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第二轮第18讲 平面向量与解析几何


第18讲

平面向量与解析几何

在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知 识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析 几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。著名教育 家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的

重复将会引起学生大脑疲劳,学习 兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思 路,减轻负担。

一、知识整合
平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物 理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份” ,能融数形与一 体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。而在高中数学体系中,解 析几何占有着很重要的地位,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形 与数的转化,则会大大简化过程。

二、例题解析
例 1、 (2000 年全国高考题)椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F 1 , F 2 ,点 P 为其上的动点,当∠F 1 P 9 4

F 2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范围是___。 解:F1(- 5 ,0)F2( 5 ,0),设 P(3cos ? ,2sin ? )

? ?F1 PF 2 为钝角
∴ PF ? PF2 ? ? 5 ? 3cos? , ?2sin? ) ? ( 5 ? 3cos? , ?2sin? ) ( 1
2 2 2 =9cos ? -5+4sin ? =5 cos ? -1<0

???? ???? ?

解得: ?

5 5 ? cos? ? 5 5

∴点 P 横坐标的取值范围是( ?

3 5 3 5 , ) 5 5

点评:解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为 向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了。
2 2 例 2、已知定点 A(-1,0)和 B(1,0),P 是圆(x-3) +(y-4) =4 上的一动点,求 PA ? PB 的最

2

2

大值和最小值。 分析: 因为 O 为 AB 的中点, 所以 PA ? PB ? 2PO, 故可利用向量把问题转化为求向量 OP 的最值。

??? ??? ? ?

???? ?

??? ?

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解:设已知圆的圆心为 C,由已知可得: OA ? {?1,0}, OB ? {1,0}

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?OA ? OB ? 0, OA ? OB ? ?1又由中点公式得 PA ? PB ? 2PO
所以 PA ? PB ? ( PA ? PB) ? 2PA ? PB
2

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

= (2PO)2 ? 2(OA ? OP) ? (OB ? OP) = 4 PO ? 2OA ? OB ? 2 OP ? 2OP ? (OA ? OB) = 2 OP ? 2 又因为 OC ? {3, 4} 点 P 在圆(x-3) +(y-4) =4 上,
2 2

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

y P C

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? 2 ?

??? ?

A

o B

x

??? ??? ??? ? ? ? ???? ??? ? 所以 OC ? 5, CP ? 2, 且 OP ? OC ? CP
所以 OC ? CP ? OP ? OC ? CP ? OC ? CP 即 3 ? OP ? 7
2 2

????

??? ?

??? ?

???? ??? ?

????

??? ?

??? ?

故 20 ? PA ? PB ? 2 OP ? 2 ? 100

??? 2 ?

??? 2 ?

??? 2 ?

所以 PA ? PB 的最大值为 100,最小值为 20。 点评:有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现,但如果运用向量知识来解决, 也会显得自然、简便,而且易入手。 例 3、 (2003 年天津高考题)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( (A)外心

AB | AB |

?

AC | AC |

) , ? ? ?0 , ?? ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) +
(C)重心 (D)垂心

(B)内心

??? ? ???? ??? ???? ? AB AC ? 分析:因为 ??? 、???? 分别是与AB、 同向的单位向量,由向量加法的平行四边形则知 AC | AB | | AC | ??? ? ???? AB AC ??? ? ???? 是 与 ∠ ABC 的 角 平 分 线 ( 射 线 ) 同 向 的 一 个 向 量 , 又 ? | AB | | AC | ??? ? ???? ??? ??? ??? ? ? ? AB AC OP ? OA ? AP ? ? ( ??? ? ???? ) ,知 P 点的轨迹是∠ABC 的角平分线,从而点 P 的轨迹一定通过 ? AB AC
△ABC 的内心。 反思:根据本题的结论,我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤;
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(1) 由顶点坐标(含线段端点)或直线方程求得角两边的方向向量 v1、 ; v2

?? ?? ?

?? ? v 1 (2) 求出角平分线的方向向量 v ? ?? ? v1

?? ? v2 ?? ? v2

(3) 由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程:过 P( x0 , y0 ) ,其方向

x ? x0 y ? y0 ? } a b ? ? ? ? 例 4、 (2003 年天津)已知常数 a ? 0 ,向量 c ? (0, a),? (1,0) ,经过原点 O 以 c ? ? i 为方向 i
向量为 v(a, b) ,其方程为 向量的直线与经过定点 A(0, a) 以 i ? 2? c 为方向向量的直线相交于点 P ,其中 ? ? R .试问:是否 存在两个定点 E、F ,使得 PE ? PF 为定值,若存在,求出 E、F 的坐标; 若不存在, 说明理由. (本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定 曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.) 解:根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点 P 到 两定点距离的和为定值. ∵ c ? (0, a),? (1,0) , ∴ c ? ? i =(λ ,a) i ? 2? c =(1,-2λ a). , i 因此,直线 OP 和 AP 的方程分别为
?y ? ax 和 y ? a ? ?2?ax .

