? 5 ? 5 ? x ,等号成立,即 x ? 时函数取最大值 6 3 。
7. 5( 2 ?1) 。由条件得

27 x ?1 ? y ? 3 ? x ? 6 ? y ? 9

--------①

x ?1 ? 6 ? x ? 6 当 y ? 9 时,①化为 ,无解;

x ?1 ? 6 ? x ? 6 当 y ? 3 时,①化为 ,无解;
2 y ? 12 ? x ? 6 ? x ? 1 当 3 ? y ? 9 时,①化为 -------②
若 x ? 1, 则 y ? 8.5 , 线段长度为1; 若1 ? x ? 6 , 则 x ? y ? 9.5 , 线段长度为 5 2 ; 若 x ? 6 ,则 y ? 3.5 ,线段长度为4.综上可知,点 C 的轨迹的构成的线段长度之和为

1? 5 2 ? 4 ? 5 2 ?1 。
8. 72 3 。如答图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r ,作平面 A1 B1C1 // 平 面 ABC , 与 小 球 相 切 于 点 D , 则 小 球 球 心 O 为 正 四 面 体 P ? A1 B 的中心, 1 C 1

?

?

PO ? 面A1B1C1 ,垂足 D 为 A1 B1C1 的中心. 1 因 VP ? A B C ? S ?A B C ? PD 3 ? 4 ?VO? A1B1C1 1 ? 4 ? ? S?A B C ? OD , 3 故 PD ? 4OD ? 4r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4r ? r ? 3r . 记此时小球与面 PAB 的切点为 P1 ,连接 OP ,则 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 PP (3r ) 2 ? r 2 ? 2 2r . 1 ? PO ? OP 1 ?

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相切时 的情况,易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为 正三角形,记为 P ,如答图 2.记正四面体 1 EF 的棱长为 a ,过 P1 作 PM ? PA 于 M . 1 答图 1

6 PE ? PA ? 2PM ? a ? 2 6r . 1 小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答图 2 中阴影部分)

因 ?MPP 1 ?

?

, 有 PM ? PP 1 ? cos MPP 1 ? 2 2r ?

3 ? 6r , 故 小 三 角 形 的 边 长 2

3 2 2 (a ? (a ? 2 6r )2 ) ? 3 2ar ? 6 3r . 4 又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以 S?PAB ? S?P1EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 .

S?PAB ? S?PEF ? 1

由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触 到的容器内壁的面积共为 72 3 二. 解答题(共 56 分)

答图 2

9.解:(1)令 x ? 1, y ? 0 ,? f ?1? ? f ? 0? ? f ?1? ? f ?1? ,又? f (1) ?

5 ,? f ? 0? ? 2 . 2 令 x ? 0 ,得 f (0) f ( y) ? f ( y) ? f (? y) ,即 2f ( y) ? f ( y) ? f (? y)

? f ( y) ? f (? y) 对任意的实数 y 总成立, ? f ? x ? 为偶函数.

令 x ? y ? 1 ,得 f ?1? f ?1? ? f ? 2? ? f ? 0? ,?

25 17 ? f (2) ? 2 ,? f (2) ? . 4 4

17 5 ? ? 6. 2 2 令 x ? n ? 1, y ? 1 ,得 f (n ? 1) f (1) ? f (n ? 2) ? f (n) , 5 ? f (n ? 2) ? f (n ? 1) ? f (n) . 2 ?5 ? ? an?1 ? 2 f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 1? ? 2 ? f ? n ? 1? ? f ? n ?? ? f ? n ? 1? ? 4 f ? n ? 1? ? 2 f ? n ? ?2 ? ? 2[2 f (n ? 1) ? f (n)] ? 2an (n …1).

? a1 ? 2 f (2) ? f (1) ?

? {an } 是以 6 为首项,以 2 为公比的等比数列. ∴ an ? 6 ? 2n?1 . (2)结论: f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 证明:∵ y ? 0 时, f ( y ) ? 2 , ∴ f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? 2 f ( x) ,即 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? y ) . ∴令 x ? ky( k ? N + ) , 故 ?k ? N + , 总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] 成
立. 则

f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] ? f [(k ? 1) y] ? f [(k ? 2) y] ? ? ? f ( y) ? f (0) ? 0 .
∴对于 k ? N ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) 成立.
+

+ ∴对于 m, n ? N ,若 n ? m ,则有 f (ny ) ? f ? ?? n ? 1? y ? ? ? ? ? f (my ) 成立.

