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高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)9 直线、圆、圆锥曲线 理


各地解析分类汇编:直线、圆、圆锥曲线
1. 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 理 】 已 知 两 条 直 线 y ? ax ? 2 和

3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于(
A.1 或-3 【答案】A B.-1 或 3 C.1 或 3

) D.-1 或 3

【解析】 因为直线 y ? ax ? 2 的斜率存在且为 a , 所以 ?(a ? 2) ? 0 , 所以 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 的斜截式方程为 y ?

3 1 3 1 x? ?a且 ? ?2 ,解得 ,因为两直线平行,所以 a?2 a?2 a?2 a?2

a ? ?1 或 a ? 3 ,选 A.
2. 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 理 】 已 知 P ( x,y) 是 直 线

kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA,PB 是圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线,A、B 是切点,
若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( A.3 【答案】D
2 2 【解析】由圆的方程得 x ? ( y ?1) ? 1 ,所以圆心为 (0,1) ,半径为 r ? 1 ,四边形的面积

) D.2

B.

21 2

C. 2 2

S ? 2S? PBC , 所 以 若 四 边 形 PACB 的 最 小 面 积 是 2 , 所 以 S? PBC 的 最 小 值 为 1 , 而
S ? P B C? 1 r P B, 即 PB 的最 小值为 2, 此时 PC 最 小为 圆心 到直线 的距 离,此时 2

d?

5 k ?1
2

? 12 ? 22 ? 5 , 即 k 2 ? 4 , 因 为 k ? 0 , 所 以 k ? 2 , 选

D.

3.【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】一已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线

x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? 的值为
A.

4 5

B.

4 3

C.

3 4

D.

2 3

【答案】B 【 解 析 】 直 线 的 斜 率 为

1 1 , 即 直 线 l 的 斜 率 为 k ? tan ? ? , 所 以 2 2

1 2? 2 t a n ? 4 2 ? ? 1 ,选 B. t a n 2 ?? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 )2 3 3 2 4
4. 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】 (本小题满分 12 分) 已知长方形 ABCD,

AB ? 2 2 ,BC=1。以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 xoy.
(Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得弦 MN 为 直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。

【答案】解: (Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 (? 2,, 2,, 2, . 0) ( 0) ( 1 )

设椭圆的标准方程是 则

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0). a 2 b2

2a ? AC ? BC ? ( 2 ? (? 2 )) 2 ? (1 ? 0) 2 ? ( 2 ? 2 ) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 4 ? 2 2 ,? a ? 2
2分

?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 .
x2 y2 ∴椭圆的标准方程是 ? ? 1 . ????????4 分 4 2

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2(k ? 0) .??5 分 设 M,N 两点的坐标分别为 ( x1, y1 ), ( x2 , y2 ) . 联立方程: ?

? y ? kx ? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 4

消去 y 整理得, (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 4 ? 0 有 x1 ? x2 ? ?

8k 4 , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

??????7 分

若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,????8 分 所以, x1x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 , 即 1 ? k 2 ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 (

4(1 ? k 2 ) 16k 2 ? ?4?0 所以, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2


8 ? 4k 2 ?0, 1 ? 2k 2

????????9 分

得 k 2 ? 2, k ? ? 2 .

????????10 分

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 .??????11 分 所在存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点。?12 分

圆锥曲线

1【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线 为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为( ) A.

x2 y2 ? ?1 16 12

B.

x2 y2 ? ?1 12 8

C.

x2 y2 ? ?1 8 4

D.

x2 y2 ? ?1 12 4

【答案】C 【解析】因为椭圆的焦距是 4,所以 2c ? 4, c ? 2 又准线为 x ? ?4 ,所以焦点在 x 轴且

?
C.

a2 x2 y2 ? ?4 ,解得 a 2 ? 8 ,所以 b2 ? a 2 ? c2 ? 8 ? 4 ? 4 ,所以椭圆的方程为 ? ? 1 ,选 8 4 c

2【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】已知抛物线方程为 y 2 ? 4 x ,直线 l 的方 程为 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1 ,P 到直线 l 的距离为 d2 , 则 d 2 ? d 2 的最小值 ( )

A.

5 2 ?2 2

B.

5 2 ?1 2

C.

5 2 ?2 2

D.