?

?

?

??? ?

??? ?

?

?

?

?

?

?

消去参数λ ,得点 P( x, y) 的坐标满足方程 y( y ? a) ? ?2a 2 x 2 .
a ( y ? )2 2 ? 1. ??① a 2 ( ) 2

整理得

x2 ? 1 8

因为 a ? 0, 所以得:

(i)当 a ?

2 时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F; 2

(ii)当 0 ? a ? 2 时,方程①表示椭圆,焦点 E ( 1 1 ? a 2 , a ) 和 F (? 1 1 ? a 2 , a ) 为合乎题意 2 2 2 2 2 2 2 的两个定点; (iii)当 a ? 2 时,方程①也表示椭圆,焦点 E (0, 1 (a ? a 2 ? 1 )) 和 F (0, 1 (a ? a 2 ? 1 )) 为合 2 2 2 2 2 乎题意的两个定点. 点评:本题以平面向量为载体,考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程 的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景,我们不难看到,本题即为

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下题: 在△OAP 中,(0, 、(0, 为两个定点, O 0) A a) 另两边 OP 与 AP 的斜率分别是

a

?

(? ? 0), ?2? a ,

求 P 的轨迹。 而课本上有一道习题(数学第二册(上)第 96 页练习题 4) : 三角形 ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别是(-6,0)(6,0) 、 ,边 AC、BC 所在直线的斜率之 积等于 ?

4 ,求顶点 C 的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。 9

例 5. (2004 年天津卷理 22)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) ( c ? 0 )的准线 l 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点. (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程; (3)设 AP ? ? AQ ( ? ? 1 ) ,过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M,证明

FM ? ?? FQ .
分析:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,平面向量的计算,曲线和方 程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力. (1)解:由题意,可设椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 2 ) . 2 a2

?a 2 ? c 2 ? 2, ? 由已知得 ? 解得 a ? 6 , c ? 2 a2 c ? 2( ? c). ? c ?
所以椭圆的方程为

x2 y2 6 ? ? 1 ,离心率 e ? . 6 2 3

(2)解:由(1)可得 A(3,0). 设直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 3) .由方程组

? x2 y2 ? 1, ? ? 2 ?6 ? y ? k ( x ? 3) ?
2

得 (3k ? 1) x ? 18k x ? 27k ? 6 ? 0
2 2 2 2

依题意 ? ? 12(2 ? 3k ) ? 0 ,得 ?

6 6 ?k? . 3 3

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18k 2 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? , 3k 2 ? 1
由直线 PQ 的方程得 y1 ? k ( x1 ? 3),

27k 2 ? 6 ① x1 x 2 ? . 3k 2 ? 1



y2 ? k ( x2 ? 3) .于是


y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] .
∵ OP ? OQ ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 . 由①②③④得 5k ? 1 ,从而 k ? ?
2



5 6 ? (? , 5 3

6 ). 3

所以直线 PQ 的方程为 x ? 5 y ? 3 ? 0 或 x ? 5 y ? 3 ? 0 (2)证明: AP ? ( x1 ? 3, y1 ), AQ ? ( x2 ? 3, y2 ) .由已知得方程组

? x1 ? 3 ? ? ( x 2 ? 3), ? y ? ?y , 2 ? 1 2 2 ? x1 y1 5? ? 1 注意 ? ? 1 ,解得 x 2 ? ? ? ? 1, 2? 2 ?6 2 2 ?x y ? 2 ? 2 ? 1. 2 ?6
因 F (2, 0), M ( x1 , ? y1 ) ,故

1? ? ? ?1 , ? y1 ) ? ?? ( , y2 ) . FM ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? (?( x2 ? 3) ? 1, ? y1 ) ? ( 2 2? ? ?1 , y 2 ) ,所以 FM ? ?? FQ . 而 FQ ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ? ( 2?

三、总结提炼
由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份” ,使向量与解析几何之间有着密切联系,而 新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查,这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中, 应抓住时机,有效地渗透向量有关知识,树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材,在教学中 从推导有关公式、定理,例题讲解入手,让学生去品位、去领悟,在公式、定理的探索、形成中 逐渐体会向量的工具性,逐渐形成应用向量的意识,在教学中还应注重引导学生善于运用一些问 题的结论,加以引申,使之成为解题方法,体会向量解题的优越性,在教学中还应注重引导学生 善于运用向量方法解题,逐步树立运用向量知识解题的意识。

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