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山东省济宁市梁山一中2013-2014学年高二下学期期中考试 数学文


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梁山一中 2013—2014 学年高二下学期期中检测 数学(文)
一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题选项中,有且只有一项是正 确的)

2 ? z2 ? ( ) z A. ?1 ? i B. ?1

? i C. 1 ? i 2. “ a =1”是“函数 f(x)= x ? a 在区间 ?1,??? 上为增函数”的
1.设 z ? 1 ? i(i 是虚数单位) ,则 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3.已知 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2 x) 的单调递增区间是 A. (1, ??)
2

D. 1 ? i ( )



) D. (??,1)

B. (2, ??)
4 2

C. (??, 0)
2

4.用数学归纳法证明 1+2+3+ ? ? n ? 上
2

n ?n ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加 2



) B. (k ? 1) 2 D. (k ? 1) ? (k ? 2) ? (k ? 3) ? ? ? (k ? 1)
2 2 2 2

A. k ? 1 C.

(k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 2

5.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A. 向左平移

?

? 个长度单位 6 ? C. 向左平移 个长度单位 2
A.-1<a<1
3

) 的图象,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象( 3 6

?



? 个长度单位 4 ? D. 向右平移 个长度单位 2
B. 向右平移 D.a<-1 或 a>1 ) D.a≤1

6.复数 z1=a+2i,z2=-2+i,如果|z1|<|z2|,则实数 a 的取值范围是( B.a>1 C.a>0

).

7.函数 f(x)=ax -x 在 R 上为减函数,则( A.a≤0 B.a<1 ) C.a<0

8.下列命题中,真命题是( A.? x∈R,e ≤0
x

B.? x∈R,2 >x

x

2

C.a+b=0 的充要条件是 =-1

a b

D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件

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9.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ( ) A.63.6 万元 B.65.5 万元 ) C.67.7 万元 D.72.0 万元

10.下列说法中正确的有(

①若 r>0,则 x 增大时,y 也相应增大; ②若 r<0,则 x 增大时,y 也相应增大; ③若 r=1 或 r=-1,则 x 与 y 的关系完全对应(有函数关系),在散点图上各个点均在 一条直线上. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
/

11.已知定义域为 R 的函数 f ( x)满足:f (4) ? ?3 ,且对任意实数 x,总有 f (x)<3 则不等式 f ( x) <3x-15 的解集为( )

A. (﹣∞,4) B. (﹣∞,﹣4) C. (﹣∞,﹣4)∪(4,﹢∞) D. (4,﹢∞) 12.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) 2 2 A. 设数列﹛an﹜的前 n 项和为 sn ,由 an=2n﹣1,求出 s1 =1 , s2=2 , 2 2 s3=3 ,?推断 sn=n B.由 f ( x) ? x cosx,满足 f (? x) ? ? f ( x) 对 ? x∈R 都成立,推断 f ( x) ? x cos x 为奇函 数。 C.由圆 x ? y ? r 的面积 s ? πr 推断:椭圆
2 2 2
2
2 1 2 2 2 3

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的面积 s=π ab a 2 b2

D.由(1+1) >2 , (2+1) >2 , (3+1) >2 ,?, 2 n 推断对一切正整数 n, (n+1) >2 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 tan ? ? 2, 则 4sin ? ? 3sin ? cos ? ? 5cos ? ?
2 2



14.函数 f ( x) ? x ? ax ? b, a, b ? R.
2

若 f ( x ) 在区间 (??,1) 上单调递减,则 a 的取值范围 15.若函数 f ( x) ?



x x ( x ? 0) ,且 f1 ( x) ? f ( x) ? , 当 n ? N * 且 n ? 2 时, x?2 x?2
. .

fn ( x) ? f ? f n?1 ( x)? , 猜想 fn ( x)(n ? N * ) 的表达式
3 2

16.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x ? ), f ( 2014 ) ? 2, 则f ( ?1) ? 三.解答题(本题 6 个小题,共 70 分)

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17.(本小题满分 10 分) 求函数 f ( x) ?

1 3 x - 4x ? 4 的极值 3

18.(本小题满分 12 分) x 证明不等式e >x+1>㏑ x,x>0

19.(本小题满分 12 分) 某班主任对全班 50 名学生的积极性和对待班级工作的态度进行了调查, 统计数据如下表所示: 积极参加班级工作 学习积极性高 学习积极性一般 合计 18 6 24 不太积极参加班级工作 7 19 26 合计 25 25 50

试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级的态度是否有关系? 说明理由。 2 附:K =
2 2

n(ad ? bc) (a ? b)( c ? d )( a ? c)(b ? d )
0.10 2.706 0.05 3.841

P(K ≥k0 ) k0

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

20.(本小题满分 12 分) 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报, 2 要求版心面积为 128dm ,上、下两边各空 2dm, 左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸才能 使四周空白面积最小?

