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高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)


(一)不等式
1. ( 排 序 不 等 式 ) 设 a1 ? a 2 ? ... ? a n ,

b1 ? b2 ? ... ? bn

j1 , j 2 ,..., j n 是 1,2,..., n 的 一 个 排 列 , 则

a1bn ? a 2 bn?1 ? ... ? a n b1 ? a1b j1

? a 2 b j2 ? ... ? a n b jn ? a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn .
2.(均值不等式) 设 a1 , a 2 ,......, a n 是 n 个正数,则
n

a1 ? a 2 ? ... ? a n n ? a1 a 2 ...a n . n
n n

3. (柯西不等式)设 ai , bi ? R(i ? 1,2,...n) 则 (

? ai2 )(? bi2 ) ? (? ai bi ) 2 . 等号成立当且仅当存在 ? ? R ,
i ?1 i ?1 i ?1

使得 bi ? ?ai (i ? 1,2,..., n) .从历史角度看,柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式

变形: (1) ai ? R, bi ? R 则 设

?

ai2 ?b ? i ?1 i
n

(? a i ) 2 (? bi )
i ?1 i ?1 n

n

设 且 .(2) a i , bi 同号, ai , bi ? 0, 则 ?
i ?1

n

ai ? bi

(? a i ) 2 (? ai bi )
i ?1 i ?1 n

n

.

4. J (e n e n s

不等式)若 f (x) 是 (a, b) 上的凸函数,则对任意 x1 , x2 ,..., xn ? (a, b)

f(

x1 ? x2 ? ... ? xn 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( xn )]. n n
?
? ? ? ? ? a1 ? a 2 ? ... ? a n ? a ? ? a 2 ? ... ? a n ? ) ?( 1 ) ? M?. n n
1 1

5. (幂均值不等式)设 ? ? ? ? 0(ai ? R ) 则 M ? ? (
1

证: 作变换 令 a i ? xi ,则 ai ? xi

?

?

x ? x 2 ? ... ? x n ? 1 ? ? ) . 则 M ? ? M ? ? ( x1? ? x 2 ? ... ? x n ) ? ( 1 n n
?

?

?

?

?

? ? 1, 则函数 f ( x) ? x ? 是 (0,??) 上的凸函数,应用 Jensen不等式即得。 因 ? ? ? ? 0 所以 ?
6. (切比雪夫不等式)设两个实数组 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 则

1 (a1bn ? a 2 bn ?1 ? ... ? a n b1 ) ? n

? ai
i ?1

n

n

?

?b
i ?1

n

i

n
n

?

1 (a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn ). n
n i

(该不等式的证明只用排序不等式及
?
1??

? a ? ? b 的表达式就可得证)
i ?1 i i ?1

7. (一个基础不等式) x y 成立。

? ?x ? (1 ? ? ) y 其中 x, y ? 0, ? ? [0,1] 证:若 x, y 中有一个为零,则结论

设 x, y 均不为零,则原不等式等价于不等式 ( ) ? ? ( ) ? (1 ? ? ).

x y

?

x y



x ? t , 则上式 ? t ? ? ?t ? (1 ? ? ). 记 y

f (t ) ? ?t ? (1 ? ? ) ? t ? , 则 f ' (t ) ? ? ? ?t ? ?1

当 t ? 1, f ' (t ) ? 0; 0 ? t ? 1, f ' (t ) ? 0 且 f ' (1) ? 0, 所以函数 f (t ) 在 t ? 1 取得最小值 0, 从而可得证结论。 不等式)设 a k , bk ? 0(k ? 1,2,...n).
1 p 1 q

8. H ( o d l e r

p, q ? 1 且

1 1 ? ? 1 ,则 p q

?a b
k ?1 k

n

k

? (? a ) ? (? b ) (等号成立当且仅当 a kp ? tbkq )
k ?1 p k k ?1 q k

n

n

证: 在不等式 7 中令 ? ?
n

1 1 1 , x ? Akp , y ? Bkq 则有 Ak Bk ? Akp ? Bkq . p p q
Ak ? ak (? a )
k ?1 p k n 1 p

所以

? Ak Bk ?
k ?1

1 n p 1 n q ? Ak ? q ? Bk 令 p k ?1 k ?1

, Bk ?

bk (? b )
k ?1 q k n 1 q

则得证 Holder 不等式。 *9.与对数函数有关的一个不等式 数的单调性) *10.三角函数有关的不等式 sin x ? x ? tan x x ? (0,
?

x ? ln(1 ? x) ? x , x ? 0. (该不等式的证明利用导数的符号得出函 1? x

?
2

)

*11。舒尔( Schur )不等式 设 x, y, z ? R ,则 x( x ? y)( x ? z ) ? y( y ? x)( y ? z ) ? z ( z ? x)( z ? y) ? 0 证明:首先考虑设 x, y, z ? R ,则 x ( x ? y)( x ? z ) ? y ( y ? x)( y ? z ) ? z ( z ? x)( z ? y) ? 0
r r r ?

由于对称性可设 x ? y ? z ? 0 (1)当 r ? 0 时 左边 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx

? ( x ? y )( x ? z ) ? ( y ? x)( y ? z ) ? ( z ? x)( z ? y )
所以 结论成立;

1 ? [( x ? y ) 2 ? ( y ? z ) 2 ? ( z ? x) 2 ] ? 0 2
(2)当 r ? 0 时 y ? z ? 0 , x ? z ? 0 , x ? y ? 0
r r

? x r ( x ? y )( x ? z ) ? y r ( x ? y )( y ? z ) ? z r ( y ? z )( x ? z )
左边 ? x r ( x ? y )( x ? z ) ? y r ( x ? y )( y ? z ) 结论得证;
r 2

? y ( x ? y )( x ? z ) ? y ( x ? y )( y ? z ) ? y ( x ? y ) ? 0
r r

(3)当 r ? 0 时 x ? y ? 0 , x ? z ? 0 , z ? y ? 0
r r

? x r ( x ? y )( x ? z ) ? y r ( x ? y)( y ? z ) ? z r ( y ? z )( x ? z )
左边 ? ? y r ( x ? y )( y ? z ) ? z r ( y ? z )( x ? z ) 结论得证。

? ? y r ( x ? y)( y ? z ) ? y r ( x ? z )( y ? z ) ? y r ( y ? z ) 2 ? 0
当 r ? 1 时有 x( x ? y)( x ? z ) ? y( y ? x)( y ? z ) ? z ( z ? x)( z ? y) ? 0

*12。闵可夫斯基( Minkowski 不等式 如果 x1 , x2 ,......, xn 与 y1 , y 2 ,......, y n 都是非负实数 p ? 1 ,那么 )

(? ( xi ? y i ) p ) p ? (? xip ) p ? (? y ip ) p
i ?1 i ?1 i ?1

n

1

n

1

n

1

证明:

? (x

i

? y i ) ? ? xi ( xi ? y i ) p ?1 ? ? y i ( xi ? y i ) p ?1
p

应用 Holder 不等式得

? x (x
i p

i

? yi )

p ?1

? ( ? x i ) ( ? ( xi ? y i ) )
p p p 1? 1 p

1 p

1?

1 p



? y (x
i

i

? yi )

p ?1

? ( ? y i ) ( ? ( xi ? y i ) )
?

1 p

。从而得证。
2 2 3 3 3
2 2 2 2

例1. 设 a, b, c ? R 而

且 abc ? 1, 求证 a ? b ? c ? a ? b ? c .
2
3 3 3

证: (1)由柯西不等式 (a ? b ? c )( a ? b ? c) ? (a ? b ? c ) ,

3(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? (12 ? 12 ? 12 )( a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? (a ? b ? c) 2 ? (a ? b ? c) ? 33 abc 2 2 2 由条件即得 a ? b ? c ? a ? b ? c 所以结论成立。 2 (2)由幂均值不等式( ? ? 1, ? ? ) 3

a2 ? b2 ? c2 2 a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? c2 2 a ? b ? c ? 3( ) ? 3( )?( ) 3 3 3
3 1 3 3 3

33 a 2 b 2 c 2 2 ? (a ? b ? c ) ? ( ) ? a2 ? b2 ? c2. 3
2 2 2

1

(3)由切比雪夫不等式,不妨设 a ? b ? c ,则 a 3 ? b 3 ? c 3 ?

(a 2 ? b 2 ? c 2 )( a ? b ? c) ? a2 ? b2 ? c2. 3

例2. 设 xi ? 0, (i ? 1,2,..., n).

?x
i ?1

n

i

? 1, 求证

?
i ?1

n

xi 1 ? xi

?
n

?
i ?1

n

xi .

n ?1

证:左边=

?
i ?1

n

1 1 ? xi

? ? 1 ? xi (由柯西不等式的变形 ?
i ?1

n

1 1 ? xi

?

n2

i ?1

?
i ?1

n

.)

1 ? xi

又(

?12 )(? ( 1 ? xi ) 2 ? (? 1 ? xi ) 2 即 ? 1 ? xi ? n(n ? 1)
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

n

所以

?
i ?1

n

1 1 ? xi
n

? ? 1 ? xi ?
i ?1

n

n2 n(n ? 1)
1 n

? n(n ? 1) ?

n n ?1

.

又 n ? [(

? xi )(12 ? 12 ? ... ? 12 )] 2 ? ? xi 结合上述两式得证结论。
i ?1 i ?1

例 3:已知 a, b, c 为满足 a ? b ? c ? 1 的正数,求证:

1 1 1 27 ? ? ? . a ? bc b ? ca c ? ab 4

证明:由柯西不等式的变形知

1 1 1 (1 ? 1 ? 1) 2 9 ? ? ? ? . a ? bc b ? ca c ? ab a ? b ? c ? bc ? ca ? ab 1 ? bc ? ca ? ab

而 bc ? ca ? ab ?

