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《余弦定理》.


1.1.2 余弦定理

学习目标:
1:掌握余弦定理内容及其证明

2:能用余弦定理解决一些三角形度量问题
重点:定理的推导证明及应用 难点:定理的应用

复习回顾

a b c ? ? 正弦定理: sin A sin B sin C

? 2R


变型: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C

a : b : c ? sin A : sin B : sin C

应用:解决有关三角形的两类问题。 (1)已知两角和任一边。 (2)已知两边和一边的对角。

引例:如图:已知AB=5、 AC=7、角A=60°求BC

像这样已知:两边、一个夹角。如何解三角形? 这涉及到今天要讲的-------

1.1.2 余弦定理

研究:在三角形ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,
∵ BC ? AC ? AB

BC ? ( AC ? AB) 2

2

BC ? AC ? AB ? 2 AC ? AB

2

2

2

?| AC | 2 ? | AB | 2 ?2 | AC | ? | AB | ? cos A

即: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

同理可得:余弦定理

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

注1含义:三角形任一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 注2应用:已知两边和一个夹角,求第三边.

由余弦定理变型得:

b2 ? c2 ? a2 cos A ? 2bc

a 2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac

a2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab
注1含义:三角形任一角的余弦等于两邻边平方的 和除以这两边积的两倍.

2应用:已知三条边求角度.

O 例1、在△ABC中,已知 a ? 2 3, c ? 6 ? 2 , B ? 45

求b及A

解:b ? 2 2, A ? 60?
结:已知两边一个夹角,求第三边. 例2、在△ABC中,已知 a ? 求角A、B、C。

6 , b ? 2, c ? 3 ? 1

解:A ? 60?。B ? 45?.C ? 75?
结:已知三条边求角度.

例3:在?ABC中,若A ? 120 ?,AB ? 5,BC ? 7.求AC

解:b ? 3
结:1已知两边一对角求其他元素. 2多解问题转化为解得个数,

例4、在△ABC中,a ? b ? c ,那么A是(
2 2 2



A、钝角
C、锐角

B、直角
D、不能确定

那a 2 ? b 2 ? c 2呢?

提炼:设a是最长的边,则 △ABC是钝角三角形 ? a △ABC是锐角三角形
2

?b ?c
2
2

2

? a2 ? b2 ? c2
? b2 ? c2

△ABC是直角角三角形 ? a

练习; (1) ?ABC 中, 在 已知 b= 4 3 , = 2 c A= 120 ,求 a. (2)在 ?ABC 中,已知 a= 2 6 ,b= 2
0

3,

2,

c= 6 ? 2 ,求 A、B、C 的值。
(3)学案P 练8:在?ABC中,若B ? 30?,AB ? 2 3,
4

AC ? 7.求?A
a (4) △ABC中, ? 3, b ? 7 , c ? 2 求B,并判断

△ABC的形状。

B ? 60 ?, A ? 0,? 锐角? cos

小结: 余弦定理

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 cos A ? 2bc

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

c2 ? a2 ? b2 cos B ? 2ac

a2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab

应用:1:已知两边一夹角,求第三边。 2:已知三条边,求三个角。

3:已知两边一对角,解三角形。
4:判断三角形的形状。

作业: 在△ABC中,已知下列条件,解三角形:

(1)b=12.9cm,c=15.4cm,A=42.3°;

(2)a=7cm,b=10cm,c=6cm.


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