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内蒙古包头市北重三中2016-2017学年高二上学期期中考试理科数学试题


北重三中 2016~2017 年度第一学期 高二年级期中考试 数学(理科)试题
考试时间:2016 年 11 月 8 满分:150 分 命题人:许诤 考试时长:120 分钟

审题人:郑岳衡

一、选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一个正确选项.) 1.在空间直角坐标系中,点 P(3,1,5)

关于 yOz 平面对称的点的坐标为 A. (?3,1,5) B. (?3,?1,5) C. (3,?1,?5) D. (?3,1,?5) ( ) ( )

2.已知 A?1,2?、B ? ?1,4?、C ?5,2? ,则 ?ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程为 A. x ? 5 y ? 15 ? 0 B. x ? 3 C. x ? y ? 1 ? 0 D. y ? 3 ? 0

3.设圆的方程是 x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若 0<a<1,则坐标原点与圆的位置关系是 A.原点在圆上 C.原点在圆内 4.直线 y ? B.原点在圆外 D. 不确定

(

)

3 x 绕原点逆时针方向旋转 30 ? 后所得直线与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 的位置关系是 3
B.直线与圆相交,但不过圆心 C.直线与圆相切





A.直线过圆心

D.直线与圆无公共点 ( )

5.利用斜二测画法得到的以下四个结论中,正确的是 ①三角形的直观图是三角形. ②平行四边形的直观图是平行四边形. ③正方形的直观图是正方形. ④菱形的直观图是菱形. A.①② B.①④ C.③④ D.①②③④

6.空间四条直线 a,b,c,d 满足 a⊥b,b⊥c,c⊥d,d⊥a,则必有 A.a⊥c B.b⊥d C.b∥d 或 a∥c D.b∥d 且 a∥c

(

)

7.已知直线 l , m 和平面 ? ,则下列结论正确的是 A.若 l∥m, m ? ? ,则 l∥ ? B.若 l ? ? , m ? ? ,则 l ? m





C.若 l ? m, l ? ? ,则 m ? ?

D.若 l∥? , m ? ? ,则 l∥ m )

8.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M 、 N 分别是 CD 、CC1 的中点,则直线 A1M 与 DN 所成角的大小是(

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
( )

9.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确的是 A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD

C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 10.平面 ? 过正方体 ABCD - A1B1C1D1 的顶点 A, ? //平面 CB1D1, α ? 平面 ABCD=m, α ? 平面 ABB1 A1=n, 则 m,n 所成角的正弦值为 ( )

A.

3 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

1 3

11.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P、Q 是对角线 A1C 上的点,若

a PQ ? ,则三棱锥 P ? BDQ 的体积为 2
3 3 a 24 3 3 a 36 3 3 a 18





A.

B.

C.

D.不确定

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某四面体的三视图,则该四面体 的外接球半径为 ( )

A. 11

B.

7 2 3

C. 2 2

D. 2 3

二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸对应的横线处.)

13.直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P,则 P 点坐标为
14.正三棱台的上、下底面边长及高分别为 1,2,2,则它的斜高是________. 15.一个画家有 14 个边长为 1 m 的正方体,他在地面上把它摆成如图所示的形式,然后, 他把露出的表面都染上颜色,那么被染上颜色的面积为 m2.

16.已知 点 A(?2, 0), B(4, 0) ,圆 C : ( x ? 4) 2 ? ( y ? b) 2 ? 16, 点 P 是 圆 C 上任意一 点,若

PA 为定 值,则 PB

b ? ________.

三、解答题(本题共 6 小题,17 题 10 分,18~22 题每题 12 分. 共 70 分) 17.求过点 A(3, 2) ,圆心在直线 y ? 2 x 上,且与直线 y ? 2 x ? 5 相切的圆的方程。

18.如图,在三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,PA⊥AC,AB⊥BC.设 D,E 分别为 PA, AC 的中点;(1)求证:DE∥平面 PBC; (2)在线段 AB 上是否存在点 F,使得过三点 D,E,F 的平面内的任一 条直线都与平面 PBC 平行?若存在,指出点 F 的位置并证明;若不存在, 请说明理由.

19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, A(a,0) (a ? 0) , B(0, a) , C (?4,0) , D(0, 4) ,设 ?AOB 的外接圆 圆心为 E. (1)若⊙E 与直线 CD 相切,求实数 a 的值; (2)设点 P 在圆 E 上,使 ?PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有 三个,试问这样的⊙E 是否存在,若存在,求出⊙E 的标准方 程;若不存在,说明理由.