1 1 (a ? b ? c) 2 ? 所以原不等式成立。 3 3
( 2a ? b ? c ) 2 (2b ? c ? a) 2 (2c ? a ? b) 2 ? 2 ? 2 ? 8. 2a 2 ? (b ? c) 2 2b ? (c ? a) 2 2c ? (a ? b) 2

4. a, b, c 是正实数,求证: I ?

证明:显然

( 2a ? b ? c ) 2 4a 2 ? 4a(b ? c) ? (b ? c) 2 (4a ? b ? c)(b ? c) ? ? 2? 2 2 2 2 2a ? (b ? c) 2a ? (b ? c) 2a 2 ? (b ? c) 2

同理

(2b ? c ? a) 2 (4b ? c ? a)(c ? a) (2c ? a ? b) 2 (4c ? a ? b)( a ? b) ? 2? ? 2? , 2 2 2 2 2 2 2b ? (c ? a) 2b ? (c ? a ) 2c ? (a ? b) 2c 2 ? (a ? b) 2

所以可得 I ? 6 ?

(4a ? b ? c)(b ? c) (4b ? c ? a)(c ? a) (4c ? a ? b)( a ? b) ? ? 2a 2 ? (b ? c) 2 2b 2 ? (c ? a) 2 2c 2 ? (a ? b) 2

若 4a ? b ? c,4b ? c ? a,4c ? a ? b (*) 则 ,

2a 2 ?

(b ? c) 2 (b ? c) 2 ? 2 2 ? 3
2

2a ?

2 2 (b ? c) ? (b ? c) 2 2 2 ? (a ? b ? c) 3 3

即 2a ? (b ? c) ?
2

2 2 2 (a ? b ? c) 2 同理 2b 2 ? (c ? a) 2 ? (a ? b ? c) 2 , 2c 2 ? (a ? b) 2 ? (a ? b ? c) 2 3 3 3

(4a ? b ? c)(b ? c) (4b ? c ? a)(c ? a ) (4c ? a ? b)( a ? b) ? ? 2a 2 ? (b ? c) 2 2b 2 ? (c ? a ) 2 2c 2 ? (a ? b) 2 3(4a ? b ? c)(b ? c) 3(4b ? c ? a)(c ? a) 3(4c ? a ? b)( a ? b) ? 6? ? ? 2( a ? b ? c ) 2 2( a ? b ? c ) 2 2( a ? b ? c ) 2 I ? 6?

所以 ? 6 ?
? 6? ? 6? ?

3(6ab ? 6bc ? 6ac ? 2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ) 2(a ? b ? c) 2 3[3(a ? b ? c) 2 ? 5(a 2 ? b 2 ? c 2 )] 2(a ? b ? c) 2 9 15 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 2 2 (a ? b ? c) 2

21 15 1 ? ? ?8 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(因为 (a ? b ? c) ? (a ? b ? c )(1 ? 1 ? 1 ) ? 3(a ? b ? c ). )

( 2a ? b ? c ) 2 (4a ? b ? c)(b ? c) ? 2? ?2 若上述假设(*)不成立,不妨设 4a ? b ? c ,则 2 2 2a ? (b ? c) 2a 2 ? (b ? c) 2
由柯西不等式 [b ? b ? (c ? a)] ? [b ? b ? (c ? a) ](1 ? 1 ? 1 ) 故
2 2 2 2 2 2 2

(2b ? c ? a ) 2 ? 3, 2b 2 ? (c ? a ) 2

同理

(2c ? a ? b) 2 ? 3. 所以 I ? 8. 综上可知 I ? 8 ,当且仅当 a ? b ? c 时等号成立。 2c 2 ? (a ? b) 2

5. 若 x, y, z 均大于 ? 1,求证

J?

1? x2 1? y2 1? z2 ? ? ? 2. 1? y ? z2 1? z ? x2 1? x ? y2

1? x2 1? y2 1? z2 ? ? )[(1 ? x 2 )(1 ? y ? z 2 ) ? (1 ? y 2 )(1 ? z ? x 2 ) ? (1 ? z 2 )(1 ? x ? y 2 )] 证明: 事实上 1 ? y ? z 2 1 ? z ? x 2 1 ? x ? y 2 ( ? (1 ? x 2 ? 1 ? y 2 ? 1 ? z 2 ) 2

J?

( x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3) 2 (1 ? x 2 )(1 ? y ? z 2 ) ? (1 ? y 2 )(1 ? z ? x 2 ) ? (1 ? z 2 )(1 ? x ? y 2 )

故?

x 4 ? y 4 ? z 4 ? 9 ? 2x 2 y 2 ? 2 y 2 z 2 ? 2z 2 x 2 ? 6x 2 ? 6 y 2 ? 6z 2 x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ? 2( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? x 2 y ? y 2 z ? z 2 x ? x ? y ? z ? 3 ( x 2 ? y ) 2 ? ( y 2 ? z ) 2 ? ( z 2 ? x) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 1) 2 x y ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ? 2( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? x 2 y ? y 2 z ? z 2 x ? x ? y ? z ? 3
2 2

? 2? ? 2.

(当且仅当 x ? y ? z ? 1 时等号成立) 6.已知 a, b, c 为正实数,证明:若 a ? b ? c ? abc ? 4 ,则 a ? b ? c ? 3.
2 2 2

证: 显然 a, b, c 在区间 [0,2]上,设 a ? 2 cos? , b ? 2 cos ? 当 c 为正数时 a ? b ? c ? abc 为增函数
2 2 2

? ? , ? ? [0, )
2

因此,对任意的正数 a, b 至多有一正数 c 满足 a ? b ? c ? abc ? 4 。
2 2 2

下面证明 c ? 2 cos( ? ? ? ? ) ? ?2 cos( ? ? ) 满足 a ? b ? c ? abc ? 4 ? ?
2 2 2

事实上

cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 (? ? ? ) ? 2 cos? cos ? cos( ? ? ) ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? cos2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? 2 cos? cos ? sin ? sin ? ? 2 cos2 ? cos2 ? ? 2 cos? cos ? sin ? sin ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? cos2 ? cos2 ? ? 1.
若 ? ? ? ? ? ,则 ? 2 cos( ? ? ) ? 0 是 c 满足条件的唯一值。 ? 2 下面证明,若 ? ? ? ? ? 则不存在满足条件的 c 。事实上,满足条件的 c 一定满足下面方程
2

c ? 4 cos? cos ?c ? 4(cos2 ? ? cos2 ? ? 1) ? 0 此时上面方程若有解 c1 , c 2 ,则
2

?c1 ? c 2 ? ?4 cos? cos ? ? 0 从而 c1 , c 2 均小于零,所以不存在满足条件的 c 。 ? 2 2 ?c1 ? c 2 ? 4(cos ? ? cos ? ? 1) ? 0
因此 a ? 2 cos? , b ? 2 cos ? , c ? 2 cos? ( ? , ? , ? 是一个锐角三角形的三个内角) 则 a ? b ? c ? 2(cos? ? cos ? ? cos? ) ? 2 ? 3 cos( (上式利用 cos x 是 [0,

? ? ? ??
3

)?3

] 上的凹函数)所以结论得证。 2 7.已知正数 a1 , a 2 ,......, a n , b1 , b2 ,......, bn 满足条件: a1 ? a 2 ? ...... ? a n ? b1 ? b2 ? ...... ? bn ? 1 。

2 2 an a12 a2 ? ? ...... ? 的最小值。 a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn

?

解:先证明一个不等式

x 2 z 2 ( x ? z) 2 ? ? y t y?t
2 2

对所有的正数成立

(事实上,上式等价于 ( x t ? z y )( y ? t ) ? ( x ? z ) yt, 即 ( xt ? yz) ? 0 显然成立)
2 2

于是,利用 n ? 1 次如上不等式,得
2 2 an (a1 ? a 2 ? ...... a n ) 2 a12 a2 1 ? ? ...... ? ? ? a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn (a1 ? a 2 ? ... ? a n ? b1 ? b2 ? ... ? bn ) 2

当 a1 ? a 2 ? ...... ? a n ? b1 ? b2 ? ...... ? bn ?

1 1 时等号成立。故所求最小值为 . 2 n
1 1 1 的最小值。 ? ? x? y y?z z?x

例 8:设 x, y, z 为正数,且 3x ? 4 y ? 5z ? 1 ,求

解:由 3x ? 4 y ? 5z ? 1 ,即 ( x ? y) ? 2( y ? z ) ? 3( z ? x) ? 1 。 则由柯西不等式的变形知

1 1 1 12 ( 2)2 ( 3) 2 (1 ? 2 ? 3 ) 2 ? ? ? ? ? ? 1 x ? y y ? z z ? x x ? y 2( y ? z ) 3( z ? x) ( x ? y ) ? 2( y ? z ) ? 3( z ? x) 且当 ? (1 ? 2 ? 3 ) 2 .

x? y

?

2 3 及 ? 2( y ? z ) 3( z ? x)

3x ? 4 y ? 5z ? 1 时等号成立故
?

1 1 1 的最小值为 (1 ? ? ? x? y y?z z?x

2 ? 3) 2 .

例3. 设 a, b, c, d ? R , abcd ? 1 求证

1 1 1 1 ? ? ? ?2 a(b ? 1) b(c ? 1) c(d ? 1) d (a ? 1)

x y z w ? 1 1 1 1 证: 设 a ? , b ? , c ? , d ? x, y, z, w ? R 则原不等式等价于 ? ? ? ? 2. y z w x x y y z z w w x ( ? 1) ( ? 1) ( ? 1) ( ? 1) y z z w w x x y

1 x 1 1 ? y z ? 1 y 1 1 ? z w ? 1 z 1 1 ? w x ? 1 w 1 1 ? x y ? 2.

