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不等式恒成立求解参数范围问题的常用策略


不等式恒成立问题的求参策略
?山东省莱西一中北校 赵贞才?(266600) 含有参数的不等式恒成立问题是同学们常见的一类题,这类题涵盖范围广。 不少同学面对此类题,不知从何下手 。其实这类题,规律性较强,有法可循。 本文结合实例探讨一下解题策略。? 1. 分离参数法 如果能把不等式中的参数与主元分离开来, 如果能把不等式中的参数与主元分离开来,则可以通过求函数最值来简化 问题。 问题。如: t > f ( x)恒成立 ? t > f ( x) max , t < f ( x)恒成立 ? t < f ( x) min 例 1:已知 的范围.
分析:原题等价于不等式
x x

f ( x) = lg

1+ 2x + 4x ? a 3

若 x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,求 a

1+ 2x + 4x ? a >0 3
x x

对 x∈(-∞,1]恒成立,分离参数,得

a > ?( 1 ) ? ( 1 ) ,令 g ( x) = ?( 1 ) ? ( 1 ) ,x∈(-∞,1] ,显然 g(x)为增函数,故只须 4 2 4 2
a > g ( x) max = g (1) = ? 3 即可。 4

?π ? ?π π ? 例 2:已知函数 f ( x) = 2 sin 2 ? + x ? ? 3 cos 2 x x ∈ ? , ? ?4 2? ?4 ?

① 求 f (x) 的最大值和最小值;?
?π π ? ② 若不等式 | f ( x) ? m |< 2 ,在 x ∈ ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

分析: (1) f ( x) max = 3, f ( x) min = 2
(2) | f ( x) ? m |< 2 ? f ( x) ? 2 < m < f ( x) + 2

∴ f ( x) max ? 2 < m < f ( x) min + 2 ∴ 1 < m < 4
2. 分类讨论法: 分类讨论法: 按所给不等式中参数的本质属性划分不同种类进行讨论, 按所给不等式中参数的本质属性划分不同种类进行讨论,特别应注意分类 不重不漏” 。 要“不重不漏” 例 3:已知 f ( x) = x 2 + ax + 3 当 x ∈ [? 2,2] 时 f ( x) ≥ a 恒成立,求 a 的取值范 围?

解:法一

原不等式恒成立,即 ( x ? 1)a ≥ ? x 2 ? 3在x ∈ [?2,2] 时恒成立,为了

分离常数,必须对 x ? 1 的符号进行分类讨论。
(1) 当 ? 2 ≤ x < 1时,

a≤?

x2 + 3 x2 ?1+ 4 4 4 4 ] = ?( x ? 1 + =? = ?[( x + 1) + + 2) = (1 ? x) + ?2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 1? x

Q0 < 1? x ≤ 3 4 ∴ (1 ? x) + ? 2 ≥ 2 4 ? 2 = 2 (当且仅当 x 1? x 4 即函数(1 ? x) + ? 2的最小值为2 1? x ∴a ≤ 2

= 1 时取等号)

(2)当x = 1时,不等式恒成立
∴a ∈ R

(3)当1 < x ≤ 2时
x2 + 3 4 a≥? = ?[( x ? 1) + ]?2 x ?1 x ?1
Q0 < x ≤ 1

4 ∴ 令t = x ? 1,则不等式变为a ≥ ?(t + ) ? 2(0 < t ≤ 1)恒成立 t 4 设g (t ) = ?(t + ) ? 2,易证明g (t )在(0,上是增函数。 1] t g max (t ) = g (1) = ?7 综上, 7 ≤ a ≤ 2 ? 故须a ≥ ?7

