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高中数学3.2立体几何中的向量方法(3)课件新人教版选修2-1


第 3 课时 空间向量与空间角 本 专 题 栏 目 开 关 1.理解直线与平面所成角的概念. 2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问 题. 空间中的各种角都可以转化为两条直线所成的角, 可以通过两个向量的夹角求得,体现了数学中的转化与 化归思想.通过本节的学习进一步体会空间向量解决立 体几何问题的三步曲. 本 专 题 栏 目 开 关 填一填· 知识要点、记下疑难点 1.两条异面直线所成的角 设两条异面直线 a, b 所成的角为 θ,它们的方向向量分 本 专 题 栏 目 开 关 |a· b| |a||b| 别为 a, b,则 cos θ= _______. 2.直线和平面所成的角 设直线和平面所成的角为 θ,且直线的方向向量为 a, |a· b| |a||b| 平面的法向量为 b,则 sin θ= _______. 填一填· 知识要点、记下疑难点 3.二面角的平面角 设二面角 α—l—β 的锐二面角大小为 θ,且两个半平面 本 专 题 栏 目 开 关 |a· b| |a||b | 的法向量分别为 a,b,则 cos θ=_______. 研一研· 问题探究、课堂更高效 探究点一 求两条异面直线所成的角 问题 1 怎样求两条异面直线所成的角? 答案 设 a、b 分别为异面直线 l1、l2 上的方向向量,θ 为异面直线所成的角,则异面直线所成角公式 cos θ= |a· b| |cos〈a,b〉|= . |a||b| 本 专 题 栏 目 开 关 研一研· 问题探究、课堂更高效 问题 2 两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向 本 专 题 栏 目 开 关 量夹角有什么区别? 答案 两条异面直线所成角为锐角或直角,而两向量夹 角的范围是[ 0,π] ,两条异面直线所成角与它们的方向 向量的夹角相等或互补. 研一研· 问题探究、课堂更高效 例 1 如图所示,三棱柱 OAB—O1A1B1 中, 平面 OBB1O1⊥平面 OAB, ∠ O1OB= 60° , ∠ AOB= 90° ,且 OB= OO1= 2,OA= 3, 求异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值的 大小. 本 专 题 栏 目 开 关 解 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 O(0,0,0),O1(0,1, 3),A( 3,0,0), A1( 3,1, 3),B(0,2,0), → ∴A1B=(- 3,1,- 3), → O1A=( 3,-1,- 3). 研一研· 问题探究、课堂更高效 本 专 题 栏 目 开 关 → → ∴|cos〈A1B,O1A〉| → → |A1B· O1A| = → → |A1B|· |O1A| |?- 3,1,- 3?· ? 3,-1,- 3?| = 7· 7 1 =7. 1 ∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为7. 研一研· 问题探究、课堂更高效 本 专 题 栏 目 开 关 小结 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关 系;利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便,要注 意角的范围. 研一研· 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB=4,BC= BB1= 2,E,F 分别是面 A1B1C1D1 与面 B1BCC1 的中心, 求异面直线 AF 与 BE 所成角的余弦值. 本 专 题 栏 目 开 关 解 以 D 为原点建立空间直角坐标系, 则 A(2,0,0),B(2,4,0), C1(0,

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