由柯西不等式

1 1 1 1 ( ? ? ? )2 x y z w ? ? ? ? . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? )? ( ? )? ( ? )? ( ? ) y z z w w x x y x y z y z w z w x w x y 1 x 1 z 1 w
将上式分子与分母展开,应用柯西不等式可证原不等式成立。
2 2 2 9.设正数 a, b, c, x, y, z 满足 cy ? bz ? a, az ? cx ? b, bx ? ay ? c 求函数 f ( x, y, z ) ? x ? y ? z 最小值

1 y

1? x
2

1? y
2

1? z

解:

? b2 ? c2 ? a2 ?x ? 2bc 由已知条件可解 ? ? a2 ? c2 ? b2 ?y ? 2ac ? ? a2 ? b2 ? c2 ?z ? 2ab ?

令 ? ? b ? c ? a , ? ? a ? c ? b ,? ? a ? b ? c
2 2 2 2 2 2

2

则 x?

? ? ? ,y ? ,z ? , (? , ? , ? ? R ? ) (? ? ? )(? ? ? ) ( ? ? ? )( ? ? ? ) (? ? ? )(? ? ? )

从而
f ( x, y , z ) ? ? ?

?2 ?2 ? (? ? ? )(? ? ? ) ? ? (? ? ? )(? ? ? ) ( ? ? ? )( ? ? ? ) ? ? ( ? ? ? )( ? ? ? )

?2 (? ? ? )(? ? ? ) ? ? (? ? ? )(? ? ? )
(? ? ? ? ? ) 2 (? ? ? )(? ? ? ) ? ? (? ? ? )(? ? ? ) ? ( ? ? ? )( ? ? ? ) ? ? ( ? ? ? )( ? ? ? ) ? (? ? ? )(? ? ? ) ? ? (? ? ? )(? ? ? )

下面估计

1 f ( x, y, z ) ? . 只需要证明 2
(? ? ) 2 ? 1 2

? [(? ? ? )(? ? ? ) ? ? (? ? ? )(? ? ? )

? 2? ? 2 ? 4? ?? ? ? ? 2 ? 3? ?? ? ? ? (? ? ? )(? ? ? ) ? ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? (? ? ? )(? ? ? ) .

利用均值不等式 ?? (? ? ? )(? ? ? ) ? ?? ? 2? ? ? ? ? ? ?? 2 ? ??? 2 从而结论成立即 f ( x, y, z ) ?

1 1 . 且等号当 x ? y ? z ? 1 即 a ? b ? c 时成立。所以 f ( x, y, z ) 的最小值为 . 2 2 2
2 3 4.... n ? 3.
2 k

10.证明:对任意自然数 n ,成立不等式 证:设 ak ?

k (k ? 1).... n . 因为 a

? k ak ?1 如果 ak ? k ? 1 ,则 a k ?1

2 a k (k ? 1) 2 ? ? ? k ? 2. k k

所以, 如果 a 2 ? 3 , 则由数学归纳法可知 a n ?1 ? n. 也就是 所以 a 2 ? 3 不成立。也就是原不等式得证。 11.非负数 a1 , a 2 ,..., a n 中最大的一个为 a ,证明不等式
2 2 a12 ? a 2 ? ... ? a n a1 ? a 2 ? ... ? a n 2 a 2 ?( ) ? n n 4

(n ? 1) n ? n 成立, 但事实上显然不成立,

(并给出等号成立的条件)

2 2 a12 ? a 2 ? ... ? a n a2 a a2 ? M 2 ? aM ? M 2 ? ? ( ? M )2 ? . n 4 2 4 2 2 a 2 ? a 2 ? ... ? a n a ? a 2 ? ... ? a n (因为 ai2 ? aai (i ? 1,2,.., n), 1 ) ?a 1 n n

证:设

a1 ? a 2 ? ... ? a n ? M. n



等号成立,第一 ai ? aai 对每个 i 成立 即 ai ? 0 或者 ai ? a; 第二 M ?
2

a . 这两种情况都成立只有如下 2

两种情况(1)所有 a i 均为 0; (2) n 为偶数, 12.已知 xi ? R, (i ? 1,2,..., n; n ? 2) 满足
n

n n 个 ai ? 0, 其余的 个 ai ? a(a ? 0). 2 2
n n

? | xi |? 1, ? xi ? 0 ,求证 | ?
i ?1 i ?1 i ?1

xi 1 1 |? ? . i 2 2n

证: (1)设 x1 , x 2 ,..., x n 中大于 0 的实数有 xk1 , x k2 ,..., x kl ,不大于 0 的有 x kl ?1 , x kl ? 2 ,..., x kn ,则由已知条件



? x ki ?
i ?1
n

l

1 n 1 ; ? x ki ? ? . 所以 2 i ?l ?1 2

l x n x l xi 1 n 1 1 k k ? ? i ? ? i ? ? x ki ? ? x ki ? ? ; ? i i ?1 k i ?l ?1 k i ?1 n i ?l 2 2n i ?1 i i n

另一方面

l x n x n n xi x 1 l 1 1 1 1 1 1 k k ? ? i ? ? i ? ? x ki ? ? x ki ? ? ? ?( ? ). 所以 | ? i |? ? . ? i i ?1 k i?l ?1 k n i?1 2n 2 2 2n 2 2n i ?1 i ?l i ?1 i i i

(2) 记 S k ? x1 ? x 2 ? ... ? xk



?| x
i ?1

n

i

|? 1, ? xi ? 0 得 S n ? 0, | S i |?
i ?1

n

1 (i ? 1,2,.., n ? 1) 2

不妨设 S 0 ? 0, 则 xi ? S i ? S i ?1 (1 ? i ? n, i ? N ) ,于是
n n n ?1 n ?1 xi S S 1 1 1 ? ? ( S i ? S i ?1 ) ? ? i ? ? i ? ? S i ( ? ). ? i i?1 i i i ?1 i ?1 i ?1 i i ?1 i ? 1 i ?1 n n ?1 xi 1 1 1 n ?1 1 1 1 1 |? ? | S i |( ? ) ? ?( ? )? ? . ? i i?1 i i ? 1 2 i ?1 i i ? 1 2 2n i ?1 n

从而 |

13.非负实数 a, d 和正数 b, c 满足 b ? c ? a ? d ,求证 证明:因为 b ? c ? a ? d ,则知 b ? c ?

b c 1 ? ? 2? . c?d a?b 2

1 (a ? b ? c ? d ) , 2

b c b?c c c 1 a?b?c?d 1 1 ? ? ? ? ? ? (c ? d )( ? ) c?d c?d a?b 不妨设 a ? b ? c ? d ,则 c ? d a ? b c ? d a ? b c ? d 2 1 a?b c?d 1 1 ? ? ? ? 2? . 2 c?d a?b 2 2

事实上如果 a ? b ? c ? d ,则

b c b?c b b 1 a?b?c?d 1 1 ? ? ? ? ? ? (a ? b)( ? ) c?d a?b a?b a?b c?d 2 a?b a?b c?d 1 c?d a?b 1 1 ? ? ? ? 2? . 2 a?b c?d 2 2
且 2?

1 是可达的(如 a ? 2 ? 1, b ? 2 ? 1, c ? 2, d ? 0 即可) 。 2 0 ? xy ? yz ? zx ? 2 xyz ? 7 . 27 1 ,则 3

14.若 x, y, z 为非负实数,满足 x ? y ? z ? 1 ,证明

证明:由于题中条件与结论是关于 x, y, z 对等,所以可设 x ? y ? z ,由 x ? y ? z ? 1 ,则有 z ?

2 xyz ?

2 xy 于是 xy ? yz ? zx ? 2 xyz ? 0. 3
xy ? yz ? zx ? 2 xyz ? y ( z ? x) ? zx(1 ? 2 y )

1 1 1 1 1 1 同理由假设可知 y ? , x ? 从而 ? y( w ? ) ? w(1 ? 2 y) ? y ( z ? x) ? zx(1 ? 2 y ) ? ( x ? )( ? z )(1 ? 2 y ) 2 3 3 3 3 3
1 1 ? y ( z ? x) ? ( x ? z ? )(1 ? 2 y ) 3 3

(其中 w ? x ? z ?

1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 7 ? ? y ) ? yw ? ( y ? w) ( yw ? ( y ? w) 2 ? ) ? ? ? ? ? . 3 3 3 3 4 9 3 9 3 3 27

例 15. ?ABC 的三边 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,证明 5(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 18abc ? 证明:因为 a ? b ? c ? (a ? b ? c) ? 2(ab ? bc ? ac) ? 1 ? 2(ab ? bc ? ac),
2 2 2 2

7 . 3

所以,原不等式等价于

5 4 (ab ? bc ? ac) ? abc ? . 9 27
3 2

构造一个辅助函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c). 一方面, f ( x) ? x ? (a ? b ? c) x ? (ab ? bc ? ac) x ? abc , 所以 f ( ) ? ( ) 3 ? ( ) 2 ?

5 9

5 9

5 9

5 (ab ? bc ? ac) ? abc , 9 1 5 5 5 则 ? a, ? b, ? c 均为正数,利用平 2 9 9 9

另一方面, a, b, c 为三角形的三条边长,所以 0 ? a, b, c ?