法二 f ( x) ≥ a恒成立 ? f min ( x) ≥ a
因而本题转化为求二次函数f ( x) = x 2 + ax + 3在x ∈ [?2,2]上的最小值即可. a 因为对称轴x = ? 位置不确定,因此应分 2 a ? a a ?2<? < 2 ? ? ? ? ? ? ≤ ?2 ? ≥2 2 或? 或? ? 2 2 a ? f min ( x) = f (?2) ≥ a ? f min ( x) = f (? ) ≥ a ? f min ( x) = f (2) ≥ a ? ? 2 ? 三种情况进行讨论。 3. 数形结合法 如果把不等式 或经过变形后的不等式)两端的式子分别看作两个函数, 如果把不等式(或经过变形后的不等式)两端的式子分别看作两个函数,

且函数图象易画出 则可以通过观察两图像 特别是交点处)的位置关系, 易画出, 图像( 且函数图象易画出,则可以通过观察两图像(特别是交点处)的位置关系,列 出不等式求参数,这种以形助数的思想方法,直观易懂,解题时要注意运用。 出不等式求参数,这种以形助数的思想方法,直观易懂,解题时要注意运用。 1 例4 : 若不等式x 2 ? log a x < 0在x ∈ (0, )范围内恒成立, 求a的范围. 2
1 解 :由题知x 2 < log a x在x ∈ (0, )范围内恒成立, 2 在同一坐标系内分别画出y = x 2 和y = log a x图 1 像, x ∈ (0, )时,图像y = log a x恒在y = x 2的 Q 2 上方,所以不可能a > 1故0 < a < 1 (1 )
1 1 如图1,y = log a x图像必须过点 ( , ) 2 4 1 1 2 或在这个点的上方,故 log a ≥ ( 2) 4 1 联立 (1), ( 2)解得 : ≤ a < 1 16

y

y = x2
1 4

O

1 2

1

x
y = log a x

图1

4. 变更主元法: 变更主元法: 有些题目按常规思路,从主元思路进行讨论十分繁琐,如果变换一下角度, 有些题目按常规思路,从主元思路进行讨论十分繁琐,如果变换一下角度, 反客为主,视参数为主元,那么就会变得容易多了。 反客为主,视参数为主元,那么就会变得容易多了。
例5:对任意a ∈ [?1,1], x 2 + (a ? 4) x + 4 ? 2a > 0恒成立,求x的范围。 分析:本题不等式左边能变成关于 a 的一次函数,且的范围已知,如果视参 数 a 为主元,视 x 为参数,问题能迅速得到解决。
解:不等式( x ? 2)a + ( x ? 2) 2 > 0对a ∈ [?1,1]恒成立,

令f (a ) = ( x ? 2)a + ( x ? 2) 2 , a ∈ [?1,1]
? f (?1) > 0 f (a ) > 0恒成立的充要条件是? ,解得:x < 1或x > 3。 ? f (1) > 0
例6:已知f ( x)是定义在区间[?1,上的奇函数,且f (1) = 1,若m, n ∈ [?1, m + n ≠ 0时, 1] 1], 有 f ( m) + f ( n ) > 0。 m+n (1)求证:f ( x)在[?1,上为增函数; 1] (2)若f ( x) ≤ t 2 ? 2at + 1对所有x ∈ [?1, a ∈ [?1,恒成立,求实数t的范围。 1], 1] 分析: (1)略
(2) :由于f ( x)在[?1,上为增函数, f ( x)的最大值为f (1) = 1, 1] ∴ ∴ f ( x) ≤ t 2 ? 2at + 1对所有x ∈ [?1, a ∈ [?1,恒成立 ? t 2 ? 2at + 1 ≥ 1 1], 1] 对所有a ∈ [?1,恒成立。 1]

令g (a ) = ?2ta + t 2,a ∈ [?1, 1] ∴ t 2 ? 2ta ≥ 0对任意a ∈ [?1,恒成立。 1] ? g (?1) = t 2 + 2t ≥ 0 ?? 2 ? g (1) = t ? 2t ≥ 0 ? t ≤ ?2或t = 0或t ≥ 2。

总之,不等式恒成立问题的各种方法既是相互独立又是相互联系的。具体解 题时,不但要根据题目特点灵活选择,有的放矢,而且要注意有机渗透,相互为 用。


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