5 2 ?1 2

【答案】D 【解析】因为抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,所以焦点坐标 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 。因为点 P 到 y 轴 的 距 离 为 d1 , 所 以 到 准 线 的 距 离 为 d1 ? 1 , 又 d1 ? 1 ? P F, 所 以

d1 ? d2 ? d1 1 ? d2 1? ?

?P F ?2d ? 1 ,焦点到直线的距离 d ?

1? 0 ? 4 2

?

5 5 2 ,而 ? 2 2

PF ? d 2 ? d ?

5 2 5 2 ,所以 d1 ? d 2 ? PF ? d2 ? 1 ? ? 1 ,选 D. 2 2

3【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科】若在曲线 f(x,y)=0 上两个 不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,y)=0 的“自公切线”。下列方程: ① x ? y ? 1;② y ? x ? | x | ,③ y ? 3sin x ? 4cos x ;④ | x | ?1 ?
2 2 2

4 ? y 2 对应的曲

线中存在“自公切线”的有 ( A.①② 【答案】B 【解析】画图可知选 B. ①x ﹣y =1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;
2 2

) C.①④ D.③④

B.②③

② y ? x ?| x|=
2

,在 x=

和 x=﹣

处的切线都是 y=﹣ ,故②有自公

切线.

③ y ? 3sin x ? 4cos x =5sin(x+φ ) ,cosφ = ,sinφ = ,此函数是周期函数,过图象的最 高点的切线都重合,故此函数有自公切线. ④由于 | x | ?1 ? 故答案为 B. 4 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 理 】 已 知 点 F , F2 分 别 是 双 曲 线 1

4 ? y 2 ,即 x2+2|x|+y2﹣3=0,结合图象可得,此曲线没有自公切线.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两 a 2 b2
点,若 ?ABF2 是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( A. ( 2 ?1, ??) 【答案】C B. ( 3 ? 1, ??) C. (1 ? 2, ??) )

D. (1,1 ? 2)

b2 ? 2c , 【解析】 由题设条件可知△ABC 为等腰三角形,只要∠AF2B 为钝角即可,所以有 a
即 b ? 2ac ,所以 c ? a ? 2ac ,解得 e ? 1 ? 2 ,选 C.
2 2 2

5【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】在抛物线 y ? x 2 ? ax ? 5(a ? 0) 上取横坐标为

x1 ? ?4, x2 ? 2 的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆

5x 2 ? 5 y 2 ? 36 相切,则抛物线顶点的坐标为(
A. (?2,?9) 【答案】A B. (0,?5)

) C. (2,?9) D. (1,?6)

【解析】解:两点坐标为 (?4,11 ? 4a),(2, 2a ? 1) ,两点连线的斜率 k= 对于 y ? x 2 ? ax ? 5(a ? 0) , y ' ? 2 x ? a , ∴2x+a=a﹣2 解得 x=﹣1 在抛物线上的切点为 (?1, ?a ? 4) ,切线方程为 (a ? 2) x ? y ? 6=0 直线与圆相切,圆心(0,0)到直线的距离=圆半径,即

解得 a=4 或 0(0 舍去) ,所以抛物线方程为 y ? x ? 4x ? 5 顶点坐标为 (?2,?9) ,故选 A.
2

6 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2

两条渐近线均与 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切,则该双曲线离心率等于

A.

3 5 5

B.

6 2

C.

3 2

D.

5 5

【答案】A 【解析】圆的标准方程为 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 ,所以圆心坐标为 C (3, 0) ,半径 r ? 2 ,双曲线的 渐近线为 y ? ?

b b x ,不妨取 y ? x ,即 bx ? ay ? 0 ,因为渐近线与圆相切,所以圆心 a a

到 直 线 的 距 离 d?

3b a ?b
2 2

( ) ? 2 , 即 9b2 ? 4 a2? b2 , 所 以 5b2 ? 4a 2 ,

b2 ?

4 2 9 9 3 5 a ? c 2 ? a 2 ,即 a 2 ? c 2 ,所以 e2 ? , e ? ,选 A. 5 5 5 5

7【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

右焦点分别为 F1 ? c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存在点 P 使 ( 圆的离心率的取值范围为( )

a c ,则该椭 ? sin ?PF F2 sin ?PF2 F1 1

) A.(0, 2 ? 1
【答案】D 【解析】 根据正弦定理得

B.(

2 ,) 1 2

C.(0,

2 ) 2

D.( 2 ? 1 ,1)

PF2 sin ?PF1F2

?

