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高中数学奥赛系列辅导材料 数论函数


数论函数
【内容综述】 本讲介绍数论中常见的一些函数的概念、性质及其应用,主要有 除数函数 ——自然数 n 的正因数的个数函数; ——自然数 n 的全部正因数的和函数; 欧拉函数 ——设 n 是大于 1 的自然数, 则欧拉函数 ”: ; 是表示与 n 互素且不大于 n 的自然数的个数;(高斯函数或称方括号函数[X]在下讲介绍)为书写清楚,同学们应熟 悉连加符号“ ”与连乘符号“

特别是“ “ 【要点讲解】

”表示对称式的和 ”表示对称式的积 abc??;



§1.约数个数函数 §2.约数和函数 §3.欧拉函数 φ (n) ★ §1. 约数个数函数 定义 1 定理 1 设 设 ,则 的正约数的个数称为函数 ,且 是质数 则 , 。 ★ ★

略证: 由乘法原理,约数系由 有



、?、

的不同取法而生成,它们的取法分别

种(含不取该约数的 1 种取法),故 得证

例 1. 求 24 的正约数个数。 解:

事实上,易求得约数分别是 1,2,3,4,6,8,12,24;个数正是 8 个。 §2 定义 约数和函数 设 , ,则称 的正约数和为函数 。

定理 2

自然数 的正约数和函数

( 其 中 ) 。 略证 注意到( )



的 素 数 ,

, 展开后,其项数恰为 的约数个数 , 又每项皆形如 , ,于是有

可见每项皆自然数 的约数且每个约数只出现一次,由此可见该积即

例 2. 求 780 的正约数和 解:



定理 3

若 、 是互质的自然数,即(a,b)=1,则

证明: 设 ∵ ,故 与





各不相同(i=1,2,…,j=1,2,…,m)

§3.欧拉函数 定义 设 互素且不大于 的自然数的个数( ),称为欧拉函数。

如 (∵每个小于 。 关于欧拉函数 ,有以下性质定理 则 互素的充要条件是 之间,有以下 , 即有:

,易证 的自然数都与它互素) ;反之可见,若

是素数

是合数,必有

定理4 设 P 是素数,且 证明 ∵ P 是素数, 显然有 与 反之若 自然数个数。



,且知在 1 和

个数是 p 的倍数: 且与 互素的

,而其余的数都与

互素,从而可知不超过

当自然数 的素因数分解式中,不只包含一个素因数时,有 定理 5 设大于 1 的自然数的素因数分解式为 , 其中 则有

证明:因为素因数的个数 数的自然数 ) 。 (i)当

,故考虑采用数学归纳法(下设

表有 k 个素因



(ii)设 注意到加入第个 k+1 素因数 后,有 , 且当 于是由归纳假设就有



从而

时,定理成立;

综上,对任意 (★的补证: 引理 设 、 、c∈ N,则 (i)若 , 从而 可见 故 同理可证 (ii)若 ,则存在素因数 ,由 则

同理,若 再证定理 若 ,则 (★★) 注意到 并把从 1 到 ,故 中 有 一个 数 为 1 时, (★ ★ )显 然 成 立 , 现 假设 方阵: 的自然数排成长

1 m+1

2 m+2

?? ??

r m+r

?? ??

m 2m

2m+1

2m+2

?? ??

2m+r

??

3m

(n-1)m+1

(n-1)m+2

??

(n-1)m+r

nm

则 与

为上面这组数中与 注意到(km+r,m)=(r,m), 所以当

互素的自然数的个数, 由引理知它等于这组数中同时

都互素的自然数个数。 时,第 列中的每一个数都与 互素,从而这 列数中共有

列数与

互素。 列的每列数中,恰好有 个自然数与 互素,这样就能证明

下面再证这 共有 ·

个数,既与

互素,也与 互素,即定理为真。 , 除同余,则 ,

事实上,从第 列看,∵ (若不然,设

∴这列中的 个数中,任意两个数被 除时,所得余数都不会相同。

其中 因题设

,于是有 ) , 即第 列中存在 个与 互素的数。

可见这第 列中的 个数被 除的余数分别是 0,1,2,3,…, ( -1) (不计顺 序) , 而这 个数中与 互素的自然数个数正是 这就证明了 。

例 3 求与 300 互素且不超过 300 的自然数的个数。 解 所求的数即

★★★例 4. 试判断是否存在自然数 解 设 则

,使 )

即 这 里应 估计 到 ,于是 中 必有 一个 是奇 数( 否则 若它 们全 是偶 数,则

但 则 , 只 有 ,不妨令 而 7 是素数,★★★式中 是

必是 2 的倍数,但它不等于 14, (否 , 且 (★★★) 也是素数,因而不可能成立! ) ,于是只能

因此也不是成立的! 综上知,不存在 例 5. 试证: 。

证明: (i) 当 是奇数时, , 注意到 , 于是

(ii)当 是偶数时,不妨设

综 i,ii,原命题成立。 例 6. 证明 的值或者是 1 或者是偶数,其中 则 是偶数; 若 ,于是 。 证明: (i)当 =1,2 时, ( )=1; (ii)当 >2 时,若

【能力训练】 1.证明自然数 的所有正约数的欧拉函数值的和为 (即 ) 2.设 (m, n) ? d , 则? (mn) ? ? (m)? (n) ?
d

? (d )

.。

3.记不大于自然数 而与 互素的数(共 ,求证



参考答案 【能力训练】 1.首先注意,若自然数 。 这是因为不大于 而与 有公约数 的数只能是 。 现记 ,于是有 不大于 而与 以 不大于 而与 以 ?? 不大于 而与 以 为最大公约数的数有 个; 为最大公约数的数有 为最大公约数的数有 个; 个; ,并注意到: ,即

而任何一个不大于 的数与

最大公约数只能是

之一,

于是 2.注意

,即

.

3.由 一般而言,若

可见,1 与 15-1;2 与 15-2;4 与 15-4;都是小于 15 且互素的数, 则有 ,于是 (若不然,设 矛盾) 。 为不大于 且与 互素的所有自然数,则 则



也是不大于 且与 互素的所有自然数,从而


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