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第二章《二次函数》单元检测试题A


第二章《二次函数》单元检测试题
一、 选择题(每题 3 分,共 24 分) 1,已知点(a,8)在二次函数 y=a x2 的图象上,则 a 的值是( A,2 B,-2 C,±2 D,± 2 D.(-1,-3) ) )

2,抛物线 y=x2+2x-2 的图象最高点的坐标是( ) A.(2,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) 3,若 y=(2-

m) x m ?3 是二次函数,且开口向上,则 m 的值为( A. ? 5 B.- 5 C. 5 D.0
2

4,二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象如图 1 所示,则下列结论正确的是( A. a ? 0,b ? 0,c ? 0 C. a ? 0,b ? 0,c ? 0 B. a ? 0,b ? 0,c ? 0 D. a ? 0,b ? 0,c ? 0



1 2 2x +3 的开口方向是_________. 2 10,抛物线 y=x2+8x-4 与直线 x=4 的交点坐标是__________. 11,若二次函数 y=ax2 的图象经过点(-1,2) ,则二次函数 y=ax2 的解析式是__ 1 12,已知抛物线 y ? x 2 ? x ? b 2 经过点 (a,? ) 和 (?a, y1 ) ,则 y1 的值是 . 4 13,已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,与 y 轴 交于点 C (0,3),则二次函数的解析式是 . 2 14,若函数 y=3x 与直线 y=kx+3 的交点为(2,b) ,则 k=__,b=__. 2 15,函数 y=9-4x ,当 x=_________时有最大值________. 16,两数和为 10,则它们的乘积最大是_______,此时两数分别为________. 三、 解答题(共 52 分) 17,求下列函数的图像的对称轴、顶点坐标及与 x 轴的交点坐标. (1)y=4x2+24x+35; (2)y=-3x2+6x+2; (3)y=x2-x+3; (4)y=2x2+12x+18.

9,二次函数 y=-

5,如果二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c (a>0)的顶点在 x 轴上方,那么( A,b2-4ac≥0 B,b2-4ac<0 C,b2-4ac>0
1 2



18, 已知抛物线 C1 的解析式是 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 , 抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称, 求抛物线 C2 的解析式.

D,b2-4ac=0

2 6,已知 h 关于 t 的函数关系式为 图 1h= gt (g 为正常数,t 为时间), 则如图 2 中

h ( 函数的图像为 0 t

)
0

h t
0

h t

h 0 t

A
1 2

B
图2

C
5 2

D

7, 已知二次函数 y=- x2-3x- , 设自变量的值分别为 x1, x2, x3, 且-3<x1<x2<x3, 则对应的函数值 y1,y2,y3 的大小关系是( ) A.y1>y2>y3 B.y1<y2<y3; C.y2>y3>y1 D.y2<y3<y1 2 8,关于二次函数 y=x +4x-7 的最大(小)值,叙述正确的是( ) A.当 x=2 时,函数有最大值 B.x=2 时,函数有最小值 C.当 x=-1 时,函数有最大值 D.当 x=-2 时,函数有最小值 二、 填空题(每题 3 分,共 24 分)

19,填表并解答下列问题: x … -1 0 1 2 … y1=2x+3 … … 2 y2=x … … (1)在同一坐标系中画出两个函数的图像. (2)当 x 从 1 开始增大时,预测哪一个函数的值先到达 16. (3)请你编出一个二次项系数是 1 的二次函数,使得当 x=4 时,函数值为 16.编出 的函数解析式是什么?

20,已知抛物线 y=x2-2x-8. (1)试说明该抛物线与 x 轴一定有两个交点. (2)若该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A、 B(A 在 B 的左边), 且它的顶点为 P, 求 △ABP 的面积.

A

21,已知:如图 3,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=4, AC=8,点 D 在斜边 AB 上, 分别作 DE⊥AC,DF⊥BC,垂足 分别为 E、F,得四边形 DECF,设 DE=x,DF=y. (1)用含 y 的代数式表示 AE. (2)求 y 与 x 之间的函数关系式,并求出 x 的取值范围. (3)设四边形 DECF 的面积为 S,求出 S 的最大值.