5 5 5 5 1 5 5 5 8 均不等式有, f ( ) ? ( ? a)( ? b)( ? c) ? [( ? a) ? ( ? b) ? ( ? c)]3 ? . 9 9 9 9 27 9 9 9 729
所以 ( ) ? ( ) ?
3 2

5 9

5 9

5 8 5 4 ,即 (ab ? bc ? ac) ? abc ? (ab ? bc ? ac) ? abc ? . 9 729 9 27

(本题巧妙的运用了特殊不等式以及辅助函数)
2 2 2 x n ?1 x n x12 x 2 ? ? ... ? ? ? x1 ? x 2 ? ... ? x n . 例 16.设 x1 , x 2 ,..., x n 都是正数,求证 x 2 x3 xn x1

证明: (1) 由平均不等式

x12 ? x 2 ? 2 x1 x2 x ? x3 ? 2 x 2 x3
2

.......
2 xn ? x1 ? 2 x n . 上述不等式两边相加可得证结论。 x1

2 2

(2)对任何正数 m, n 都有 (m ? n) ? 0, 即 m ? mn ? mn ? n ? m(m ? n) ? n(m ? n).
2 2

由于 n ? 0, 则

m (m ? n) ? m ? n 从而 n

x1 ( x1 ? x 2 ) ? x1 ? x 2 x2 x2 ( x 2 ? x3 ) ? x 2 ? x3 x3 ...... xn ( x n ? x1 ) ? x n ? x1 x1
2 2 2 2 2 x n ?1 x n x12 x12 x 2 x 2 x3 ? ? ? ... ? ? ? x 2 x 2 x3 x3 xn x1 x1

上述不等式两边相加整理可得证结论。 (3) ?

2 2 2 x n ? x12 x12 ? x 2 x 2 ? xn ? ? ... ? n ?1 x1 x2 xn

整理可得证结论。

? 2 x n ? 2 x1 ? ... ? 2 x n ?1
(4)因 x1 , x 2 ,..., x n 均为正数,设 a1 ?

x 2 , a 2 ? x3 ,...a n ? x1 b1 ?

x1 x2

, b2 ?

x2 x3

,..., bn ?

xn x1

.

由柯西不等式 (

? ai2 )(? bi2 ) ? (? ai bi ) 2
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n



[( x 2 ) 2 ? ( x3 ) 2 ? ... ? ( x n ) 2 ? ( x1 ) 2 ][( ? ( x1 ? x 2 ? ... ? x n ?1 ? x n )
2

x1 x2

)2 ? (

x2 x3

) 2 ? ... ? (

x n ?1 xn

)2 ? (

xn x1

)2 ]

即 ( x 2 ? x3 ? ... ? x n ? x1 )(

2 x2 x2 x12 x 2 ? ? ... ? n ?1 ? n ) ? ( x1 ? x 2 ? ... ? x n ?1 ? x n ) 2 . x 2 x3 xn x1

因为 x1 ? x 2 ? ... ? x n ? 0, 两边同除以 x1 ? x2 ? ... ? xn 即得证命题。 例 17.设实数 x, y, z 都不等于 1, xyz ? 1 , (1)求证:

x2 y2 z2 ? ? ? 1; ( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 ( z ? 1) 2

(2)证明:存在无穷多组三元有理数组 ( x, y, z ) 使得上式等号成立。 x y z 证: (1)令 ? a, ? b, ? c, 则 x ? a , y ? b , z ? c 由题设条件 xyz ? 1 得 x ?1 y ?1 z ?1 a ?1 b ?1 c ?1 abc ? (a ? 1)(b ? 1)(c ? 1), 即 a ? b ? c ? 1 ? ab ? bc ? ca, 所以

a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 ? 2(ab ? bc ? ca) ? (a ? b ? c) ? 2(a ? b ? c ? 1)
2

从而

? (a ? b ? c ? 1) 2 ? 1 ? 1,
(2)令
( x, y , z ) ? ( ?

x2 y2 z2 ? ? ? 1; ( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 ( z ? 1) 2

k k ?1 , k ? k 2 , 2 ) ,k 是正整数,则 ( x, y, z ) 是三元有理数组,x, y, z 都不等于 1, 2 (k ? 1) k

且对不同的正整数 k ,三元有理数组互不相同。此时

x2 y2 z2 k2 (k ? k 2 ) 2 (k ? 1) 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 1. 即命题得证。 ( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 ( z ? 1) 2 (k ? k ? 1) 2 (k ? k ? 1) 2 (k ? k ? 1) 2
该问题的第一个问题的推广

( 设实数 x, y, z 都不等于 1, 满足 xyz ? 1 , , ? ? R , 求证: ?
证明:设 x ? 同理

?x ? ?
x ?1

)2 ? (

?y ? ?
y ?1

)2 ? (

?z ? ?
z ?1

) 2 ? ?2 ? ? 2 .

a b c ?x ? ? ?a ? ?b a , y ? , z ? ,则 ? ? (? ? ? ) ? ?, b c a x ?1 a ?b a ?b
? (? ? ? ) b ? ?, b?c

?y ? ?
y ?1

?z ? ?
z ?1

? (? ? ? )

c a b c ? ?, 令 ? u, ? v, ?w c?a a ?b b?c c?a

则 uvw ?
(

a b c ? ? ? (u ? 1)(v ? 1)( w ? 1), 即有 u ? v ? w ? 1 ? uv ? vw ? wu. a ?b b?c c ?a
)2 ? (

?x ? ?
x ?1

?y ? ?
y ?1
2

)2 ? (

?z ? ?
z ?1

)2

? [(? ? ? )u ? ? ] ? [(? ? ? )v ? ? ] 2 ? [(? ? ? ) w ? ? ] 2 ? (? ? ? ) 2 (u 2 ? v 2 ? w 2 ) ? 2(? ? ? ) ? (u ? v ? w) ? 3? 2 ? (? ? ? ) 2 (u 2 ? v 2 ? w 2 ) ? 2(? ? ? ) 2 (uv ? vw ? wu) ? 2(? ? ? ) 2 (u ? v ? w ? 1) ? 2(? ? ? ) ? (u ? v ? w) ? 3? 2 ? (? ? ? ) 2 (u ? v ? w) 2 ? [?2(? ? ? ) 2 ? 2(? ? ? ) ? ](u ? v ? w) ? 2(? ? ? ) 2 ? 3? 2 ? (? ? ? ) 2 (u ? v ? w) 2 ? 2(? ? ? )(? ? 2 ? )(u ? v ? w) ? 2?2 ? 4?? ? 5? 2 ? [(? ? ? )(u ? v ? w) ? (? ? 2 ? )] 2 ? ?2 ? ? 2 ? ?2 ? ? 2 .



结论得证。

如 a, b, c 互不相等,求证: (

2a ? b 2 2b ? c 2 2c ? a 2 ) ?( ) ?( ) ? 5. a ?b b?c c?a

证此结论只需要在上证的不等式中取 ? ? 2, ? ? ?1. 还可证 (

a 2 b 2 c 2 ) ?( ) ?( ) ? 1. (只需要在上证的不等式中取 ? ? 1, ? ? 0. ) a ?b b?c c?a
1 2 1 2 1 2 ) ?( ) ?( ) ? 1. x ?1 y ?1 z ?1

还可证设实数 x, y, z 都不等于 1,满足 xyz ? 1 ,则 ( (事实上令 x ?

b c a , y ? , z ? 就将上式转化为前一不等式) a b c
2 2 2 xn ?1 xn x12 x2 1 ? ??? ? ? . x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1 2 2 x ?x x12 x ?x x2 ? 1 2 ? x1 , ? 2 3 ? x2 , x1 ? x2 4 x2 ? x3 4

例 18.n 个正数 x1 , x2 , ?, xn ,它们的和是 1。求证:

证 1 利用基本不等式: a, b ? R? ,有 a ? b ? 2 ab .

2 xn x ?x ? n 1 ? xn . 以上 n 个不等式两边分别相加并整理得 xn ? x1 4 2 2 2 xn ?1 xn 2( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x12 x2 ? ??? ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn . x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1 4

以上 n 个不等式两边分别相加并整理得
2 2 2 xn ?1 xn 2( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x12 x2 ? ??? ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn . x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1 4 2 2 2 xn ?1 xn x12 x2 1 1 ? ??? ? ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? . 即 x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1 2 2

证 2 利用增量代换,设 x1 ? 则 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0. 因而
2

x ?x x ?x x1 ? x2 ? a1 , x2 ? 2 3 ? a2 ,?, xn ? n 1 ? an , 2 2 2

2 2 2 xn ?1 xn x12 x2 ? ??? ? . x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1

?1 ? ?1 ? ?1 ? ? 2 ( x1 ? x2 ) ? a1 ? ? 2 ( x2 ? x3 ) ? a2 ? ? 2 ( xn ? x1 ) ? an ? ? ? ?? ? ??? ? ? = x1 ? x2 x2 ? x3 xn ? x1
=

2

2

a2 a2 a2 x ?x 2( x ? x ? ? ? xn ) 1 x1 ? x2 x2 ? x3 ? ? ? n 1 ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 1 2 ? . x1 ? x2 x2 ? x3 xn ? x1 4 4 4 4 2
2 2 2 xn ?1 x2 x12 x2 x3 xn x2 x12 ? 2 ??? ? n , B= 2 ? ??? ? , x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1 x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1

证 3 记 A= 则

A-B=

2 2 2 x2 ? x2 x2 ? x2 x12 ? x2 x2 ? x3 ? ? ? ? n ?1 n ? n 1 = ( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x3 ) ? ? ? ( xn?1 ? xn ) ? ( xn ? x1 ) ? 0, x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1

所以 A=B. 因此
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 xn ?1 4 xn 4 x12 4 x2 2( xn ?1 ? xn ) 2( xn ? x12 ) 2( x12 ? x2 ) 2( x2 ? x3 ) = ? ?? ? ? ??? ? x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1 x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1



2 ( xi ? xi ?1 ) ? xi ? xi ?1 ? 2 xi xi ?1 ? ( xi ? xi ?1 ) ,
2 2 2 2 2

所以

2 2 2 4 xn ?1 4 xn ( x ? x )2 ( x ? x )2 4 x12 4 x2 ( x ? x )2 ( x ? x )2 ? ?? ? ? 1 2 ? 2 3 ? ? ? n ?1 n ? n 1 x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1 x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1

= ( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x3 ) ? ? ? ( xn ?1 ? xn ) ? ( xn ? x1 ) = 2( x1 ? x2 ? ? ? xn ?1 ? xn ) ? 2. 所以
2 2 2 xn ?1 xn x12 x2 1 ? ?? ? ? . x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1 2

例 19. 设整数 n ? 3. 非负实数 a1 , a 2 ,..., a n 满足 a1 ? a 2 ? ... ? a n ? 2 , 求 a1 ? a 2 ? ... ? a n ?1 ? a n 2 2 2 1 ? a 2 1 ? a3 1 ? a n 1 ? a12 的最小值。 解: a1 ? a 2 ? . ? a n ? 2 知, 由 问题等价于求下式的最大值:a1 ?
2 2 2 a n ?1 a n a n a12 a1 ? a 2 a 2 ? a3 ? ? ? ... ? ? 2 2 2 1 ? a 2 1 ? a3 1 ? a n 1 ? a12

a a a1 a ? a 2 ? 2 2 ? ... ? a n?1 ? n ?1 2 ? a n ? n 2 2 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an 1 ? a1

?