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21. (本小题满分 12 分) 某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 年份 需求量(万吨) 2004 236 2006 246 2008 257 2010 276 2012 286

^ ^ ^ (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2014 年的粮食需求量.

22.(本小题满分 12 分) 已知:0<a<b<c<d 且 a+d=b+c 求证: a ? d <

b? c

参考答案: 1-5 CBCDB 6-10 AADBC 11-12 DA 13. 1 14. a ? 2 15. f ( x) ?

x (2 ? 1) x ? 2 n
n

16.

-2

17.因为 f ( x ) ?

1 3 x ? 4x ? 4 3
所以 f (x)=x -4=(x+2)(x-2) 令 f (x)=0,得 x=2 或 x=-2
/ / 2

当 x 变化时, f (x), f ( x) 的变化情况如下表:
/

x

(-∞,-2) + ↗ 0

-2

(-2,2) 0

2

(2,+∞) +

f /(x)

f ( x)

28 3



?

4 3



本卷第 4 页(共 7 页)

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由上表可知,当 x=-2 时, f ( x) 有极大值且极大值为 f ( ?2) ? 当 x=2 时, f ( x) 有极小值且极小值为 f ( 2) ? ? 18.证明:①令 f ( x) ? e x ? x ? 1 ,x>0 则 f (x)= e ? 1 >0,∴
/

28 ; 3

4 3

x

f ( x) 在(0, ? ? )上单调递增。

? 对任意 x ? (0,??) ,有 f ( x) ? f (0)
而 f (0) ? e 0 ? 0 ? 1 ? 0 即 e ? x ?1
x

? f ( x) ? 0

②令 g ( x) ? x ? 1 ? ln x ,x>0 则 g ' ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x

令 g ' ( x) ? 0 ,得 x=1 当 x 变化时, g ' ( x ) , g ( x) 的变化情况如下表: x (0,1) ↘ 1 0 2 (1, ? ? ) + ↗

g ' ( x) g ( x)

? g ( x) min ? g (1) ? 2
即对任意 x ? (0,??) 有 g(x)≥g(2)>0

? x+1>lnx
综上当 x>0 时,有 e ? x ? 1 ? ln x
x

19.解:由 题意知:a=18,b=7,c=6,d=19 ∴a+b=25,c+d=25,a+c=24,b+d=26 n=50 ∴K ?
2

n(ad ? bc) 2 50(18× 19 - 7 ×6)2 ? ≈ 11.54 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 25×25×24×26
本卷第 5 页(共 7 页)

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因 K =11.54>10.828 故可以有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系。 20.解:设版心的高为 xdm,则版心的宽为 此时四周空白面积为 s ( x) ? ( x ? 4)( 求导数得: s ' ( x) ? 2 ? 令 s ' ( x) ? 2 ?

128 dm, x

128 512 ? 2) ? 128 ? 2 x ? ? 8, ( x ? 0) x x

512 x2

512 ? 0 ,解得 x=16,x=-16(舍去) x2 128 128 ? ?8 于是宽为 x 16
当 x ? (0,16) 时, s ' ( x) ? 0 ;当 x ? (16,??) 时, s ' ( x) ? 0 因此,x=16 是函数 s( x) 的极小值点,也是最小值点。 所以当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,能使四周空白面积最小。 答:当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,海报四周空白面积最小。 21. (1)由所给数据可以看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来求回归直线方 程.为此对数据预处理如下: 年份-2008 -4 -2 0 2 4 需求量-257 -21 -11 0 19 29 对预处理后的数据,容易算得 x =0, y =3.2, ^ ^ - ^ - + - - 2 2 2 2 4 +2 +2 +4 +2×19+4×29 260 = =6.5, 40

b=

a= y -b x =3.2.
^ 由上述计算结果,知所求回归直线方程为 y - 257 =b(x - 2008)+ a= 6.5(x -2008)+ ^ 3.2,即y=6.5(x-2008)+260.2. ① (2)利用直线方程①,可预测 2014 年的粮食需求量为 6.5×(2014-2008)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨). 22.证明:因为 a ? d 和 b ? c 都是正数, 所以为了证明 a ? d < b ? c 只需证 (
a? d )< ( b? c)
2 2

只需证 a ? d ? 2 ad<b ? c ? 2 bc 而 a+d=b+c 即证

ad< bc

即证 ad<bc 又 a+d=b+c 所以 d=b+c-a 即证:a(b+c-a)<bc
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即证: a -(b+c)a+bc>0 即证:(a-b)(a-c)>0 而 0<a<b<c<d 所以(a-b)(a-c)>0 显然成立 所以原不等式成立。

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