q1 q ,| x2 |? 2 ,其中 q1 , q2 是非负整数, p1 , p2 都是正整 p1 p2 qp pq 1 + 数,则 | x1 |? 1 2 ,| x2 |? 1 2 ,令 y ? , t ? q1 p2 , s ? p1q2 ,则 t , s ? N . p1 p2 p1 p2 p1 p2 ∵ | x1 |?| x2 | ,∴ t ? s ,∴ f (ty) ? f ( sy ) ,即 f (| x1 |) ? f (| x2 |) .
∵ x1 , x2 ? Q ,所以可设 | x1 |? ∵函数 f ( x ) 为偶函数,∴ f (| x1 |) ? f ( x1 ), f (| x2 |) ? f ( x2 ) .∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 10 解:∵ an ?

nban ?1 a ban ?1 n 2 n ?1 1 ,∴ n ? ,∴ ? ? ? n an ?1 ? 2n ? 2 an b an?1 b an ?1 ? 2n ? 2 1 1 n n ?1 1 n ① 当 b ? 2 时, ? ? ,则 { } 是以 为首项, 为公差的等差数列 2 2 an an ?1 2 an n 1 1 ∴ ? ? (n ? 1) ? ,即 an ? 2 an 2 2 n 1 2 n ?1 1 ② 当 b ? 0 且 b ? 2 时, ? ? ( ? ) an 2 ? b b an?1 2 ? b n 1 2 当 n ? 1 时, ? ? an 2 ? b b(2 ? b) 2 2 n 1 ∴{ ? 为首项, 为公比的等比数列 } 是以 b b(2 ? b) an 2 ? b n 1 1 2 ∴ ? ? ? ( )n an 2 ? b 2 ? b b



n 2n 1 2n ? b n ? ? ? an (2 ? b)bn 2 ? b (2 ? b)bn

n(2 ? b)b n 2n ? b n ? n(2 ? b)bn ,  b ? 0且b ? 2 ? 综上所述 an ? ? 2n ? b n ?2,   b ? 2    ?
∴ an ? (2)方法一: 证明:① 当 b ? 2 时, an ?

b n ?1 ?1 ? 2 ; 2n ?1 ② 当 b ? 0 且 b ? 2 时, 2n ? bn ? (2 ? b)(2n?1 ? 2n?2 b ? ? ? 2bn?2 ? bn?1 )

an ?

n ? bn n ? bn ? ? 2n?1 ? 2n?2 b ? ? ? 2bn?2 ? bn?1 n n 21?2???( n?1) ? b1? 2???( n?1)
n ?1 2 n ?1 2

bn
n

2

n ( n?1) 2

?b

n ( n ?1) 2

? 2

b
n ?1 2

n n ?1 2

?

b 2

?

b n ?1 2n ?1

?

?b

b n ?1 ? 2n ?1 2 b n ?1 ? 2n ?1 b n ?1 ? 2n ?1 bn?1 ? ? ? n?1 ? 1 2 2n ?1 2n ?1 2n ?1

∴对于一切正整数 n , an ? 方法二: 证明:① 当 b ? 2 时, an ?

b n ?1 ?1. 2n ?1

② 当 b ? 0 且 b ? 2 时, 要证 an ?

b n ?1 ?1 ? 2 ; 2n ?1

b n ?1 nb n (2 ? b) b n ?1 ? n ?1 ? 1 , ? 1 ,只需证 2n ? b n 2 2n ?1 n(2 ? b) b 1 ? ? 即证 n 2 ? b n 2n ?1 b n n b 1 ? n ?1 ? n 即证 n ?1 n?2 n?2 n ?1 2 ? 2 b ? ? ? 2b ? b 2 b b 1 n ?1 n?2 n?2 n ?1 即证 ( n ?1 ? n )(2 ? 2 b ? ? ? 2b ? b ) ? n 2 b 2 b b b n ?1 b n 2n ?1 2n ?2 2 1 即证 ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ) ? ( n ? n ?1 ? ? ? 2 ? ) ? n 2 2 2 2 b b b b 2 n ?1 n n ?1 n?2 b b b b 2 2 2 1 ∵ ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ) ? ( n ? n ?1 ? ? ? 2 ? ) 2 2 2 2 b b b b 2 n ?1 n?2 n b 1 b 2 b 2 b 2n ?1 ? ( 2 ? ) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( n ? n?1 ) ? ( n?1 ? n ) 2 b 2 b 2 b 2 b

b 1 b2 2 bn?1 2n?2 bn 2n?1 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?n, 22 b 23 b2 2n bn?1 2n?1 bn b n ?1 ∴原不等式成立。∴对于一切正整数 n , an ? n ?1 ? 1 . 2 2 2 2 2 11 解:由均值不等式得 (a ? b) ? (a ? b ? 4c) ? (a ? b) ? [(a ? 2c) ? (b ? 2c)] ?2