1 (a1 a 2 ? a 2 a3 ? ... ? a n ?1 a n ? a n a1 ). 2

2 (由于 1 ? x ? 2 x ) (引理:若 a1 , a 2 ,..., a n ? 0, n ? 4 则

4(a1a 2 ? a 2 a3 ? ... ? a n?1a n ? a n a1 ) ? (a1 ? a 2 ? ... ? a n?1 ? a n ) 2 .
事实上设 f (a1 , a 2 ,...a n ) ? 4(a1 a 2 ? a 2 a3 ? ... ? a n ?1 a n ? a n a1 ) ? (a1 ? a 2 ? ... ? a n ?1 ? a n ) .
2

现用数学归纳法证明 f (a1 , a 2 ,..., a n ) ? 0. 首先 n ? 4 时,显然成立。 假设 n ? k (k ? 4) 时结论成立,对于 n ? k ? 1, 不妨设 a k ? min{a1 , a 2 ,..., a k , a k ?1 }

f (a1 , a 2 ,..., a k , a k ?1 ) ? f (a1 , a 2 ,..., a k ? a k ?1 )
则 ? 4[ a k ?1 a k ? a k a k ?1 ? a1 a k ?1 ? a k ?1 ( a k ? a k ?1 ) ? ( a k ? a k ?1 ) a1 ]

? ?4[( a k ?1 ? a k )a k ?1 ? a1 a k ] ? 0.
即 f (a1 , a 2 ,..., a k , a k ?1 ) ? f (a1 , a 2 ,..., a k ? ak ?1 ). 由归纳假设知 f (a1 , a 2 ,..., a k , a k ?1 ) ? 0. 引理得证。 ) 从而应用引理知

1 1 1 (a1a 2 ? a 2 a3 ? ... ? a n?1a n ? a n a1 ) ? (a1 ? a 2 ? ... ? a n?1 ? a n ) 2 ? . 2 8 2

所以

a an a1 a2 3 ? ? ... ? n ?1 2 ? ? , (当 a1 ? a 2 ? 1, a3 ? a 4 ? ... ? a n ? 0 时上不等式中的 2 2 2 1 ? a 2 1 ? a3 1 ? a n 1 ? a1 2

等号可取得)所以该问题的最小值为 .

3 2

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? . 5a ? 4a ? 11 5b ? 4b ? 11 5c ? 4c ? 11 4 9 1 1 证明:若 a, b, c 都小于 , 则可以证明 ? (3 ? a). 2 5 5a ? 4a ? 11 24
例 20.设实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3 求
2

1 1 ? (3 ? a) ? (3 ? a)(5a 2 ? 4a ? 11) ? 24 事实上 5a ? 4a ? 11 24
2

9 ? 5a 3 ? 19 a 2 ? 23a ? 9 ? 0 ? (a ? 1) 2 (5a ? 9) ? 0 ? a ? . 5
同理,对 b, c 有类似的不等式,从而

1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? (3 ? a) ? (3 ? b) ? (3 ? c) ? . 结论成立。 24 24 4 5a ? 4a ? 11 5b ? 4b ? 11 5c ? 4c ? 11 24 9 9 4 9 9 4 2 若 a, b, c 中有一个不小于 , 不妨设 a ? , 则 5a ? 4a ? 11 ? 5a(a ? ) ? 11 ? 5 ? ( ? ) ? 11 ? 20 5 5 5 5 5 5 1 1 2 2 4 1 1 2 故 而 5b ? 4b ? 11 ? 5(b ? ) ? 11 ? ? 10. 则 2 ? ? , 2 5 5 5a ? 4a ? 11 20 5b ? 4b ? 11 10 1 1 1 1 1 1 同理 2 ? . 因此总有 2 ? 2 ? 2 ? . 结论得证。 5c ? 4c ? 11 10 5a ? 4a ? 11 5b ? 4b ? 11 5c ? 4c ? 11 4 3 例 21.设 ? x ? 5 ,证明不等式 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 19. (要证明几个数的和不超过定 2
2

值可考虑运用均值不等式) 证明: 由平均值不等式可知 a ? b ? c ? d ? 2 a ? b ? c ? d (当且仅当 a ? b ? c ? d 时取等号)
2 2 2 2

取a ? b ?

x ? 1, c ? 2 x ? 3, d ? 15 ? 3x 则

2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (2 x ? 3) ? (15 ? 3x) ? 2 x ? 14 ? 2 19 .
因为 x ? 1, 2 x ? 3, 15 ? 3x 不能同时相等,所以 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 19. 例 17.已知 x, y, z ? R , xyz ? 1, 且 x(1 ? z ) ? 1, y(1 ? x) ? 1, z (1 ? y) ? 1, 求证 2( x ? y ? z ) ? (怎样利用条件 xyz ? 1. ) 证明:令 x ? , y ? , z ? , (a, b, c ? R ? ) 则 x(1 ? z) ? 1, y(1 ? x) ? 1, z(1 ? y) ? 1, 变为 a ? c ? b, a ? b ? c, c ? b ? a.
?

1 1 1 ? ? ? 3. x y z

a b

b c

c a

a b c b c a 要证的不等式变为 2( ? ? ) ? ? ? ? 3 ,等价于证明 2(a 2 c ? b 2 a ? c 2 b) ? b 2 c ? c 2 a ? a 2 b ? 3abc. b c a a b c
注意到条件中 a, b, c 为三角形的三条边,可令 a ? m ? n, b ? n ? l , c ? l ? m, (m, n, l ? R 3 3 3 2 2 2 2 2 2 原不等式转化为 l ? m ? n ? m n ? n l ? l m ? 2m l ? 2n m ? 2l n. 3 2 2 3 2 2 3 2 2 事实上 l ? n l ? 2l n, m ? l m ? 2m l , n ? m n ? 2n m ,所以上述不等式成立,即原不等式得证。
?

3 b3 c3 d3 1 例 22. a, b, c, d 为正实数, 设 且满足 ab ? bc ? cd ? da ? 1 , 求证: a ? ? ? ? . b?c?d a?c?d a?b?d a?b?c 3

证:由均值不等式得

a3 b?c?d 1 a3 b?c?d 1 a ? ? ? 33 ? ? ? . b?c?d 18 12 b?c?d 18 12 2

同理

b3 a?c?d 1 b c3 a?b?d 1 c d3 a?b?c 1 d ? ? ? ; ? ? ? ; ? ? ? . a?c?d 18 12 2 a ? b ? d 18 12 2 a ? b ? c 18 12 2 a3 b3 c3 d3 a ? b ? c ? d ?1 ? ? ? ? . b?c?d a?c?d a?b?d a?b?c 3

上不等式相加得

又由题设 ab ? bc ? cd ? da ? (a ? c)(b ? d ) ? 1 得 a ? b ? c ? d ? a ? c ? 代入上式则得证结论。 例 23.已知 n ? N
?

1 ?2 a?c

且 n ? 2 ,求证:

4 1 1 1 1 1 2 ? 1 ? ? ? ? ... ? ? ? . 7 2 3 4 2n ? 1 2n 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? 1 ? ? ? ... ? ? 2( ? ? ... ? ) 2 3 4 2n ? 1 2n 2 3 2n 2 4 2n 证明:显然 1 1 1 ? ? ? ... ? . n ?1 n ? 2 2n 1?
由柯西不等式 (

1 1 1 ? ? ... ? )[( n ? 1) ? (n ? 2) ? ... ? 2n] ? n 2 , n ?1 n ? 2 2n

所以

1 1 1 n2 n2 2 4 ? ? ... ? ? ? 2 ? ? . 1 7 n ?1 n ? 2 2n (n ? 1) ? (n ? 2) ? ... ? 2n 3n ? n 3? n 2

1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ) 2 ? (12 ? 12 ? ... ? 12 )( ? ? ... ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 2n (n ? 1) (n ? 2) ( 2n) 2 另一方面 1 1 1 1 1 1 ? n[ ? ? ... ? ] ? n( ? ) ? . n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) (2n ? 1)( 2n) n 2n 2 (
所以

1 1 1 2 ? ? ... ? ? . 所以原不等式得证。 n ?1 n ? 2 2n 2

例 24.设 u, v, w 均为正实数,满足条件 u vw ? v wu ? w vu ? 1 ,试求 u ? v ? w 的最小值。 解 : 由 均值 不 等式 和 题中 的 条 件, 知

u

v?w w?u u?v ?v ?w ? u vw ? v wu ? w uv ? 1, 即 2 2 2

uv ? vw ? wu ? 1. 因此 (u ? v ? w) 2 ? u 2 ? v 2 ? w 2 ? 2uv ? 2wv ? 2wu ? 3(uv ? wu ? wv) ? 3.
即 u?v?w? 小值是 3.