PF1 sin ?PF2 F1


, 所以由

a c 可得 ? sin ?PF F2 sin ?PF2 F1 1

a c ? PF2 PF1





PF1 PF2
2

?

c ?e a





PF1 ? e PF2



又 ,

a F ? c ? ePF2 ? a ? c a (不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为 0,无意义)所以 a ? c ? 2a ? a ? c ,即 e ?1 P
1

? F

2

P? F

? e

P (

2

? 1 F

, PF ? 2a , 即 因为 2

)2P ?F e ? 1 P 2 ?

2 ? ?(1 ? e)(1 ? e) ?2 ?1 ? e ? 2 c 2 c ,所以 2 ,所以 ? ,解 1? ? ? 1? 1? e ? ? 1 ? e ,即 ? 2 ? 2 ? 1? e a e ?1 a e ?1 ?2 ? (1 ? e) ?

得 2 ? 1 ? e ? 1 ,即 ( 2 ?1,1) ,选 D.

8【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的 a 2 b2

左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 ?F PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为 1 ( ) A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

【答案】B 【解析】由题意知点 P 的坐标为(-c,

b2 b2 ),或(-c,) ,因为 ?F PF2 ? 60? ,那么 1 a a

2c 3 ? 3 ? 2ac ? 3b 2 ,这样根据 a,b,c 的关系式化简得到结论为 ,选 B 2 b 3 a
9【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理) 】设 F 、 F2 分别为双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、 右焦点. 若在双曲线右支上存在点 P , 满足 PF2 ? F F2 , 1 a 2 b2
且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为 A. 3x ? 4 y ? 0 【答案】D 【解析】依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形 PF2 F 是一个等腰三角形,F2 在直线 PF1 的投影是其 1 中点,由勾股定理知可知 PF1 ? 2 4c ? 4a ? 4b ,根据双曲定义可知 4b﹣2c=2a,整理得
2 2

B. 3x ? 5 y ? 0

C. 5x ? 4 y ? 0

D. 4 x ? 3 y ? 0

c=2b﹣a,代入 c =a +b 整理得 3b ﹣4ab=0,求得 = ∴双曲线渐进线方程为 y ? ?

2

2

2

2

4 x ,即 4 x ? 3 y ? 0 。故选 D. 3

10 【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学 (理) 椭圆 】

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 , 9 2

点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 , ?F PF2 的小大为 1 【答案】 120
?



x2 y 2 ? ?1 2 【解析】椭圆 9 的 a 2 ? 9, a ? 3 , b2 ? 2, c2 ? a2 ? b2 ? 7 ,所以 c ? 7 。因为

PF1 ? 4 , 所 以
2

PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 , 所 以
2 2

PF2 ? 6 ? ? 4

。 所 以 2

PF1 ? PF1 ? F1 F2 cos F1 PF2 ? 2 PF1 PF2

?

42 ? 22 ? (2 7) 2 1 ? ? ,所以 ?F1PF2 ? 120? 。 2? 4? 2 2

11 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】 若焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? ?1的 2 m

1 ,则 m = 2 3 【答案】 2
离心率为

.

【解析】因为焦点在 x 轴上。所以 0 ? m ? 2 ,所以 a2 ? 2, b2 ? m, c2 ? a2 ? b2 ? 2 ? m 。椭 圆的离心率为 e ?

1 3 1 c2 2 ? m 2 ,所以 e ? ? 2 ? ,解得 m ? 。 2 2 4 a 2
2

12【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的动点, 点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是(4,a) ,则当 | a |? 4 时, | PA | ? | PM | 的最 小值是 【答案】 a2 ? 9 ?1 【解析】当 x ? 4 时, y 2 ? 4 ? 4 ? 16 ,所以 y ? ?4 ,即 y ? 4 ,因为 | a |? 4 ,所以点 A 在 。

