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1.3算法案例(1课时)


1.3 算法案例

教学目标
? 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数 学原理,并能根据这些原理进行算法分析; ? 2.能根据算法语句与程序框图的知识设计完 整的程序框图并写出算法程序. ? 教学重点 :理解辗转相除法与更相减损术求 最大公约数的方法 ? 教学难点 :转相除法与更相减损术的方法转 换成程序框图与程序语言。

复习引入
1. 回顾算法的三种表示方法: (1)、自然语言 (2)、程序框图 (三种逻辑结构) (3)、程序语言 (五种基本语句)

2. 思 考1:
小学学过的求两个数的最大公约数的方法?

先用两个数公有的质因数 连续去除,一直除到所得的商 是互质数为止,然后把所有的 除数连乘起来.

例1、求两个正整数的最大公约数 (1)求25和35的最大公约数 (2)求49和63的最大公约数

( 1) 5

25 5

35 7

( 2) 7

49 7

63 9

所以,25和35的最大公约数为5

所以,49和63的最大公约数为7

例2、(1) 求204与85的最大公约数
(2) 求8251和6105的最大公约数

新课讲解: 一、辗转相除法(欧几里得算法)

1、定义:
所谓辗转相除法,就是对于给定的 两个数,用较大的数除以较小的数。若 余数不为零,则将余数和较小的数构成 新的一对数,继续上面的除法,直到大 数被小数除尽,则这时较小的数就是原 来两个数的最大公约数。

例1 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约 数的过程
第一步 用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数 8251=6105×1+2146
结论: 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数,求8251和 6105的最大公约数,只要求出6105和2146的公约数就可以了。

第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。

完整的过程
8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333

例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然45是90和45的最大公约数,也就是 225和135的最大公约数 思考1:从上面的两个例子可以看出计 算的规律是什么?

1813=333×5+148 333=148×2+37
148=37×4+0 显然37是148和37的最大公约 数,也就是8251和6105的最 大公约数

S1:用大数除以小数
S2:除数变成被除数,余数变成除数 S3:重复S1,直到余数为0

思考2:辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构?
辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构?辗转相除法是一个反复 执行直到余数等于0停止的步骤,这实际上是一个循环结构。 用程序框图表示出右边的过程

m=n×q+r
8251=6105×1+2146

r=m MOD n m=n

6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0

n=r
r=0? 是 否

(2)算法步骤
第一步:输入两个正整数m,n(m>n). 第二步:计算m除以n所得的余数r. 第三步:m=n,n=r. 第四步:若r=0,则m,n的最大公约数等于m; 否则转到第二步.

第五步:输出最大公约数m.

辗转相除除法的程序框图与程序

开始
输入m,n

程序框图

程序:
INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END

求m除以n的余数r m=n

n=r
r=0?
是 输出m 结束 否

思考:
你能用当型循环结构构造算法,求 两个正整数的最大公约数吗?写出算法 步骤、程序框图和程序。

开始
输入m,n

n=r
m=n 求m除以n的余数r n>0? 否 输出m 结束



INPUT m,n WHILE n>0 r=m MODn m=n n=r WEND PRINT m END

〖课堂练习〗

用辗转相除法求下列各组数的最大公约数,并编写程序。 (1)225;135 (3)72;168 (2)98;196 (4)153;119

辗转相除法(欧几里得算法)算理 所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数, 用较大的数除以较小的数。若余数不为零,则 将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面 的除法,直到大数被小数除尽,即:除到余数 为零结束,则这时较小的数就是原来两个数的 最大公约数.

二、更相减损术
算理:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,
以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。

步骤
第一步:任意给顶两个正整数;判断他们是否都是偶数,若 是,则用2约简;若不是则执行第二步。 第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小

的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直
到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所 求的最大公约数。

例3 用更相减损术求98与63的最大公约数。
解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减, 即:98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以,98与63的最大公约数是7。
练习:用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。 (答案:12)

2、更相减损术 (1)算理:所谓更相减损术,就是对于给 定的两个数,用较大的数减去较小的数,然 后将差和较小的数构成新的一对数,再用较 大的数减去较小的数,反复执行此步骤直到 差数和较小的数相等,此时相等的两数便为 原来两个数的最大公约数。

(2)算法步骤
第一步:输入两个正整数a,b(a>b);

第二步:若a不等于b ,则执行第三步;否则转 到第五步; 第三步:把a-b的差赋予r;
第四步:如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否 则把r赋给a,执行第二步; 第五步:输出最大公约数b.

(3)程序框图 (4)程序
INPUT “a,b=“;a,b WHILE a<>b r=a-b IF b>r THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END

开始
输入a,b a≠b? 是 r=a-b a=r 否 r<b? 是 a=b b=r 否

输出b
结束

练 习:
1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数.

思路分析:先约简,再求21与18的最大公 约数,然后乘以两次约简的质因数4。
2、求324、243、135这三个数的最大公约数。

思路分析:求三个数的最大公约数可以先求出 两个数的最大公约数,第三个数与前两个数的 最大公约数的最大公约数即为所求。

小结

比较辗转相除法与更相减损术的区别
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除

法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数

上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字
大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果 是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与 差相等而得到

小结
1.辗转相除法,就是对于给定的两个正整数,用较 大的数除以较小的数,若余数不为零,则将余数和较小 的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小 数除尽为止,这时的较小的数即为原来两个数的最大公 约数. 2. 更相减损术,就是对于给定的两个正整数,用 较大的数减去较小的数,然后将差和较小的数构成新的 一对数,继续上面的减法,直到差和较小的数相等,此 时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.


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