3. 另外当 u ? v ? w ? 3 时满足题中条件,且上不等式中等号取得。所以 u ? v ? w 的最
3

例 25. (1)对任意正数 x1 , x 2 ,..., x k ( k ? 3) ,求证:

xk x1 x2 ? ? ... ? ? 2; x k ? x 2 x1 ? x3 x k ?1 ? x1 xk x1 x2 ? ? ... ? ? a. x k ? x 2 x1 ? x3 x k ?1 ? x1

(2)对于每一个 k ,对任意 a ? 2 存在正数 x1 , x 2 ,..., x k 使得 (1) 证明:用数学归纳法证明。 当 k ? 4 时由于

x3 x ? x3 x 2 ? x 4 x1 x2 x4 ? ? ? ? 1 ? ? 2. 即当 k ? 4 时结论成立 x 4 ? x 2 x1 ? x3 x 2 ? x 4 x3 ? x1 x 2 ? x 4 x1 ? x3

假设 k ? n ? 4 时结论成立现在,我们证 k ? n ? 1 时,结论也成立 事实上,由于任取 n ? 1 个正数 x1 , x2 ,..., xn , xn?1 ,由于不等式的循环对称性,不妨设 xn?1 ? min{ x1 , x2 ,..., xn , xn?1}.

则原不等式为

xn x xn x x1 x2 x1 x2 ? ? ... ? ? n ?1 ? ? ? ... ? ? n ?1 x n ?1 ? x 2 x1 ? x3 x n ?1 ? x n ?1 x n ? x1 x n ? x 2 x1 ? x3 x n ?1 ? x1 x n ? x1

由归纳假设可知

xn x xn x1 x2 x1 x2 ? ? ... ? ? n ?1 ? ? ? ... ? ? 2. x n ?1 ? x 2 x1 ? x3 x n ?1 ? x n ?1 x n ? x1 x n ? x 2 x1 ? x3 x n ?1 ? x1

所以结论得证。 (2) 解 任取正整数 k ? 3 ,有两种情况:

(i)k ? 2m, 其中 m 为大于 1 的正整数,取 x1 ? x2 m ? 1, x2 ? x2 m?1 ? t ,...... xm ? xm?1 ? t m?1
xk x1 x2 1 t t2 t m?2 t m ?1 ? ? ... ? ? 2( ? ? ? ... ? m ?3 m ?1 ? m ? 2 m ?1 ) x k ?1 ? x1 1? t 1? t2 t ? t3 t ?t t ?t 其中 t ? 0 ,由此可得 x k ? x 2 x1 ? x3 1 (m ? 2)t t ? 2( ? ? ). 2 1? t 1? t 1? t
显然 t ? ? 时,有

xk x1 x2 ? ? ... ? ? 2. 则结论成立。 x k ? x 2 x1 ? x3 x k ?1 ? x1
x1 ? x 2 m ? t;x 2 ? x 2 m ?1 ? t 2; ...... x m ? x m ?1 ? t m , x 2 m ?1 ? 1

(ii)k ? 2m ? 1, 其中 m 为大于 1 的正整数,取

其中 t ? 0 ,同理可计算得原不等式的左边在 t ? ? 时以 2 为极限,故结论得证。 例 26:已知正实数 a, b, c, d 满足 abcd ? 1 , a ? b ? c ? d ?

a b c d ? ? ? . 证明: b c d a

a?b?c?d ?

b c d a ? ? ? . a b c d .. a b c d b c d a ? ? ? 与 ? ? ? 的加权平均。有 b c d a a b c d

证明:首先证明,若 abcd ? 1, 则 a ? b ? c ? d 不超过 均值不等式有 a ?

4

a4 a a b a 1 a a b a ? 4 ? ? ? ? ( ? ? ? ). abcd b b c d 4 b b c d

同理 b ?

4

b4 b b c b 1 b b c b c4 c c d c 1 c c d c ? 4 ? ? ? ? ( ? ? ? ). c ? 4 ? 4 ? ? ? ? ( ? ? ? ). abcd c c d a 4 c c d a abcd d d a b 4 d d a b

d ?4

d4 d d a d 1 d d a b ? 4 ? ? ? ? ( ? ? ? ). 将上 4 个式子相加得 abcd a a b c 4 a a b c

a?b?c?d ?

3 a b c d 1 b c d a ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ). 从而原题得证。 4 b c d a 4 a b c d

例 27:证明对任意的正实数 a, b, c, d 都有 (a ? b)( a ? c) ? (b ? c)(b ? d ) ? (c ? d )(c ? a) ? (d ? a)( d ? b) ? 0. a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b 并确定等号成立的条件。 (a ? b)( a ? c) (b ? c)(b ? d ) (c ? d )(c ? a) (d ? a)( d ? b) 证明:设 A ? ,B ? ,C ? ,D ? . a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b

( a ? c) 2 (a ? c)( a ? 2b ? c) 则 2 A ? A'? A" ,其中 A' ? ,类似有 , A" ? a?b?c a?b?c

2B ? B'? B",2C ? C '?C",2D ? D'? D".设 S ? a ? b ? c ? d , 则 A, B, C, D 的分母分别为 S ? d , S ? a, S ? b, S ? c. 由柯西不等式
? S ? c)2 S ?d S ?a S ?b S ?c (a ? c) 2 (b ? d ) 2 (c ? a ) 2 (d ? b) 2 ?[ ? ? ? ] ? (4S ? a ? b ? c ? d ) ? 3S ( A'? B'?C '? D' ) S ?d S ?a S ?b S ?c (
2 故, A'? B'?C '? D' ? (2 | a ? c | ?2 | b ? d |) ? 16 | a ? c | ? | b ? d | . (1) 3S 3S (a ? c)( a ? c ? 2b) (c ? a )(c ? a ? 2d ) (a ? c)( a ? c ? 2b)( S ? b) ? (c ? a)(c ? a ? 2d )( S ? d ) A"?C" ? ? ? S ?d S ?b ( S ? b)( S ? d ) 而 (a ? c)[ ?2b( S ? b) ? b(a ? c) ? 2d ( S ? d ) ? d (a ? c)] 3(a ? c)( d ? b)( a ? c) ? ? . S (a ? c) ? bd M

| a?c|

? S ?d ?

|b?d |

? S ?a ?

|c?a|

? S ?b ?

| d ?b |

3(b ? d )( a ? c)(b ? d ) 其中 N ? S (b ? d ) ? ac. N b?d a?c 3(a ? c)(b ? d )W 故 A"? B"?C"? D" ? 3(a ? c)(b ? d )( (2) ? )? . N M MN 其中 W ? (b ? d )M ? (a ? c) N ? (b ? d )bd ? (a ? c)ac. 2 又 MN ? S (a ? c)(b ? d ) ? S (a ? c)ac ? s(b ? d )bd ? abcd ? S[( a ? c)ac ? (b ? d )bd ] ?| W | S . 3| a ?c |?|b ? d | 从而由(2)可得 | A"? B"?C"? D"|? , S
其中 M ? S (a ? c) ? bd. 同理 B"?C" ?

2( A ? B ? C ? D) ? ( A'? B'?C '? D' ) ? ( A"? B"?C"? D" ) ?
结合 (1) 可得

16 | a ? c | ? | b ? d | 3 | a ? c | ? | b ? d | ? 3S S

?

7| a ?c |?|b?d | ? 0. 3(a ? b ? c ? d )

因此原不等式成立,且等号成立的条件为 a ? c, b ? d . 例 28.求函数 y ?

x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值。

解(1) :函数的定义域为 [0,13] ,因为

y?

x ? 27 ? 13 ? x ? x ?

x ? 27 ? 13 ? 2 x(13 ? x) ? 27 ? 13 ? 3 3 ? 13 . 当 x ? 0 时等号成

立,故 y 的最小值为 3 3 ? 13 .

1 1 又由柯西不等式得 y 2 ? ( x ? x ? 27 ? 13 ? x ) 2 ? ( ? 1 ? )[ 2 x ? ( x ? 27 ) ? 3(13 ? x)] ? 121, 2 3

所以 y ? 11. 由柯西不等式等号成立的条件,得 4 x ? 9(13 ? x) ? x ? 27 ,解得 x ? 9. 故上述不等式在

x ? 9 时等号成立,所以 y 的最大值为 11。
(2) 函数的定义域为 [0,13] , 因为 y ' ?

1 1 ( ? 2 x

1 x ? 27

?