D

E

(2006 重庆课改)已知: m , n 是方程 x ? 6 x ? 5 ? 0 的两个实数根,且 m ? n ,
2

B

F 图3

C

0 ),B( 0, n ). 抛物线 y ? ? x2 ? bx ? c 的图象经过点 A( m,
(1) 求这个抛物线的解析式; (2) 设(1)中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点 C,D 的坐标 和 △BCD 的面积; (注:抛物线 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的顶点坐标为 ? ?

?

b 4ac ? b 2 ? ; , ?) 4a ? ? 2a

(3) P 是线段 OC 上的一点,过点 P 作 PH ? x 轴,与抛物线交于 H 点,若直线 BC 把 △PCH 分 成面积之比为 2 : 3 的两部分,请求出 P 点的坐标. y 图4

D

B

22,某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,如图 4 所示,其拱形图 形为抛物线的一部分,栅栏的跨径 AB 间,按相同的间距 0.2 米用 5 根立柱加固,拱高 OC 为 0.6 米. (1) 以 O 为原点,OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,请根据以上的数据, 求出抛物线 y=ax2 的解析式; (2)计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米).

A

C

O

x

答案:解: (1)解方程 x ? 6 x ? 5 ? 0 ,得 x1 ? 5 , x2 ? 1 .
2

解这个方程,得 a ? ? ② EH ?

3 或 a ? ?5 (舍去) . 2

由 m ? n ,有 m ? 1 , n ? 5 . 所以点 A , B 的坐标分别为 A ?1 , 0? , B ? 0, 5? . 将 A ?1 , 0? , B ? 0, 5? 的坐标分别代入 y ? ? x2 ? bx ? c ,

2 2 EP ,即 ? ?a 2 ? 4a ? 5 ? ? ? a ? 5 ? ? ? a ? 5 ? . 3 3 2 解这个方程,得 a ? ? 或 a ? ?5 (舍去) . 3
D H

??1 ? b ? c ? 0, ?b ? ?4, 得? 解这个方程组,得 ? ?c ? 5. ?c ? 5.
所以抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? 4 x ? 5 . (2)由 y ? ? x 2 ? 4 x ? 5 ,令 y ? 0 ,得 ? x ? 4 x ? 5 ? 0 .
2

y

? 3 ? ? 2 ? P 点的坐标为 ? ? , 0? 或? ? , 0? . ? 2 ? ? 3 ?

B E 参考答案: 一、1,A;2,D;3,B;4,D;5,B;6,A;7,A;8,D. A M P O

解这个方程,得 x1 ? ?5 , x2 ? 1 . 所以 C 点的坐标为 ? ?5 , 0? . 由顶点坐标公式计算,得点 D ? ?2, 9? . 过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M , 则 S△ DMC ?

C

x

二、9,下; 14,k=

10,(-4,-20); 15,0、9;

11,y=2x ; 16,25 5、5.

2

12,

3 ; 4

13,y=x -4x+3;

2

9 ,b=12; 2

三、17,(1)对称轴是直线 x=-3,顶点坐标是(-3,-1),解方程 4x +24x+35=0,得 x1= ? ,x2= ? .
2

5 2

7 2

1 27 ? 9 ? ?5 ? 2? ? , 2 2 1 S梯形MDBO ? ? 2 ? ? 9 ? 5 ? ? 14 , 2 1 25 S△ BOC ? ? 5 ? 5 ? . 2 2 27 25 ? ? 15 . 2 2

故它与 x 轴交点坐标是( ? ,0),( ? ,0) (2)对称轴是直线 x=1,顶点坐标是(1,5),解方程-3x +6x+2=0,得 x1 ? 1 ?
2

5 2

7 2

15 5 , x2 ? 1 ? ,故它 3 3

与 x 轴的交点坐标是 ?1 ?

