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福建省泉州市晋江市季延中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年福建省泉州市晋江市季延中学高一(上)期中数学 试卷
一.选择题(本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分. ) 1. ( 5 分)设集合 U={0,1,2,3,4,5},集合 M={0,3,5},N={1,4,5},则 M∩(?UN) =() A.{5} B.{0,3} C.{0,2,3,5} D.{0,1,3,4,5} 2. (5 分

)下列各组函数中,表示同一个函数的是() A.y= C. y= 与 y=x+1 ﹣1 与 y=x﹣1 B. y=lgx 与 y= lgx
x 2

D.y=x 与 y=logaa (a>0 且 a≠1)

3. (5 分)函数 y= A.(1, ) B.[1, )

的定义域为() C.(1,2] D.(1,2)

4. (5 分)下列图象表示的函数能用二分法求零点的是()

A.

B.

C.

D. 5. (5 分)函数 y=loga(x﹣1) (0<a<1)的图象大致是()

A.

B.
2

C.

D.

6. (5 分)函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 的递减区间为(﹣∞,4) ,则()

A.a≤﹣3

B.a≤3

C . a≤ 5

D.a=﹣3

7. (5 分)如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时 f(x)=﹣x+1,则当 x<0 时,f(x) 的表达式为() A.f(x)=﹣x+1 B.f(x)=﹣x﹣1 C.f(x)=x+1 D.f(x)=x﹣1 9. (5 分)函数 y=loga(x﹣1)+2 的图象过定点() A.(3,2) B.(2,1) C.(2,2)

D.(2,0)

10. (5 分)某商品零售价今年比去年上涨 25%,欲控制明年比去年只上涨 10%,则明年比今 年降价() A.15% B.10% C.12% D.50% 11. (5 分)下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是() A.y=2 B.y=( )
1﹣x

C.y=

D.y=

12. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log A.[1,2] a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围是() B. C. D.(0,2]

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. ) 6 0.7 13. (4 分)用“<”从小到大排列三个数 0.7 ,6 ,log0.76 的大小关系为. 14. (4 分)已知函数 f(x)=ax +bx﹣2,若 f=10,则 f(﹣2014)的值为.
3

15. (4 分)已知函数 f(n)=

,则 f(3)的值是.

16. (4 分) 已知函数 ( f x) 满足: 对任意实数 x1<x2, 有( f x1) >( f x2) , 且( f x1﹣x2) =



写出一个满足条件的函数,则这个函数可以写为 f(x)=. (注:只需写出一个满足条件的函 数即可)

三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)计算: (1) (2) . ;

18. (12 分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已建的 仓库的底面直径为 12m,高 4m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有 两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4m(高不变) ;二是高度增加 4m(底面直径 不变) (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些? 19. (12 分)已知函数 f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3) (0<a<1) (1)求函数 f(x)的定义域; (2)求函数 f(x)的零点; (3)若函数 f(x)的最小值为﹣4,求 a 的值. 20. (12 分)函数 f(x)= 是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,且 f( )= .

(1)求实数 a、b,并确定函数 f(x)的解析式; (2)判断 f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论. 21. (12 分)如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm) . (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法) ; (2)求这个几何体的表面积及体积.

22. (14 分)已知函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 x,y∈[﹣1,1], x+y≠0 有(x+y)?[f(x)+f(y)]>0. (1)判断 f(x)的单调性,并加以证明; (2)解不等式
2



(3)若 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立.求实数 m 的取值范围.

2014-2015 学年福建省泉州市晋江市季延中学高一(上) 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分. ) 1. (5 分)设集合 U={0,1,2,3,4,5},集合 M={0,3,5},N={1,4,5},则 M∩(?UN) =() A.{5} B.{0,3} C.{0,2,3,5} D.{0,1,3,4,5} 考点: 补集及其运算;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 先根据全集 U 和集合 N,求出集合 N 的补集,然后求出集合 N 的补集与集合 M 的 交集即可. 解答: 解:∵全集 U={0,1,2,3,4,5},N={1,4,5}, ∴?UN={0,2,3},又集合 M={0,3,5}, 则 M∩(?UN)={0,3}. 故选 B. 点评: 此题考查了补集及交集的混合运算,其中集合 A 在全集 R 的补集为在集合 R 中不属 于集合 A 的元素组成的集合; 集合 A 与集合 BA 的交集为既属于集合 A 又属于集合 B 的元素 组成的集合,掌握补集及交集的意义是解本题的关键. 2. (5 分)下列各组函数中,表示同一个函数的是()

