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2.3平面向量


欢迎学校领导 各位老师指导工作!
授课老师:王 超

2.3. 1-2平面向量基本定理 与坐标表示

授课老师:王 超

“朴实教育模式,助一中腾飞”

回顾:

1、向量加法的平行四边形法则
b a

D A B

C

2、向量加法的三角形法则
b a

C A B

定义:? a是一数乘向量 ? ? 它的长度: a ? ? a ?

3、实数λ与向量的积 ?

4、平面向量共线定理

? 它的方向:? ? 0时,与a的 方向相同 ? ? ? 0时,与a的方向相反

? ? ? ? 向量b与a(a ? 0)共线,当且仅当存在 ? ? 唯一的实数?,使得b=? a.

思考:向量的数乘、加法混和运算作图:
已知向量

e1,e2 、求作向量 d =2 e1+3 e2
d

e2

e1

情景

火箭在升空的某一时刻,速度可以分解 成竖直向上和水平向右的两个分速度
生活实例 抽像 数学模型

B

C

b
e2
O

c
A

a ? 4e1 , b ? 3e2

c c ?54e1? 2ee22 c ? 5e1 ? 3e2 ? e1 ? 2

e1

a

B

C

c
e2
O A

e1

a

c ? ?1 e1 ? ?2 e2

平面内任一向量是否都可以用形如 ?1 e1 ? ?2 e2 的向量表示呢?
N

e2
B

? a

C

e1 ? ???? ???? ? a ? OM ? ON
? a ? ?1 e1 ? ?2 e2

O

M

A

一、平面向量基本定理:
如果 e1 e2是同一平面内的两个不 、 共线向量,那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数?1、 2 使 ?

示这一平面内所有向量的一组基底。
研究特殊情况

?2e2 我们把不共线的向量e1 e2叫做表 、

a = ?1e1 +

说明:1.若 a = 0 ,则有且只有 :

?1 = ?2 = 0

可使 0 =

?1e1 + ?2e2 .

说明2:若a与 e1 共线,则有: 若a与 e2共线,则有:

?2 =0,使得: a = ?1e1 + 0 e2
?1=0,使得: a = 0 e1 + ?2e2

思考(1)平面向量的基底有多少对?

(有无数对)

思考 (2)若基底选取不同,则表示同一
向量的实数 ?1 ?2 、 是否相同?

(可以不同,也可以相同) M F OC = OF + OE B a OC = 2OA + OE A
OC = 2OB + ON

C

O

N

E

平面向量基本定理告诉我们:
(1)不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面

所有向量的一组基底

(2)基底不唯一,关键是不 共线; (3)任一向量a都可以在给出基底( e1、e2 ) ? ? ?? ? 的条件下进行分解,即 ? a ? ?1 e1 ? ?2 e2 (4)基底给定时,分解形式是唯一的. 即? ? 唯一。
1



2

例题讨论

例1 已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2 .
作法1:(1)任取一点o,
作OA=-2.5e1,OB=3e2 (2)作 OACB. 于是OC就是所求作的向量.

e1

e2
B

C
3e2

A -2.5e1 O

如何用三角形法来解决例1 ?
已知向量 e1、e2 求做向量-2.5 e1 e2 +3

作法2:
e2

C

A
e1 2.5e ?
1

3e2

· O

能力提升:
例2:设e1,e2是两个不共线向量,a ? e1 ? e2 , ? 2e1 ? 3e2 b

c ? e1 ? 2e2 ,请根据平面向量基本定理,以 a , 为 b
基底表示 c . 解:根据平面向量基本定理,得 c ? ?1 a ? ?2 b
? e1 ? 2e2 ? ?1 e1 ? e2 ? ?2 2e1 ? 3e2

?

? ?

?

整理得, 1 ? 2e2 ? ??1 ? 2?2 ?e1 ? ?? ?1 ? 3?2 ?e2 e 1 3 ?1 ? 2 ?2 ?1 解得,?1 ? ? , ?2 ? 5 5 ? ?1 ? 3 ?2 ? 2

?

?

1 3 ?c ? ? a ? b 5 5

练一练:

设e1,e2是两个不共线向量,请根据平面向量基本定理,

以 a,b为基底表示 c .

? ?? ?? ? ? ?? ?? ? a ? 2e1 ? e2 , b ? ?e1 ? e2 ,

c ? 4e1 ? e2

? ? ? c ? 3a ? 2b

二、平面向量的正交分解和坐标表示

把一个向量分解为两个互相垂直的向量, 叫作把向量正交分解

探索1: 以O为起点, P 3,为终点的向量能 ( 2) 否用坐标表示?如何表示?

y

( 2) P 3,

a o x

4

3

2

( 2) P 3,

? 2j
j
-2

1

O i
-1 -2

??? ? ? ? OP ? 3i ? 2 j ? (3,2)

? 3i

2

4

6

-3

向量的坐标表示
3

4

???? ? ? OP ? xi ? y j ? ( x, y)
P(x,y)

? yj
j
-2

2

1

O i
-1 -2

向量

? xi ? ???
2

4

6

OP

一一对应

P(x ,y)

-3

探索2:
在平面直角坐标系内,起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?

解决方案:
可通过向量的 平移,将向量的起点 移到坐标的原点O处.

y A a a x o

y
? a

y
? j

A

? x O i ??? ? ? ? OA ? xi +y j

x

? ? ? a ? xi +y j

?? 如图,i , j 是分别与x轴、y轴方 ?? 向相同的单位向量,若以 i , j 为基

二、平面向量的坐标表示

y
a
C
A

D

底,则

? 对于该平面内的任一向量 a ,

有且只有一对实数x、y,可使 ? ? ? a ? x i +y j

j o i B

x

a 这里,我们把(x,y)叫做向量的(直角)坐标,记作

? a ? ( x, y )



其中,x叫做 a 在x轴上的坐标,y叫做 a 在y轴上 的坐标,①式叫做向量的坐标表示。

向量的坐标表示:
y

a
j
o

(1, 0) ( 1 )i ? ____; (0,1) ( 2 ) j ? ____;
( 3 )0 ? (0, 0) . ____

i

x

a ? xi ? y j

a ? ( x, y )

? ? ? ? ? ? ? 例1.如图,分别用基底 i ,j 表示向量 a 、 、 、 ,并求出 b c d
它们的坐标。
A2

例题3

解:如图可知

? ? a ? (2,3)
同理

? ???? ???? ? ? ? a ? AA1 ? AA2 ? 2i ? 3 j

A

A1

? ? ? b ? ?2i ? 3 j ? (?2,3); ? ? ? c ? ?2i ? 3 j ? (?2, ?3); ? ? ? ? d ? 2i ? 3 j ? (2, ?3).

课堂知识小结
1.平面向量的基本定理

?? ? 如果 e1 , 是同一平面内的两个不共线的向量, e2

那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对 实数? 1、?2使 a = ? 1e1 +?2e 2

课堂知识小结
2、平面向量的坐标表示
? 对于该平面内的任一向量 a ,

有且只有一对实数x、y,可使 ? ? ? ? a ? x i +y j 记a ? ( x, y )

? ? 其中,? (1, 0), ? (0,1), i j ? ? x是 a的横坐标,y是 a的纵坐标.

学生反馈小结:
?这节课我感到最困难的是…… ?使我感触最深的是…… ?我学会了…… ?我课后还需要解决什么……

(请学生把问题写在数学笔记上)

作业布置
课堂作业 : 2.3A组1,2
课后作业 :

1.本节《能力与测试》

2.本节《限时训练》

欢迎指导 谢谢大家!


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