抛物线的外侧,延长 PM 交直线 x ? ?1 ,

由抛物线的定

义可知 PN ? PM ?1 ? PF ,当,三点 A, P, F 共线时, | PA | ? | PF |最小,此时为

| PA | ? | PF |? AF ,又焦点坐标为 F (1, 0) ,所以 AF ? (4 ? 1)2 ? a2 ? 9 ? a2 ,即 PM ? 1 ? PA 的最小值为 a2 ? 9 ,所以 PM ? PA 的最小值为 a2 ? 9 ?1。
13【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】过椭圆左焦点 F ,倾斜角为 圆于 A , B 两点,若 FA ? 2 FB ,则椭圆的离心率为

? 的直线交椭 3

2 【答案】 3

【解析】如图

,设椭圆的左准线为 l,过 A 点作 AC⊥l 于 C,

过点 B 作 BD⊥l 于 D,再过 B 点作 BG⊥AC 于 G, 直角△ABG 中,∠BAG=60°,所以 AB=2AG,?① 由圆锥曲线统一定义得: ∵FA=2FB, ∴AC=2BD ?② ,

直角梯形 ABDC 中,AG=AC﹣BD= ①、②比较,可得 AB=AC,

又∵

∴ ,

2 故所求的离心率为 3 .

14【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科】如图 4,椭圆的中心在坐标原 点, 为左焦点, B 分别为长轴和短轴上的一个顶点, FB⊥AB 时, F A, 当 此类椭圆称为“黄 金椭圆”. 类比“黄金椭圆”, 可推出“焚金双曲线”的离心率为 。

【答案】

1? 5 2 1? 5 , 2

【解析】 由图知,a ? c)2 ? (b2 ? c2 ) ? c2 , 整理得 c 2 ? ac ? a 2 ? 0 , e2 ? e ? 1 ? 0 , 即 解得 e ? ( 故e ?
1? 5 . 2

15.【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理)(本小题满分 14 分) 】 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦 2 a b 3

点构成的三角形的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

5 2 . 3

(Ⅱ)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. ①若线段 AB 中点的横坐 标为 ?

???? ???? 1 7 ,求斜率 k 的值;②若点 M ( ? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 2 3

x2 y 2 c 6 【答案】 (Ⅰ) 解: 因为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b2 ? c 2 , ? , ???? a b a 3
2分

x2 y2 5 1 5 2 2 2 ? ? 1 ?????4 分 。解得 a ? 5, b ? ,则椭圆方程为 ? b ? 2c ? 5 3 5 2 3 3
(Ⅱ) (1)将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 y2 ? ? 1 中得 5 5 3

(1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 ????????????????????6 分 ? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0
x1 ? x2 ? ? 6k 2 ???????????????? ???????7 分 3k 2 ? 1

6k 2 1 1 3 ? ? ,解得 k ? ? 因为 AB 中点的横坐标为 ? ,所以 ? 2 ????9 分 2 3k ? 1 2 3
(2)由(1)知 x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

所以 MA ? MB ? ( x1 ?

???? ????

7 7 7 7 , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ?????11 分 3 3 3 3

7 7 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 3 3 7 49 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k 2 ???????????????12 分 3 9

? (1 ? k 2 )

3k 2 ? 5 7 6k 2 49 ? ( ? k 2 )(? 2 ) ? ? k 2 2 3k ? 1 3 3k ? 1 9

16.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】 (本题 12 分)如图所示,已知椭圆 C1 和抛 物线 C 2 有公共焦点 F (1,0) , C1 的中心和 C 2 的顶点都在坐标原点,过点 M (4,0) 的直线 l 与抛 物线 C 2 分别相交于 A, B 两点

(1)写出抛物线 C 2 的标准方程;

(2)若 AM ?

1 MB ,求直线 l 的方程; 2

(3)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C 2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭圆

C1 的长轴长的最小值.

【答案】解: (1)

(2)设

(3)

椭圆设为

消元整

17. 云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】本小题满分 12 分) 【 ( 已知椭圆

x2 y2 ? ?1 4 9 ???? ? ???? ? 上任一点 P,由点 P 向 x 轴作垂线段 PQ,垂足为 Q,点 M 在 PQ 上,且 PM ? 2MQ ,点 M
的轨迹为 C.

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 D(0,-2)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 N 是过点 (0, ?