A.y= C. y=

与 y=x+1 ﹣1 与 y=x﹣1

B. y=lgx 与 y= lgx
x

2

D.y=x 与 y=logaa (a>0 且 a≠1)

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的定义域相同,对应关系也相同,这样的两个函数是同一函数,进行判断 即可. 解答: 解:对于 A,y= 数; 对于 B,y=lgx(x>0) ,与 y= lgx =lg|x|(x≠0)的定义域不同,对应关系也不同,不是同一 函数; 对于 C,y= ﹣1=x﹣1(x≥0) ,与 y=x﹣1(x∈R)的定义域不同,不是同一函数;
x 2

=x+1(x≠1) ,与 y=x+1(x∈R)的定义域不同,不是同一函

对于 D,y=x(x∈R) ,与 y=logaa =x(x∈R)的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数. 故选:D. 点评: 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,解题时应判断它们的定义域是否 相同,对应关系是否也相同,是基础题. 3. (5 分)函数 y= A.(1, ) B.[1, ) 的定义域为() C.(1,2] D.(1,2)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 y 的解析式,二次根式的被开方数大于或等于 0,列出不等式,再利用对数 函数的真数大于 0,求出 x 的取值范围. 解答: 解:∵函数 y= , ∴ (x﹣1)≥0,

即 0<x﹣1≤1; 解得 1<x≤2, ∴函数 y 的定义域为(1,2]. 故选:C. 点评: 本题考查了求函数定义域的问题,解题时应求出使函数的解析式有意义的自变量的 取值范围,是基础题目. 4. (5 分)下列图象表示的函数能用二分法求零点的是()

A.

B.

C.

D. 考点: 二分法的定义. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数只有满足在零点两侧的函数值异号时,才可用二分法求函数 f(x)的零点, 结合所给的图象可得结论. 解答: 解:由函数图象可得,A 中的函数没有零点,故不能用二分法求零点,故排除 A. B 和 D 中的函数有零点,但函数在零点附近两侧的符号相同,故不能用二分法求零点,故排 除. 只有 C 中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反,故能用二分法求函数的零点, 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的零点的定义,用二分法求函数的零点的方法,属于基础题. 5. (5 分)函数 y=loga(x﹣1) (0<a<1)的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 作图题;运动思想. 分析: 根据 0<a<1,判断出函数的单调性,即 y=logax 在(0,+∞)上单调递减,故排除 C,D,而函数 y=loga(x﹣1)的图象是由 y=logax 的图象向右平移一个单位得到,得到答案. 解答: 解:∵0<a<1, ∴y=logax 在(0,+∞)上单调递减, 又∵函数 y=loga(x﹣1)的图象是由 y=logax 的图象向右平移一个单位得到, 故选 A. 点评: 此题是个基础题.考查对数函数的图象和性质以及函数图象的平移变换,有效考查 了学生对基础知识、基本技能的掌握程度. 6. (5 分)函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 的递减区间为(﹣∞,4) ,则() A.a≤﹣3 B.a≤3 C . a≤ 5 D.a=﹣3
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 的递减区间为(﹣∞,
2 2

) ,进而可得 a 值.

解答: 解:∵函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 的图象是开口朝上,且以直线 x= 为对称轴的抛物线, 故函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 的递减区间为(﹣∞, 又∵函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 的递减区间为(﹣∞,4) , ∴ =4,
2 2

) ,

解得:a=﹣3, 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解 答的关键. 7. (5 分)如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图知几何体的直观图是半个圆锥,再根据其中正视图是腰长为 2 的等腰三角 形,我们易得圆锥的底面直径为 2,母线为为 2,故圆锥的底面半径为 1,高为 ,代入圆锥 体积公式即可得到答案. 解答: 解:由三视图知几何体的直观图是半个圆锥, 又∵正视图是腰长为 2 的等腰三角形 ∴r=1,h= ∴

故选:D. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据三视图判断出几何的形状及相关几 何量(底面半径,高等)的大小是解答的关键. 8. (5 分)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时 f(x)=﹣x+1,则当 x<0 时,f(x) 的表达式为() A.f(x)=﹣x+1 B.f(x)=﹣x﹣1 C.f(x)=x+1 D.f(x)=x﹣1 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 转化思想. 分析: 根据函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时 f(x)=﹣x+1,要求 x<0 时,f (x)的表达式,转化到 x>0 时求解. 解答: 解:当 x<0 时,则﹣x>0 ∵x>0 时 f(x)=﹣x+1, ∴f(﹣x)=﹣(﹣x)+1=x+1, ∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x﹣1 故选 B. 点评: 考查利用函数的奇偶性求函数的解析式问题,一般方法是把要求区间上的问题转化 为已知区间上来解决,体现了转化的数学思想,属基础题. 9. (5 分)函数 y=loga(x﹣1)+2 的图象过定点() A.(3,2) B.(2,1) C.(2,2)

