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数学:空间向量的正交分解及其坐标表示+课件+(人教版)ppt


复习:
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 ( b b ? 0), a / /b的 充要条件是存在实数?,使a=? b.

共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线,则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x,y,使 p=xa+yb.

平面向量基本定理:

平面向量的正交分解及坐标表示

y

a ? xi ? y j
i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0). i

a
o j x

? a ? ? x, y ?

问题:
我们知道,平面内的任意一个向量 p 都可以 用两个不共线的向量 a, b 来表示(平面向量基本定 理).对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?

一、空间向量的坐标分解

z

给定一个空间坐标系和向量p p 且设 i, j , k为空间两两垂直的向 k 量,设点Q为点P在 i, j 所确定平 i O j 面上的正投影 由平面向量基本定理有
x

P

y Q

一、空间向量的坐标分解
在OQ, k所确定的平面上, 存在 实数z, 使得OP ? OQ ? z k

z

在i, j所确定的平面上, 存在 实数x, y, 使得OQ ? xi ? y j

k i
O

p
j

P

y
Q

OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk x
由此可知,如果 i, j , k 是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一 向量 p , 存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk .

我们称

xi, y j, zk 为向量 P 在 i, j, k

上的分向量.

探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量
代替两两垂直的向量

a, b, c

i, j , k

,你能得出类似的

结论吗? 空间向量基本定理:

如果三个向量 a, b, c不共面,那么对空间任一向 量 P ,存在有序实数组{x,y,z}使 p ? xa ? yb ? zc.
注: 如果三个向量a, b, c不共面,那么所有空间向量组

成的集合就是{P P ? xa ? yb ? zc, x, y, z ? R},这个 集合可以看做是由向量a, b, c生成的. 故{a, b, c}叫做空间的一个基底.

a, b, c 都叫做基向量

特别提示:对于基底{a,b,c},除了应知道 a,b,c不共面,还应明确:

(1)任意不共面的三个向量都可做为空间 的一个基底. (2 ) 由于可视 0为与任意一个非零向量共线, 与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共 面,就隐含着它们都不是 0 . (3)一个基底是指一个向量组,一个基向量 是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不 同概念.

二、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别 以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向, 建立一个空间直角坐标系O--xyz z

计算单位正交基之间的数量积 e1 ? e2 , e1 ? e3 , e2 ? e3 , e1 ? e1 , e2 ? e2 , e3 ? e3 .
e3 e1 O e 2 x y

在空间直角坐标系O--xyz中,对空间任一向 量 P,平移使其起点与原点o重合,得到向量OP=p 由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z} z 使 p =xe1+ye2+ze3 x, y, z叫做向量P在单位正交基底e1 , e2 , e3
下的坐标,记做 P ? ( x, y, z ).
P(x,y,z) e3 e1 O e2 y

此时向量P的坐标恰是点P在 直角坐标系oxyz中的坐标 (x,y,z),其中x叫做点P的横坐 标,y叫做点P的纵坐标,z叫 做点P的竖坐标.

x

在空间直角坐标系O – x y z 中,对空间任一点P, 对应一个向量 OP ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z, 使OP ? xe1 ? ye2 ? ze3(如图). 我们说,点P的坐标为(x,y,z),记作P(x,y,z),其中x叫 做点P的横坐标,y叫做点P的纵坐标,z叫做点P的竖坐标. 显然, 向量 OP 的坐标,就是点P在此空间直角坐 z 标系中的坐标(x,y,z).

即 OP ? ( x, y, z ) ? P( x, y, z)
也就是说,以O为起点的有向 线段 (向量)的坐标可以和终点的 坐标建立起一一对应的关系,从而 互相转化.

e3 e1 O e2

P(x,y,z)
y

x

思考:设A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则AB的坐标表示是什么?
AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标. 空间向量坐标运算法则,关键是注意空 间几何关系与向量坐标关系的转化,为此在 利用向量的坐标运算判断空间几何关系时, 首先要选定单位正交基,进而确定各向量的 坐标。

例题讲解
OABC的边 例 1. 如图,M,N分别是四面体 OA,BC的中点,P,Q是MN 的三等分.用向

O 1 2 解:OP ? OM ? MP ? OA ? MN 2 3 1 2 M ? OA ? (ON ? OM ) 2 3 Q 1 2 1 ? OA ? ? (OB ? OC ) A 6 3 2 P 1 1 1 N ? OA ? OB ? OC
6 3 3

量OA , OB, OC 表示OP和OQ.

C

B

练习 1. 已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 , 点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA ? a , OB ? b , OC ? c , ⑴用 a 、 b、 c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN ? MP .
略解:⑴ MN ? MO ? ON 1 1 1 ? ? OA ? (OB ? OC ) = ( ? a ? b ? c ) 2 2 2 1 MP ? OP ? OM = ( c ? a ) 2 2 2 2 1 1 ⑵易知 a ? b ? b ? c ? c ? a ? , a ? b ? c ? 1 ,∴ MN ? MP ? 2 4
13


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