0 20.如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? AA1 ? BC1 ? 2 , ?AAC 1 1C , 1 1 ? 60 ,平面 ABC1 ? 平面 AAC

D ;(1)求证: BD ? AC AC1 与 AC 1 相交于点 1 ;

(2)若 E 在棱 BC1 上,且满足 DE // 面 ABC ,求三棱锥 E ? ACC1 的体积.

?ABC 是等边三角形, PA ? PC , D 是 AC 的中点, 21.如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, 二面角 P ? AC ? B

的大小为 60? ; (1)求证:平面 PBD ? 平面 PAC ; (2)求 AB 与平面 PAC 所成角的正弦值.

22.如图,矩形 ABCD 所在的半平面和直角梯形 CDEF 所在的半平面成 60o 的二面角, DE ∥ CF ,
CD ? DE , AD ? 2 ; EF ? 3 2 , CF ? 6 , ?CFE ? 45o .

(1)求证: BF ∥平面 ADE ; (2) 在线段 CF 上求一点 G , 使锐二面角 B ? EG ? D 的余弦值为

1 4

北重三中 2016~2017 学年第一学期高二期中试题(数学理科)参考答案 一、选择题: 1. A 2. A 3. B 4. C 5. A 6. C 7. B 8. D 9. D 10. A 11. B 12. A 7 3 二、填空题: 13. (0,3) 14. 15. 33 16. b ? 0 6 三、解答题(本题共 6 小题,17 题 10 分,18~22 题每题 12 分. 共 70 分) 17. 设 圆 心 为 C (a, 2a) , 半 径 为 r ? (a ? 3) 2 ? (2a ? 2) 2 , 圆 心 到 y ? 2 x ? 5 的 距 离 为
d? | 2a ? 2a ? 5 | 22 ? (?1)2 ? 5 , 由 于 圆 与 直 线 y ? 2x ? 5 相 切 , 所 以 d ? r , 即

(a ? 3) 2 ? (2a ? 2) 2 ? 5 ?

5a 2 ? 14a ? 8 ? 0 ,解得: a1 ? 2 和 a2 ?

4 8 ,从而 b1 ? 4 、 b2 ? 。所以,满足题目要求的圆心有两个 5 5

4 8 C1 (2, 4) 和 C2 ( , ) 。 圆 半 径 r ? d ? 5 。 于 是 , 所 求 圆 的 方 程 为 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 5 或 5 5 4 8 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 5 5 5 18. (1)∵点 E 是 AC 中点,点 D 是 PA 的中点,∴DE∥PC. 又∵DE?平面 PBC,PC?平面 PBC,∴DE∥平面 PBC. (2)当点 F 是线段 AB 的中点时,这点 D,E,F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行.取 AB 的中点 F,连接 EF,DF.由(1)可知 DE∥平面 PBC.∵点 E 是 AC 中点,点 F 是 AB 的中点,∴EF ∥BC.又∵EF?平面 PBC,BC?平面 PBC,∴EF∥平面 PBC.又∵DE∩EF=E,∴平面 DEF∥平 面 PBC.∴平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行.故当点 F 是线段 AB 的中点时,过点 D, E,F 所在平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行. a a | ? ?4| a a 2 2 ? a ,解得 a ? 4 . 19. (1)直线 CD 方程为 y ? x ? 4 ,圆心 E ( , ) ,半径 r ? a .由题 2 2 2 2 2 2 2

(2)∵ | CD |? (?4) 2 ? 42 ? 4 2 ,∴当 ?PCD 面积为 12 时,点 P 到直线 CD 的距离为 3 2 ,又圆心 E 到直线 CD 距离为 2 2 (定值),要使 ?PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三个,只须圆 E 半径
2a ? 5 2 ,解得 a ? 10 ,此时,⊙E 的标准方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 50 . 2

D 是 AC1 的中点,∵ BA ? BC1 ,∴ BD ? AC1 ,∵平面 ABC1 ? 平 20.(1)已知侧面 AAC 1 1C 是菱形, 面 AAC 且 BD ? 平面 ABC1 , 平面 ABC1 ? 平面 AAC ∴ BD ? 平面 AAC 1 1C , 1 1C ? AC1 , 1 1C ,BD ? AC 1 .