? (2 ab) 2 ? (2 2ac ? 2 2bc) 2 ? 4ab ? 4 ? 2ac ? 4 ? 2bc ? 2 ? 2 ? 2 ? 2c ? ab

? 4ab ? 8ac ? 8bc ? 16c ab , (a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 4ab ? 8ac ? 8bc ? 16c ab ∴ ? ( a ? b ? c) ? ? ( a ? b ? c) abc abc c 8 8 16 1 1 1 1 1 a a b b ?( ? ? ? )(a ? b ? c) ? 8( ? ? ? ? )( ? ? ? ? c) 4 b a 2c b a ab ab ab 2 2 2 2

? 8(5 ? 5

1 a 2b 2 c 5 ) ? ( 5 ? ) ? 100,等号成立当且仅当 a ? b ? 2c ? 0 , 2a 2 b 2 c 24
加试

故 k 的最大值为 100 . 一,解: (1) A( p0 ,

1 2 1 1 p0 ) 是抛物线 L 上的点, y? ? x ,则切线的斜率 k ? p0 4 2 2 1 2 1 1 1 2 过点 A 的抛物线 L 的切线方程为 AB :y ? p0 ? p0 ( x ? p0 ) , 即 y ? p0 x ? p0 4 2 2 4 1 1 2 ∵ Q( p, q) 在线段 AB 上,∴ q ? p0 p ? p0 , 2 4 1 1 2 2 2 2 ∴ p ? 4q ? p ? 4( p0 p ? p0 ) ? ( p ? p0 ) ≥ 0 2 4

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q 不妨设方程 x ? px ? q ? 0 的两根为 x1 ? , x2 ? 2 2
2

则 x1 ?

p ? p ? p0 2

, x2 ?

p ? p ? p0 2

① 当 p0 ? 0 时, 0 ? p ? p0 , x1 ? ∵?

2 p ? p0 p p ? p ? 0 , x2 ? 0 2 2 2

p p0 p ? x1 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ,∴ ?( p, q) ? max{ x1 , x2 } ? x2 ? 0 2 2 2 p0 2 p ? p0 p0 ? p? ② 当 p0 ? 0 时, p0 ? p ? 0 , x1 ? , x2 ? 2 2 2 p0 p p ∵ 0 ? x2 ? ? 0 ,∴ x1 ? x2 ,∴ ? ( p, q) ? max{ x1 , x2 } ? x1 ? 2 2 2 p0 综上所述,对线段 AB 上的任一点 Q( p, q) ,有 ? ( p, q) ? 2 y ? x ? 1 ? ? 8 (2)如图所示,由 ? 1 5 ,求得两个交点 A(0, ?1), B(2,1) 2 y ? ( x ? 1) ? ? ? 4 4

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ? ? x2 , 则 0 ? p ? 2 ,∴ x1 ? 2 2
4

6

∴ ? ( p, q) ? max{ x1 , x2 } ?

① 由 y ? x ? 1 ,得 q ? p ? 1 ,

p ? p ? 4q 2
2

y
2

B
-15 -10 -5

O
A
-2

x

5

-4

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4 p ? 4 p ? p ? 2 ∴ ? ? ? 1,即 ?min ? 1 . 2 2 2 1 5 1 5 1 2 1 2 2 ② 由 y ? ( x ? 1) ? ,得 q ? ( p ? 1) ? ? p ? p ? 1 4 4 4 4 4 2 2 ∴ p ? 4q ? 4 ? 2 p , p ? p 2 ? 4q p ? 4 ? 2 p ∴ ? 2 2 1 2 令 4 ? 2 p ? t ,则 p ? ? t ? 2 , 0 ? t ? 2 2 1 2 p ? 4 ? 2 p ? 2 t ? t ? 2 ?t 2 ? 2t ? 4 ?(t ? 1)2 ? 5 5 5 ∴ ? ? ? ? ,即 ? max ? 4 2 2 4 4 4 5 综上所述 ?min ? 1 , ? max ? 4
二. 解: (Ⅰ) 由托勒密不等式, 对平面上的任意点 P , 有P . A? B C ? P C A ?B P ? BA C ? 因此 f ( P) ? PA ? BC ? PC ? AB ? PD ? CA ? PB ? CA ? PD ? CA ? ( PB ? PD) ? CA . 因为上面不等式当且仅当 P, A, B, C 顺次共圆时取等号,因此当且仅当 P 在 ?ABC 的外接圆 且在弧AC上时, f ( P) ? ( PB ? PD) ? CA . 又因 PB ? PD ? BD ,此不等式当且仅当 B, P, D 共线且 P 在 BD 上时取等号.因此 当且仅当 P 为 ?ABC 的外接圆与 BD 的交点时, f ( P ) 取最小值 f ( P)min ? AC ? BD . 故当 f ( P ) 达最小值时, P, A, B, C 四点共圆.