1 13 ? x

)(观察知 y ' 为减函数且 x ? 9 时 y '? 0 )

所以 x ? 9 时 y 取到最大值为 11。比较 x ? 0,13 时 y 的值知 x ? 0 时 y 取到最小值为 3 3 ? 13 . 例 29. 求证不等式: ? 1 ? (

?k
k ?1

n

2

k 1 ) ? ln n ? . 2 ?1

证明(1) :首先证一个不等式

x ? ln x ? x , 1? x

x ? 0. (1)
x 对 h( x), g ( x) 分别求导数可知 h( x), g ( x) 在 1? x

事实上,令 h( x) ? x ? ln(1 ? x),

g ( x) ? l n 1 ? x) ? (

x ? 0 为增函数,即得 x ? 0 时 h( x) ? h(0) ? 0, g ( x) ? g (0) ? 0 即得证(1)式。
1 在(1)式中令 x ? 得 n xn ? xn?1 ?
2
n k 1 1 1 1 ? ln, 则 x1 ? . ? l n 1 ? ) ? . (2)令 x n ? ? 2 ( n ?1 n n 2 k ?1 k ? 1

n 1 n 1 1 ? ln(1 ? )? 2 ? ? 0. 因此 xn ? xn?1 ? ...... ? x1 ? . 又因为: n ?1 n ?1 n 2 n ?1

n ?1 1 ln ? ln ? ln(n ? 1) ? ln(n ? 1) ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 2) ? ...... ? ln 2 ? ln ? ln 1 ? ? ln(1 ? ). k k ?1

xn ? ?
从而
n ?1

n ?1 n ?1 k 1 k 1 n ? ? ln(1 ? ) ? ? [ 2 ? ln(1 ? )] ? 2 2 k k n ?1 k ?1 k ? 1 k ?1 k ?1 k ? 1 n

n ?1 n ?1 k 1 1 1 1 ? ?( 2 ? ) ? ?? 2 ? ?? ? ?1 ? ? ?1. k n k ?1 k ? 1 k ?1 ( k ? 1) k k ?1 ( k ? 1) k
2

即结论得证。

例 30.设 a ? b ? c 是直角三角形的三边长,求最大常数 K ,使得 a (b ? c) ? b (c ? a) ? c (a ? b) ? Kabc 对于所有的直角三角形都成立。 解:当 a ? b 时,即 ?ABC 为等腰直角三角形时,原不等式为 2a 2 (a ? 2a) ? 2a 2 (a ? a) ? Ka ? a ? 2a ,得 K ? 2 ? 3 2. 2 2 2 从而猜测 K 的最大值为 2 ? 3 2 ,下证 a (b ? c) ? b (c ? a) ? c (a ? b) ? (2 ? 3 2 )abc 事实上,可设 c ? 1 , a ? sin ? , b ? cos? ,则
2 2

a 2 (b ? c) ? b 2 (c ? a) ? c 2 (a ? b) ? sin 2 ? (1 ? cos? ) ? cos2 ? (1 ? sin ? ) ? sin ? ? cos? ? 1 ? (sin ? ? cos? )(sin ? cos? ? 1)
1 令 t ? sin ? cos? ,则 t ? (0, ], 所以 2

1 ? (sin ? ? cos? )(sin ? cos? ? 1) ? 1 ? 2 t (t ? 1) ? 1 ? 2 2t (t ? 1)
1 2 2 2 ) ? 2 2t ? 2(1 ? )t ? 2 2t ? 2 2t ? 2(1 ? )t (0 ? t ? , ? 2t ? t ) 结论得证。 2 2 2 2 ? (2 ? 3 2 )t ? (2 ? 3 2 ) sin ? cos? ? (2 ? 3 2 )abc.

? (2 2t 2 ?

(一)

数论初步

初等数论也叫做整数论,其研究对象是整数,由于其形式简单,所用知识不难理解,因而常常出现在 数学竞赛中.数学竞赛中的数论问题主要涉及奇数和偶数,约数与倍数,素数与合数,平方数、整除、同 余、不定方程、数论函数[x]和欧拉函数、数的非十进制等.处理竞赛中的数论问题要求熟悉基本知识,灵 活地运用一些常用技巧.在本讲中,如没有特别说明,所用的字母均表示整数. 1.整除 设 a、b 是两个整数,b≠0,则一定有且仅有两个整数 q 和 r,使得 a=bq+r(0≤r<|b|)成立,其中 q 叫 做商,r 叫做余数.当 r=0 时,称 b 整除 a(或 a 能被 b 整除),记作 b|a.此时 a 叫 b 的倍数,b 叫 a 的约数 (因数). 设 n 是正整数, k 是不小于 2 的整数,则存在惟一的一组小于 k 的非负整数 a1 , a2 ,?, am ,且 a1 > 0 , 使得 n = a1k m- 1 + a2 k m- 2 + ? + am- 1k + am ,这就是 n 的 k 进制表示. 设 a、b 是两个不全为 0 的整数,若整数 d 既能整除 a 又能整除 b,则称 d 是 a、b 的公约数,a、b 的 公约数中的最大者称为 a、b 的最大公约数,记为(a,b).若(a,b)=1,则称 a、b 是互素(互质)的. 设 a、b 是两个都不为 0 的整数,若 m 是 a 的倍数,同时又是 b 的倍数,则称 m 是 a、b 的公倍数,a、 b 的公倍数中最小的正数称为 a、b 的最小公倍数,记为[a,b]. 对任意的正整数 a、b 有:(a,b) [a,b]=ab. 对非零整数 a、b、c、m、n,有以下性质: (1) 若 c | b, b | a ,则 c | a ; (2) 若 b | a ,则 bm | am ; (3) 若 c | a, c | b ,则 c | ma + nb ; (4) 若 (a, b) = 1 ,且 a | bc ,则 a | c ; (5) 若 (a, b) = 1 ,且 a | c, b | c ,则 ab | c . 2.同余 设 m 是一个不小于 2 的正整数,且 m | a - b ,则称 a, b 对模 m 同余,记作 a ? b(mod m) . 设 a, b, c, d , m 是整数,且 m> 0 ,则 (1)若 a ? b(mod m) ,且 b ? c(mod m) ,则 a ? c(mod m) ; (2)若 a ? b(mod m) ,且 b ? c(mod m) ,则 a ? c ? b ? d (mod m) 且 ac ? bd (mod m) ; (3)若 a ? b(mod m) ,且正整数 c 满足 c | (a, b, m) ,则

a b m ? (mod ). . c c c

3.素数与合数 若一个大于 1 的整数除了 1 和本身外再无其它的正约数,则称这个数为素数(质数) . 每一个大于 1 的整数都可分解成素数的乘积,而且不计因数的顺序时,这种表示是惟一的,即
? ? ? n ? p1 1 ? p 2 2 ...... p n n . .

正整数 n 的素数分解式为 n ? p1 1 ? p 2 2 ...... p n n . ,则 n 的正约数的个数为

?

?

?

d (n) ? (?1 ? 1)(? 2 ? 1)......( ? n ? 1) ,
? ? ? 2 2 2 n 的所有正约数的和为 (1 ? p1 ? p1 ? ... ? p1 1 )(1 ? p 2 ? p 2 ? ... ? p 2 2 )...(1 ? p k ? p k ? ... ? p k k ).

每连续 n 个整数中,与 n 互质的整数的个数是 ? (n) ? n(1 ?

1 1 1 )(1 ? )......(1 ? ) . p1 p2 pk

4.不定方程 若 ( x0 , y0 ) 是方程 ax + by = c 的一个正整数解,则方程的一切整数解可以表示为

? x ? x 0 ? bt, (t ? Z ) ? ? y ? y 0 ? at.
方程 x 2 + y 2 = z 2 满足 ( x, y) = 1 且 y 是偶数的一切正整数解为 x = a 2 - b2 , y = 2ab, z = a 2 + b2 (这里 . (a, b) = 1 , a, b 一奇一偶,且 a > b ) 例 1. (2008 年全国数学高中联赛试题) 求满足下列关系式组

? x2 ? y 2 ? 2z 2 , ? ? z ? y ? z ? 50,
的正整数解组 ( x, y, z ) 的个数. 分析:此问题是二次不定方程,且有约束条件,因此要进行适当的转化求解。 [解] 令 r ? y ? z ,由条件知 0 ? r ? 50 ,方程化为

x 2 ? ( z ? r )2 ? 2 z 2 ,即 x 2 ? 2 zr ? r 2 ? z 2 .
因 y ? z ? r ? 0 ,故 z ? x ? y ? z ? x ,从而 z ? x .
2 2 2 2 2

(1)

设 p ? z ? x ? 0 .因此(1)化为

?2 zp ? p 2 ? 2 zr ? r 2 ? 0 .
下分 r 为奇偶讨论, (ⅰ)当 r 为奇数时,由(2)知 p 为奇数. 令 r ? 2r1 ? 1 , p ? 2 p1 ? 1 ,代入(2)得

(2)

2( p12 ? p1 ? zp1 ? zr1 ? r12 ? r1 ) ? 1 ? 0 .

(3)

(3)式明显无整数解.故当 r 为奇数时,原方程无正整数解. (ⅱ)当 r 为偶数时,设 r ? 2r1 ,由方程(2)知 p 也为偶数.从而可设 p ? 2 p1 ,代入(2)化简得

p12 ? zp1 ? zr1 ? r12 ? 0 .

(4)

由 ( 4 ) 式 有 z ( p1 ? r1 ) ? p12 ? r12 ? 0 , 故 p1 ? r1 , 从 而 可 设 p1 ? r1 ? a , 则 ( 4 ) 可 化 为

(r1 ? a) 2 ? za ? r12 ? 0 , 2r12 ? 2ar1 ? za ? a 2 ? 0 .
因z? (5)

2r12 ? 2r1 ? a 为整数,故 a 2r12 . a

又 z ? z ? x ? 2 p1 ? 2(r1 ? a) ,因此

(r1 ? a)2 ? r12 ? za ? 2(r1 ? a)a ,得 a 2 ? 2r12 ,

a ? 2r1 .
因此,对给定的 r1 ? 1, 2, ???, 25 ,解的个数恰是满足条件 a ?