D.(2,0)

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题考查对数函数图象的性质,由对数函数恒过定点(1,0) ,再根据函数平移变换 的公式,结合平移向量公式即可得到到正确结论. 解答: 解:由函数图象的平移公式,我们可得: 将函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象向右平移一个单位,再向上平移 2 个单位, 即可得到函数 y=loga(x﹣1)+2(a>0,a≠1)的图象. 又∵函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象恒过(1,0)点, 由平移向量公式,易得函数 y=loga(x﹣1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过(2,2)点, 故选 C. 点评: 本题考查对数函数的单调性与特殊点,函数 y=loga(x+m)+n(a>0,a≠1)的图象 x+m 恒过(1﹣m,n)点;函数 y=a +n(a>0,a≠1)的图象恒过(﹣m,1+n)点; 10. (5 分)某商品零售价今年比去年上涨 25%,欲控制明年比去年只上涨 10%,则明年比今 年降价() A.15% B.10% C.12% D.50% 考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设明年比今年降价 x%,依题意得(1+25%) (1﹣x%)=1+10%,解出即可.

解答: 解:设明年比今年降价 x%,依题意得(1+25%) (1﹣x%)=1+10%, 解得 x=12, 故选:C. 点评: 本题考查了列方程解应用题,属于基础题. 11. (5 分)下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是() A.y=2 B.y=( )
1﹣x

C.y=

D.y=

考点: 函数的值域. 分析: 对四个选项的函数的值域依次求一下即可. 解答: 解:∵ ≠0,∴2 函数 y=( )
2 1﹣x

≠1∴函数 y=2

的值域为(0,1)∪(1,+∞) ,故 A 不正确;

的值域为(0,+∞) ,故 B 正确; 的值域为[0,+∞) ,故 C 不正确; 的值域为[0,1) ,故 D 不正确.

∵( ) ﹣1≥0,∴函数 y= ∵0≤1﹣2 <1,∴函数 y=
x

故选 B. 点评: 本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、反 函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、单调 性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题意选择. 12. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log A.[1,2] a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围是() B. C. D.(0,2]

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的定义将所给的式子化为:f(|log2a|)≤f(1) ,再利用偶函数的单调性列 出关于 a 的不等式求解. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ , ∴ 可变为 f(log2a)≤f(1) ,

即 f(|log2a|)≤f(1) , 又∵在区间[0,+∞)上单调递增,且 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ ,即 ,

解得 ≤a≤2, 故选:C. 点评: 本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用,易错处是忽略定义域内的单调性不 同,即对称区间单调性相反,注意自变量的取值范围,考查了学生的转化能力. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. ) 13. (4 分) 用“<”从小到大排列三个数 0.7 , 6 , log0.76 的大小关系为
6 0.7

. .

考点: 专题: 分析: 解答: 而

对数值大小的比较. 计算题;函数的性质及应用. 根据对数函数,指数函数的性质进行判断即可. 6 0 0.7 解:∵0<0.7 <0.7 <1<6 , <0, .

故答案为:

点评: 本题考查了对数函数,指数函数的性质,是一道基础题. 14. (4 分)已知函数 f(x)=ax +bx﹣2,若 f=10,则 f(﹣2014)的值为﹣14. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将 f 表示出来,注意必要化简,然后将 f(﹣2014)表示出来,联系与 f 的关系, 整体代入即可. 3 解答: 解:由已知得 f=a×2014 +b×2014﹣2=10, 3 所以 a×2014 +b×2014=12. 3 则 f(﹣2014)=a×(﹣2014) ﹣b×(﹣2014)﹣2 3 =﹣(a×2014 +b×2014)﹣2=﹣14. 故答案为﹣14. 点评: 本题考查了利用函数的奇偶性求函数值的方法,注意整体代换思想.
3

15. (4 分)已知函数 f(n)=

,则 f(3)的值是 6.

考点: 函数迭代;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 利用分段函数解析式,逐步迭代,即可求得 f(3)的值 解答: 解:由题意,f(0)=1,f(1)=f(0)=1,f(2)=2f(1)=2,f(3)=3f(2)=6 故答案为:6 点评: 本题考查函数迭代,考查学生的计算能力,属于基础题.