4 ) 且平行于 17

,问是否存在这样的直线 l, 使 x 轴的直线上一动点,满足 ON ? OA ? OB (O 为原点) 得四边形 OANB 为矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在说明理由 【 答 案 】

????

??? ??? ? ?

因为 ON ? OA ? OB ,所以四边形 OANB 为平行四边形, 假设存在矩形 OANB,则 OA ? OB ? 0 即 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,
2 所以 (1 ? k ) ?

12 16 k ? 2k ? ? 4 ? 0,即k 2 ? 4, k ? ?2 , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k

????10

分 设 N(x0,y0) ,由 ON ? OA ? OB ,得

y 0 ? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ?

4 16k 2 ?4 4 , ?4? ? ? ,即 N 点在直线 y ? ? 2 2 17 17 1 ? 4k 1 ? 4k

所以存在四边形 OANB 为矩形,直线 l 的方程为 y ? ?2 x ? 2 18.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科】 (本小题满分 12 分) 设抛物线 C 的方程为 x =4y,M 为直线 l:y=-m(m>0)上任意一点,过点 M 作抛物线 C 的两 条切线 MA,MB,切点分别为 A,B. (Ⅰ)当 M 的坐标为(0,-l)时,求过 M,A,B 三点的圆的标准方程,并判断直线 l 与此圆的位置关系;
2

(Ⅱ)当 m 变化时,试探究直线 l 上是否存在点 M,使 MA ⊥MB?若存在,有几个这样的 点,若不存在,请说明理由, 【答案】解: (Ⅰ)当 M 的坐标为 (0 ,? 1) 时, 设过 M 点的切线方程为 y ? kx ? 1 ,代入 x2 ? 4 y ,整理得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,① 令 ? ? (4k )2 ? 4 ? 4 ? 0 ,解得 k ? ?1 ,
1) 1) 代入方程①得 x ? ?2 ,故得 A(2 , , B(?2 , .

因为 M 到 AB 的中点(0,1)的距离为 2, 从而过 M ,A ,B 三点的圆的标准方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 4 . 易知此圆与直线 l:y=-1 相切. ?????????????????????(6 分) (Ⅱ)设切点分别为 A( x1 ,y1 ) 、 B( x2 ,y2 ) ,直线 l 上的点为 M ( x0 ,y0 ) , 过抛物线上点 A( x1 ,y1 ) 的切线方程为 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ,因为 x12 ? 4 y1 , k ? x1 ,
2

从而过抛物线上点 A( x1 ,y1 ) 的切线方程为 y ? y1 ? 所以得 y0 ?
x1 x2 x0 ? 1 ,即 x12 ? 2 x0 x1 ? 4 y0 ? 0 . 2 4

x1 ( x ? x1 ) ,又切线过点 M ( x0 ,y0 ) , 2

2 同理可得过点 B( x2 ,y2 ) 的切线方程为 x2 ? 2 x0 x2 ? 4 y0 ? 0 ,?????????(8 分)

因为 k MA ?

x1 x2 , k MB ? 且 x1 ,x2 是方程 x2 ? 2x0 x ? 4 y0 ? 0 的两实根, 2 2

? x1 ? x2 ? 2 x0 , 从而, ? ? x1 x2 ? 4 y0 ,

所以 k MA ? k MB ?

x1 x2 ? ? y0 , 2 2

当 y0 ? ?1 ,即 m ? 1 时, 直线 l 上任意一点 M 均有 MA⊥MB,???????????????????(10 分) 当 y0 ? ?1 ,即 m≠1 时,MA 与 MB 不垂直. 综上所述,当 m =1 时,直线 l 上存在无穷多个点 M,使 MA⊥MB,当 m≠1 时,直线 l 上不存在满足条件的点 M.???????????????????????(12 分) 19.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】 (本小题满分 12 分)

如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x =4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 【答案】 (I)由 ?

2

?y ? x ?b ?x ? 4 y
2

2 得 x ? 4 x ? 4b ? 0

(? )

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4)2 ? 4 ? (?4b) ? 0 ,解得 b ? ?1 ??????4 分
2 (II)由(I)可知 b ? ?1 ,故方程( ? )即为 x ? 4 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 ,将其代入 x2 ? 4 y ,

得 y=1,故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的 距离等于圆 A 的半径 r,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ???..12 分


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