(2)∵ DE // 面 ABC , DE ? 面 ABC1 ,面 ABC1 ? 面 ABC ? AB ,∴ DE // AB ,∵点 D 为 AC1 的中
0 点,∴点 E 为 BC1 的中点,∵ AA1 ? AC ? AC1 ? 2 , ?AAC 1 1 ? 60 ,∴ AC1 ? 2 ,∵ AB ? BC1 ? 2 ,

∴ ?ABC1 为正三角形, ∴点 E 到面 ACC1 的距离 ? BD ? 3 ,
S?ACC1 ? 1 1 3 AC ? AC1 ? sin 600 ? ? 2 ? 2 ? ? 3 ,∴ VE ? ACC1 2 2 2

1 1 3 , 点 B 到面 ACC1 的距离 ? BD ? , 2 2 2 1 1 3 1 ? sh ? ? 3 ? ? . 3 3 2 2

BD ? AC 21.(1) PD ? AC PB ? BD ? B

? ? ? ? AC ? 面 PBD ,又 AC ? 面 PAC ,所以 ? ?

面 P A C? 面

( 2 ) AC ? BD ,如图建立空间直角坐标系,则 D?0,0,0? ,令 A?1,0,0 ? , 则 C ?? 1,0,0? , 又 ?PDB 为二面角 P ? AC ? B 的平面角, 得 ?PDB ? 60? , B 0, 3 ,0 ,

,即平面 P B D PBD ? 平面 P A C

?

?

设 DP ? ? ,则 P ? 0, , ? ? ,设 n ? ? x, y, z ? 为面 PAC 的法向量,则 AC ? ?? 2,0,0? , AP ? ? ? 1, , ? ? 得 ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ?
? 2x ? 0 ? ? ?? x ? ? y ? 3 ?z ? 0 取 y ? 3 ,得 n ? 0, 3 ,?1 ,又 AB ? ? 1, 3 ,0 ? 2 2 ?

? ?

3 ?

?

?

3 ?

?

?

?

?

得 cos ? n, AB ??

3 3 ? ,设 AB 为 2? 2 4

平面 PAC 所成角为 ? ,

则 sin ? ? cos ? n, AB ? ?

3 4

22. (1) 因为 BC ∥ AD , BC ? 平面 ADE , 所以 BC ∥平面 ADE , 同理 CF ∥ 平面 ADE ,又因为 BC I CF ? C ,所以平面 BCF ∥平面 ADE ,而 BF ? 平面 BCF ,所以 BF ∥平面 ADE . (2)因为 CD ? AD , CD ? DE 所以 ?ADE 就是二面角 A ? CD ? F 的平面角, 为 60o ,又 AD ? DE ? D ,所以 CD ? 平面 ADE ,平面 CDEF ? 平面 ADE , 作 AO ? DE 于 O ,则 AO ? 平面CDEF , 连结 CE ,在 ?CEF 中由余弦定 理求得 CE ? 3 2 , 易求得 ?ECF ? 45o , 以 OD ? 1 , CD ? DE ? 3 , OE ? 2 .

O 为原点,以平行于 DC 的直线为 x 轴,以直线 DE 为 y 轴,建立如图空间直角坐标系 O ? xyz ,则

A(0, 0, 3) B(3, 0, 3) , C (3, ?1, 0) , E (0, 2, 0) , F (3,5,0) , 设 G (3, t , 0), ?1 ? t ? 5 , 则 ?? ??? ? uur uuu r ? m ? BE ?0 ? 得 BE ? (?3, 2, ? 3) , BG ? (0, t , ? 3) ,设平面 BEG 的一个法向量为,m ? ( x, y, z) ,则由 ? ?? ??? ? m ? BG ? 0 ? ? ?x ? 2?t ? ?? ? ? ?3x ? 2 y ? 3z ? 0 ,取 得 , y ? 3 m ? (2 ? t,3, 3t ) , 面 DEG 的一个法向量 n ? (0,0,1) , 所以, ? ? ty ? 3 z ? 0 ? ? ? ? z ? 3t ?? ? 1 (2 ? t ,3, 3t ) ? (0,0,1) 3t , 为 使 锐 二 面 角 B ? EG ? D 的 余 弦 值 为 , 只 需 cos ? m, n ?? ? 4 4t 2 ? 4t ? 13 4t 2 ? 4t ? 13

3t 4t ? 4t ? 13 点.
2

?

1 1 CG 1 ? ,即所求的点 G 为线段 CF 的靠近 C 端的四分之一分 ,解得 t ? ,此时, CF 4 2 4


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