16. (4 分) 已知函数 ( f x) 满足: 对任意实数 x1<x2, 有( f x1) >( f x2) , 且( f x1﹣x2) =



写出一个满足条件的函数,则这个函数可以写为 f(x)= 一指数函数均可) . (注:只需写出一个满足条件的函数即可)

(底数为 0 至 1 之间的任意

考点: 有理数指数幂的运算性质. 专题: 开放型. 分析: 对任意实数 x1<x2,有 f(x1)>f(x2) ,说明函数在 R 上是减函数.f(x1﹣x2) = ,根据指数幂的运算,得函数是指数函数,找同时满足两个条件的函数即可.

解答: 解:∵对任意实数 x1<x2,有 f(x1)>f(x2) ,∴f(x)是 R 上的减函数. ∵( f x1﹣x2) = ∴( f x) 是指数函数. 同时满足以上两个条件的函数比如: ( f x) =

验证:f(x1﹣x2)=

=

=

故答案为:

(底数为 0 至 1 之间的任意一指数函数均可)

点评: 本题考查了指数幂的运算及指数函数的性质. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)计算: (1) (2) . ;

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)把前两个括号内的数化为乘方的形式,化小数为分数,然后利用有理指数幂的 运算性质化简计算; (2)直接利用对数的运算性质及对数的换底公式化简求值. 解答: 解: (1)

=

= = ;

(2) = = = =1﹣ .

点评: 本题考查了有理指数幂的化简与求值,考查了对数的运算性质,是基础的计算题. 18. (12 分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已建的 仓库的底面直径为 12m,高 4m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有 两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4m(高不变) ;二是高度增加 4m(底面直径 不变) (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)根据方案一,则仓库的底面直径变成 16m,由圆锥的体积公式建立模型.根据 方案二,则仓库的高变成 8m,由圆锥的体积公式建立模型. (2)根据方案一,仓库的底面直径变成 16m,由表面积公式建立模型;根据方案二,则仓库 的高变成 8m,由表面积公式建立模型, (3)方案更经济些,在于容量大,用材少,即体积大,表面积小,所以比较 V2,V1,S2,S1 即可. 解答: 解: (1)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16m,则仓库的体积 (2 分) 如果按方案二,仓库的高变成 8m,则仓库的体积 (4 分)

(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16m,半径为 8m 棱锥的母线长为 l= 则仓库的表面积 S1=π×8×4 =32 如果按方案二,仓库的高变成 8m π(m ) (6 分)
2

棱锥的母线长为 l=
2

=10 则仓库的表面积

S2=π×6×10=60π(m ) (8 分) (3)∵V2>V1,S2<S1 ∴方案二比方案一更加经济(12 分) 点评: 本题主要考查函数模型的建立与应用,主要涉及了空间几何体的结构特征,圆锥的 体积公式,表面积公式和模型的比较. 19. (12 分)已知函数 f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3) (0<a<1) (1)求函数 f(x)的定义域; (2)求函数 f(x)的零点; (3)若函数 f(x)的最小值为﹣4,求 a 的值. 考点: 对数函数的值域与最值;对数函数的定义域;函数的零点. 专题: 综合题;配方法. 分析: (1)根据对数的真数大于零,列出不等式组并求出解集,函数的定义域用集合或区 间表示出来; (2)利用对数的运算性质对解析式进行化简,再由 f(x)=0,即﹣x ﹣2x+3=1,求此方程的 根并验证是否在函数的定义域内; (3)把函数解析式化简后,利用配方求真数在定义域内的范围,再根据对数函数在定义域内 递减,求出函数的最小值 loga4,得 loga4=﹣4 利用对数的定义求出 a 的值. 解答: 解: (1)要使函数有意义:则有 则函数的定义域为: (﹣3,1) (2)函数可化为 f(x)=loga(1﹣x) (x+3)=loga(﹣x ﹣2x+3) 2 由 f(x)=0,得﹣x ﹣2x+3=1, 即 x +2x﹣2=0, ∵ (3)函数可化为:
2 2 2

,解之得:﹣3<x<1,

,∴函数 f(x)的零点是
2 2

f(x)=loga(1﹣x) (x+3)=loga(﹣x ﹣2x+3)=loga[﹣(x+1) +4] 2 ∵﹣3<x<1,∴0<﹣(x+1) +4≤4, 2 ∵0<a<1,∴loga[﹣(x+1) +4]≥loga4, ﹣4 即 f(x)min=loga4,由 loga4=﹣4,得 a =4, ∴ 点评: 本题是关于对数函数的综合题,考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数 型的复合函数求最值,注意应在函数的定义域内求解. 20. (12 分)函数 f(x)= 是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,且 f( )= .