2r1 的 2r12 的正因数 a 的个数 N (r1 ) .因

2r12 不是完全平方数,从而 N (r1 ) 为 2r12 的正因数的个数 ? (2r12 ) 的一半.即 N (r1 ) ? ? (2r12 ) / 2 .
由题设条件, 1 ? r1 ? 25 .而 25 以内有质数 9 个:2,3,5,7,11,13,17,19,23.将 25 以内的数分为以下八组: :

A1 ? {20 , 21 , 22 , 23 , 24 } ,

A2 ? {2 ? 3, 2 ? 5, 2 ? 7, 2 ?11} ,
A3 ? {22 ? 3, 22 ? 5} , A4 ? {23 ? 3} , A5 ? {2 ? 32 } ,

B1 ? {3,5, 7,11,13,17,19, 23} ,
B2 ? {32 ,52 } ,

B3 ? {3 ? 5,3 ? 7} ,
从而易知

N ( A1 ) ? N (20 ) ? N (21 ) ? N (22 ) ? N (23 ) ? N (24 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 15 ,

N ( A2 ) ? N (2 ? 3) ? 4 ? 6 ? 4 ? 24
( N (r1 ) ? ? (2r12 ) / 2 ,所以 N (2 ? 3) ? 数个数计算公式)

1 1 4?3 ? (2 ? (2 ? 3) 2 ) ? ? (2 3 ? 32 ) ? ? 6.) (利用前面所讲的约 2 2 2

1 1 6?3 N ( A3 ) ? 9 ? 2 ? 18 , ( N (2 2 ? 3) ? ? (2 ? (2 2 ? 3) 2 ) ? ? (2 5 ? 32 ) ? ? 9.) 2 2 2
N ( A4 ) ? 12 , N ( A5 ) ? 10 ,
N ( B1 ) ? 3 ? 8 ? 24 , N ( B2 ) ? 5 ? 2 ? 10 , N ( B3 ) ? 9 ? 2 ? 18 ,
将以上数相加,共 131 个.因此解的个数共 131. 例 2. (2006 年女子数学奥林匹克试题)求证:对 i = 1,2,3 , 均有无穷多个正整数 n , 使得 n, n + 2, n + 28 中恰有 i 个可表示为 3 个正整数的立方和.

分析 首先,本题实际上是要证明 3 个命题.其次,我们对整数被 3 除的余数进行分析,从而对任一整 数的立方被 9 除的余数就有一个定论,再就每一命题构造出使命题成立的 n . 解 每一整数可表示为 3k ,3k ± 1 的形式,而 (3k ) ? 0(mod 9), (3k ? 1) ? 1, 或 ? 1(mod 9) ,于上任
3 3

一整数的立方模 9 为 0 或± 1,从而三个整数的立方和被 9 除的余数不能为 4 或 5. 当 i = 1 时,令 n ? 3(3m ? 1) ? 2 . (m ? 0) 显然,这样的正整数 n 有无穷多个, n ? 4(mod 9) ,
3

n ? 28 ? 5(mod 9) ,于是 n, n + 28 均不能表示成三个整数的立方和,而 n + 2 是三个相同正整数 3m ? 1 的
立方和. 当 i = 2 时, n ? (3m ? 1) ? 222 (m ? 0) ,显然,这样的正整数 n 有无穷多个, n ? 5(mod 9) 不是
3

三个整数的立方和,且 n ? 2 ? (3m ? 1) ? 2 ? 6 , n ? 28 ? (3m ? 1) ? 5 ? 5 .
3 3 3 3 3 3

当 i = 3 时, n = 216m3 (m > 0) ,显然,这样的正整数 n 有无穷多个, 且 n = (3m)3 + (4m)3 + (5m)3 ,

n + 2 = (6m)3 + 13 + 13 , n + 28 = (6m)3 + 13 + 33 .
例 3:求方程 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1 的所有非负整数解 ( x, y, z, w)
x y z w

解: 由于 5 ? 7 ? 1 为偶数,所以 x ? 1 。
z w

情形 1:若 y ? 0 ,此时原方程变为 2 ? 5 ? 7 ? 1
x z w

若 z ? 0, 则 2 ? 1(mod 5)
x x

由此可得, 4 | x (事实上 2 ? 2,2 ? 4,2 ? 8,2 ? 16,...)
1 2 3 4

因此 3 | (2 ? 1) 这与 2 ? 5 ? 7 ? 1 矛盾。 2 ? 1 ? 5 ? 7 不能被 3 整除) (
x z w x z w

若 z ? 0, 则 2 ? 7 ? 1
x w

当 x ? 1,2,3 时,直接计算可得 ( x, w) ? (1,0), (3,1) (两组解)
w 当 x ? 4 时,有 7 ? (?1)(mod 16) ,直接计算知不可能(因为 7 ? ? (mod 16 ) )

w

?1 ?7

所以 当 y ? 0 时,全部的非负整数解为 ( x, y, z, w) ? (1,0,0,0), (3,0,0,1) 两组解。 情形 2:若 y ? 0, x ? 1 则 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1.
y z w

因此 ? 5 ? 7 ? 1(mod 3) 因为 5 ? (?1) (mod 3), 7 ? 1 (mod 3) 则知 z 为奇数,则
z w z z w w

2 ? 3 y ? 1(mod 5) 所以 3 y ? 3(mod 5) 计算知

y ? 1(mod 4) (31 ? 3(mod 5),32 ? 4(mod 5),33 ? 2(mod 5),34 ? 1(mod 5),..... )
当 w ? 0 时,有 2 ? 3 ? 1(mod 7) 则 3 ? 4(mod 7) 因此得 y ? 4(mod 6), 此与 y ? 1(mod 4) 矛
y y

盾,所以 w ? 0, 于是 2 ? 3 y ? 5 z ? 1 当 y ? 1 时, z ? 1, 当 y ? 2时 9 | 2?3
y

故 5 ? ?1(mod 9) 因此 z ? 3(mod 6) (5 ? 5(mod 9), (**)
z 1

5 2 ? 7(mod 9), 53 ? ?1(mod 9)...... )
(因为 z ? 6k ? 3 ,则

5z ? 1 ? 125 ? z 6 k ? 1 ? 125 ? (125)2 k ? 1 ? (?1) ? (?1)2 k ? 1 ? 0(mod 126 ). )
因此 5 ? 1 | 5 ? 1 ,而 7 | 5 ? 1 ,则 7 | 5 ? 1 ,这与 2 ? 3 ? 5 ? 1 矛盾。
3 z 3 z

y

z

故此种情况的整数解为 ( x, y, z, w) ? (1,1,1,0). 情形 3:若 y ? 0, x ? 2 此时 5 ? 7 ? (?1)(mod 4). 则有 (?1) ? (?1)(mod 4)
z w w

又 y ? 0 ,则 5 ? 7 ? (?1)(mod 3).
z w

则有 (?1) ? (?1)(mod 3)
z

所以 z, w 都是奇数,从而

2 x ? 3 y ? 5 z ? 7 w ? 1 ? 35 ? 1 ? 4(mod 8)
所以 x ? 2 ,原方程变为

4 ? 3 y ? 5 z ? 7 w ? 1 (其中 z, w 都是奇数) 由此知 4 ? 3 y ? 1(mod 5), 4 ? 3 y ? 1(mod 7),
从而 3 ? 4(mod 5) , 3 ? 2(mod 7) (直接计算得) y ? 2(mod 12)
y y

设 y ? 12m ? 2
z w

(m ? 0)
y 6 m ?1

于是 5 ? 7 ? 4 ? 3 ? 1 ? (2 ? 3 因为 2 ? 3 又 2?3
6 m ?1

? 1)( 2 ? 36 m?1 ? 1)

? 1 ? 6 ? 2 3m ? 1 ? 6 ? 1 ? 0(mod 7).

6 m ?1

? 1 与 2 ? 36 m?1 ? 1互质,所以 5 | 2 ? 36 m ?1 ? 1 ? 1 ? 5 z , 2 ? 36m?1 ? 1 ? 7 w
z

于是 2 ? 3

6 m?1

若 m ? 1 则有 5 ? (?1)(mod 9) (类似于情形 2 中(**)式得矛盾)即不可能, 则 m ? 0 ,即 y ? 2, z ? 1, w ? 1 故此时有解 ( x, y, z, w) ? (2,2,1,1) 综上所述原方程有 4 组整数解 (1,0,0,0), (3,0,0,1), (1,1,1,0), (2,2,1,1).

杂题 设 P( x) ? ( x ? 1) ( x ? 3) ? x ? a1 x
p q n n ?1

? a 2 x n ?2 ? ...... ? a n ?1 x ? a n ,其中 p, q 是正整数。

(1)若 a1 ? a2 ,证明: 3n 是完全平方数; (2)证明:存在无穷多个正整数组成的数对 ( p, q) ,使得多项式 P (x) 满足 a1 ? a2 。 证明: (1)比较多项式

( x ? 1) p ( x ? 3) q ? x n ? a1 x n?1 ? a 2 x n?2 ? ...... ? a n?1 x ? a n
得 n ? p ? q, 所以

( x ? 1) p ( x ? 3) q ? ( x p ? px p ?1 ?

p( p ? 1) p ? 2 9q(q ? 1) q ? 2 x ? ......) ? ( x q ? 3qx q ?1 ? x ? ......) 2 2 p( p ? 1) 9q(q ? 1) n ? 2 ? x n ? ( p ? 3q) x n ?1 ? ( ? 3 pq ? ) x ? ...... 2 2



a1 ? p ? 3q , a2 ?

p( p ? 1) 9q(q ? 1) 。 ? 3 pq ? 2 2

由 a1 ? a2 得 2( p ? 3q) ? p( p ? 1) ? 6 pq ? 9q(q ? 1) , 即 2( p ? 3q) ? ( p ? 6 pq ? 9q ) ? p ? 9q.
2 2

于是 ( p ? 3q) ? 3( p ? q) ? 3n
2

所以, 3n 是完全平方数。 (2)因为 a1 ? a2 ,等价于 ( p ? 3q) ? 3( p ? q) ,即
2

p 2 ? (6q ? 3) p ? 9q 2 ? 3q ? 0
所以,只需证明上述方程有无穷多组正整数解即可。 事实上,由于

? ? [?(6q ? 3)] 2 ? 4(9q 2 ? 3q) ? 48q ? 9 ,
所以,当 48 q ? 9 是一个完全平方数,且 p ?
2

6q ? 3 ? ? 是正整数就得上述不定方程的解。 2

设 48q ? 9 ? 9(8k ? 1) , k 为任意正整数,则

q ? 12 k 2 ? 3k , p ? 36k 2 ? 21k ? 3.
所以存在无穷多个正整数组成的数对 ( p, q) ,使得多项式 P (x) 满足 a1 ? a2 。


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