所以 S△ BCD ? S梯形MDBO ? S△ DMC ? S△ BOC ? 14 ? (3)设 P 点的坐标为 ? a, 0? ,

? ? ?

15 ? ? 5 ? ,0 ? ,? 1? ,0 ? . ? ? 3 3 ? ?? ?

(3)对称轴是直线 x=

1? 3 1 ? 13 1 ? 1 11 ? 2 , x2 ? ,顶点坐标是 ? , ? ,解方程 x -x+3=0,得 x1 ? ,故 2 2 2 ?2 4 ?

因为线段 BC 过 B , C 两点,所以 BC 所在的直线方程为 y ? x ? 5 . 那么, PH 与直线 BC 的交点坐标为 E ? a,a ? 5? ,

它与 x 轴的交点坐标是 ?

? 1 ? 13 ? ? 1 ? 3 ? . ,0 ? ? 2 ,0 ? ?,? ? ? ? ?? 2 ?

PH 与抛物线 y ? ? x2 ? 4 x ? 5 的交点坐标为 H a, ? a 2 ? 4a ? 5 .
由题意,得① EH ?

?

?

(4)对称轴是直线 x=-3,顶点坐标是(-3,0),它与 x 轴的交点坐标是(-3,0); 18,经检验,点 A(0,5) 、B(1,3) 、C(-1,11)都在抛物线 C1 上.点 A、B、C 关于 x 轴的对 称点分别为 A′(0,-5) 、B′(1,-3) 、C′(-1,-11) ,它们都在抛物线 C2 上.

3 3 EP ,即 ? ?a 2 ? 4a ? 5 ? ? ? a ? 5 ? ? ? a ? 5 ? . 2 2

?c ? ?5, ? 设抛物线 C2 的解析式为 y ? ax ? bx ? c ,则 ?a ? b ? c ? ?3, 解得 ?a ? b ? c ? ?11. ?
2

?a ? ?2, ? 2 ?b ? 4, 所以抛物线的解析式是 y ? ?2x ? 4x ? 5 ; ?c ? ?5. ?
19,(1)图略,(2)y2=x 的函数值先到达 16,(3)如:y3=(x-4) +16; 2 2 20,(1)解方程 x -2x-8=0,得 x1=-2,x2=4.故抛物线 y=x -2x-8 与 x 轴有两个交点. 2 2 2 (2)由(1)得 A(-2,0),B(4,0),故 AB=6.由 y=x -2x-8=x -2x+1-9=(x-1) -9. 故 P 点坐标为(1,-9),过 P 作 PC⊥x 轴于 C,则 PC=9,∴S△ABP= 21,(1)由已知得 DECF 是矩形,故 EC=DF=y,AE=8-EC=8-y.
2 2

1 1 AB?PC= ?6?9=27; 2 2

x 8? y DE AE ,即 ? . ? 4 8 BC AC 2 ∴y=8-2x(0<x<4).(3)S=xy=x(8-2x)=-2(x-2) +8.∴当 x=2 时,S 有最大值 8;
(2)∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ 22, (1) 由 OC=0.6,AC=0.6,得点 A 的坐标为(0.6,0.6) ,代入 y=ax ,得 a= ∴抛物线的解析式为 y=
2

5 , 3

5 2 x, 3 5 2 x, 3

(2)可设右边的两个立柱分别为 C1D1,C2D2,则点 D1,D2 的横坐标分别为 0.2,0.4,代入 y= 得点 D1, D2 的纵坐标分别为: y1=

5 5 2 ?0.2 ≈0.07, y2= ?0.42≈0.27, ∴立柱 C1D1=0.6-0.07=0.53, 3 3

C2D2=0.6-0.27=0.33,由于抛物线关于 y 轴对称,栅栏所需立柱的总长度为:2(C1D1+ C2D2)+OC=2
(0.53+0.33)+0.6≈2.3 米.


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