(1)求实数 a、b,并确定函数 f(x)的解析式; (2)判断 f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论.

考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数是奇函数,可得 f(0)=0,再根据 f( )= ,列出关于 a,b 的方程 组,求出即可得解析式; (2)用函数单调性定义证明,任取 x1,x2∈(﹣1,1) ,且 x1<x2,f(x1)﹣f(x2)作差与 0 比较,从而证明函数的单调性. 解答: 解: (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) 即 =﹣ ,﹣ax+b=﹣ax﹣b,

∴b=0, (或直接利用 f(0)=0,解得 b=0) . ∴f(x)= ∵f( )= , ,



解得 a=1,

∴f(x)= (2)f(x)在(﹣1,1)上是增函数. 证明如下:任取 x1,x2∈(﹣1,1) ,且 x1<x2, f(x1)﹣f(x2)= ∵﹣1<x1<x2<1, ∴﹣1<x1x2<1,x1﹣x20, , =

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在(﹣1,1)上是增函数. 点评: 本题考查了函数的解析式、函数的奇偶性的应用、函数的单调性的证明,函数单调 性的证明要注意作差后化简到能直接判断符号为止. 21. (12 分)如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm) . (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法) ; (2)求这个几何体的表面积及体积.

考点: 空间几何体的直观图;由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;作图题. 分析: (1)根据三视图的画出,进行复原画出几何体的图形即可. (2)几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q﹣A1D1P 的组合体,求出底面面积,然后 求出体积即可. 解答: 解: (1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q﹣A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= ,A1D1=AD=2, 可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 S=5×2 +2× =22+4
2

2×1+2×
2

×2

(cm ) ,
3

所求几何体的体积 V=2 + ×(

) ×2=10(cm ) .

2

3

点评: 本题考查三视图复原几何体,画出中逐步按照三视图的作法复原,考查空间想象能 力,逻辑推理能力,计算能力,转化思想,是中档题. 22. (14 分)已知函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 x,y∈[﹣1,1], x+y≠0 有(x+y)?[f(x)+f(y)]>0. (1)判断 f(x)的单调性,并加以证明; (2)解不等式
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(3)若 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立.求实数 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;综合题.

分析: (1)设 x1,x2∈[﹣1,1],且 x1<x2,则 x1﹣x2<0,利用 x,y∈[﹣1,1],x+y≠0 有 (x+y)?[f(x)+f(y)]>0,可得 f(x1)+f(﹣x2)<0,根据函数 f(x)是定义在[﹣1, 1]上的奇函数,即可得函数 f(x)在[﹣1,1]上单调增; (2)由(1)知, ,解之即可;
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(3)先确定函数 f(x)在[﹣1,1]上的最大值为 f(1)=1,将 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈[﹣ 2 1,1],a∈[﹣1,1]恒成立转化为:0≤m ﹣2am 对所有 a∈[﹣1,1]恒成立,从而可求实数 m 的 取值范围. 解答: 解: (1)函数 f(x)在[﹣1,1]上单调增,证明如下 由题意,设 x1,x2∈[﹣1,1],且 x1<x2 则 x1﹣x2<0 ∵x,y∈[﹣1,1],x+y≠0 有(x+y)?[f(x)+f(y)]>0. 令 x=x1,y=﹣x2, ∴f(x1)+f(﹣x2)<0 ∵函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数 ∴f(x1)﹣f(x2)<0 ∴函数 f(x)在[﹣1,1]上单调增; (2)由(1)知, ,解得:

(3)由于函数 f(x)在[﹣1,1]上单调增, ∴函数 f(x)在[﹣1,1]上的最大值为 f(1)=1 2 2 ∴f (x) ≤m ﹣2am+1 对所有 x∈[﹣1, 1], a∈[﹣1, 1]恒成立可转化为: 0≤m ﹣2am 对所有 a∈[﹣ 1,1]恒成立 ∴ ,

解得 m≥2 或 m≤﹣2 或 m=0 点评: 本题以抽象函数的性质为载体,考查函数的单调性,考查单调性与奇偶性的结合, 2 同时考查了恒成立问题,解题的关键是:f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1] 2 恒成立转化为:0≤m ﹣2am 对所有 a∈[﹣1,1]恒成立


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