? 2? , 由 正 弦 定 理 有 ( Ⅱ ) 记 ?ECB ? ? , 则 ?E C A

AE sin 2? 3 ,从而 ? ? AB sin 3? 2 3sin3? ? 2sin 2? ,即 3(3sin ? ? 4sin3 ? ) ? 4sin ? cos ? ,所以

3 3 ? 4 3(1 ? cos2 ? ) ? 4cos ? ? 0 ,
整理得 4 3 cos2 ? ? 4cos ? ? 3 ? 0 ,解得 cos ? ? 故 ? ? 30? , ?ACE ? 60? .

3 1 或 cos ? ? ? (舍去) , 2 2 3

sin ?EAC ? 30 BC 由已知 , 有 sin(?EAC ? 30? ) ? ( 3 ?1)sin ?EAC ,即 ? 3 ?1 = EC sin ?EAC 3 1 2? 3 1 sin ?EAC ? cos ?EAC ? ( 3 ? 1)sin ?EAC ,整理得 sin ?EAC ? cos ?EAC , 2 2 2 2 1 ? 故 tan ?EAC ? ? 2 ? 3 ,可得 ?EAC ? 75 , 2? 3 从而 ?E ? 45? , ?DAC ? ?DCA ? ?E ? 45? , ?ADC 为等腰直角三角形.因 AC ? 2 ,则 CD ? 1 . 又 ?ABC 也 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 故 BC ? 2 , BD2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 cos135? ? 5 , BD ? 5 .
0

?

?

故 f (P)min ? BD ? AC ? 5 ? 2 ? 10 .

三.解:最少要取出 11 个棋子,才可能满足要求。其原因如下:如果一个方格在第 i 行第 j 列,则记这个方格为(i,j)。 第一步证明若任取 10 个棋子,则余下的棋子必有一个五子连珠,即五个棋子在一条直 线(横、竖、斜方向)上依次相连。用反证法。假设可取出 10 个棋子,使余下的棋子没有 一个五子连珠。如图 1,在每一行的前五格中必须各取出一个棋子,后三列的前五格中也必 须各取出一个棋子。这样,10 个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分。同理,由对 称性,也不会分布在其他角上的阴影部分。第 1、2 行必在每行取出一个,且只能分布在(1, 4)、(1,5)、(2,4)、(2,5)这些方格。同理(6,4)、(6,5)、(7,4)、(7,5)这些方格上 至少要取出 2 个棋子。在第 1、2、3 列,每列至少要取出一个棋子,分布在(3,1)、(3,2)、 (3,3)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)所在区域,同理(3,6)、(3, 7)、(3,8)、(4,6)、(4,7)、(4,8)、(5,6)、(5,7)、(5,8)所在区域内至少取出 3 个棋子。这样,在这些区域内至少已取出了 10 个棋子。因此,在中心阴影区域内不能取出 棋子。由于①、②、③、④这 4 个棋子至多被取出 2 个,从而,从斜的方向看必有五子连珠 了。矛盾。

图1 图2 第二步构造一种取法,共取走 11 个棋子,余下的棋子没有五子连珠。如图 2,只要取 出有标号位置的棋子,则余下的棋子不可能五子连珠。 综上所述,最少要取出 11 个棋子,才可能使得余下的棋子没有五子连珠。 四.证明:三个整数的立方和被 9 除的余数不能是 4 或 5 ,这是因为整数可写为

3k或3k ? 1(k ? Z ) 而 (3k )3 ? 9 ? 3k 3 , (3k ? 1)3 ? 9(3k 3 ? 3k 2 ? k ) ? 1.
对 i ? 1, 令n ? 3(3m ?1) ? 2(m ? Z ), 则n, n ? 28 被 9 除的余数分别为 4, 5, 故均不能表示
3 ?

为三个整数的立方和,而 n ? 2 ? (3m ?1) ? (3m ? 1) ? (3m ? 1) ,
3 3 3

对 i ? 2, n ? (3m ?1) ? 222(m ? Z ) 被 9 除的余数为 5,故不能表示为三个整数的立方和,
3

?

而 n ? 2 ? (3m ?1) ? 2 ? 6 , n ? 28 ? (3m ?1) ? 5 ? 5 .
3 3 3 3 3 3

对 i ? 3, n ? 216m (m ? Z ) 满足条件: n ? (3m) ? (4m) ? (5m) ,
3 3 3 3

?

n ? 2 ? (6m)3 ? 13 ? 13 , n ? 28 ? (6m)3 ? 13 ? 33.


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