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湖北省武汉外国语学校2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年湖北省武汉外国语学校高二(上)期末数学试卷 (文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知命题 P:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是正数,则下列命题中为真 命题的是( ) A. p q B.p∧q C. (¬ )∨ (¬p)∧(¬q) D. (¬p)∨(¬q) 2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石, 验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 3.“方程 表示双曲线”的一个充分不必要条件是( )

A.﹣2<m<﹣1 B.m<﹣2 或 m>﹣1 C.m<0 D.m>0 4.设 y∈R,则点 P(1,y,2)的集合为( ) A.垂直于 xOz 平面的一条直线 B.平行于 xOz 平面的一条直线; C.垂直于 y 轴的一个平面 D.平行于 y 轴的一个平面 5. 2, …, 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 6.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) .已 知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为( )

A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8 7.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表: x y 1 0 2 2 3 1 4 3 5 3 6 4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 = x+ 中的前两组数据(1,0)和(2,2)求 得的直线方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是( ) A. >b′, >a′ B. >b′, <a′ C. <b′, >a′ D. <b′, <a′ 8.将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m(m>0)个单 位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( ) A.对任意的 a,b,e1>e2 B.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 C.对任意的 a,b,e1<e2 D.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2

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9.某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所 示.以组距为 5 将数据分组成[0,5) ,[5,10) ,…,[30,35) ,[35,40]时,所作的频率分 布直方图是( )

A.

B.

C.

D.

10.总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个 体, 选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则 选出来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 11.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程 序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=( )

A.0

B.2

C.4

D.14

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12.椭圆 x2+

=1 短轴的左右两个端点分别为 A,B,直线 l 过定点(0,1)交椭圆于两点 )

C, D. CB 的斜率分别为 k1, k2, k2=2: 1, 设直线 AD, 若 k1: 则直线 l 斜率 k 的值为 ( A.k=2 B.k=3 C..k= 或 3 D.k=2 或

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若 干人组成研究小组,有关数据见表(单位:人) .则 x= ,y= ; 高校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 C 54 y C 抽取的人中选 2 人作专题发言, 若从高校 B, 则这 2 人都来自高校 C 的概率= . 14. 一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形内爬行, 某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过 1 的概率为 . 15.已知双曲线 C: ﹣ =1,若存在过右焦点 F 的直线与双曲线 C 相交于 A、B 两点,

且 =3 ,则双曲线 C 的离心率的最小值为 . 16.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 φ(x)组成的集合: 对于函数 φ(x) ,存在一个正数 M,使得函数 φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如, 3 当 φ1(x)=x ,φ2(x)=sinx 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x) ,g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B. ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ 其中的真命题有 (x>﹣2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B.

. (写出所有真命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 P:2x2﹣9x+a<0,q: 且?p 是?q 的充分条件,求实数 a 的取值范

围. 18.某学校共有高一、高二、高三学生 2000 名,各年级男、女人数如图:已知在全校学生 中随机抽取 1 名,抽取高二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 60 名学生,问应在高三年级抽取多少名? (3)已知 y≥245,z≥245,求高三年级中女生比男生多的概率.

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19.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(﹣1,f(﹣1) )处的 切线方程为 6x﹣y+7=0. (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)的单调区间. 20.已知圆 C1:x2+y2+6x﹣4=0,圆 C2:x2+y2+6y﹣28=0. (1)求过这两个圆交点的直线方程; (2)求过这两个圆交点并且圆心在直线 x﹣y﹣4=0 上的圆的方程. 21.我们把由半椭圆 (x≥0)与半椭圆 (x≤0)合成的曲线称作“果圆”,

其中 a2=b2+c2,a>0,b>c>0.如图,点 F0,F1,F2 是相应椭圆的焦点,A1,A2 和 B1, B2 分别是“果圆”与 x,y 轴的交点. (1)若△ F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)当|A1A2|>|B1B2|时,求 的取值范围.

22.已知函数 f(x)=(cosx﹣x) (π+2x)﹣ (sinx+1) g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣ 证明: (Ⅰ)存在唯一 x0∈(0, (Ⅱ)存在唯一 x1∈( ) ,使 f(x0)=0; )

,π) ,使 g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的 x0,有 x0+x1<π.

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2015-2016 学年湖北省武汉外国语学校高二(上)期末数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知命题 P:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是正数,则下列命题中为真 命题的是( ) A. B.p∧q C. (¬p)∨q (¬p)∧(¬q) D. (¬p)∨(¬q) 【考点】复合命题的真假. 【分析】由命题 P:所有有理数都是实数,是真命题,命题 q:正数的对数都是正数,是假 命题,知¬p 是假命题,¬q 是真命题,由此能求出结果. 【解答】解:∵命题 P:所有有理数都是实数,是真命题, 命题 q:正数的对数都是正数,是假命题, ∴¬p 是假命题,¬q 是真命题, ∴(¬p)∨q 是假命题,p∧q 是假命题, (¬p)∧(¬q)是假命题, (¬p)∨(¬q)是真命题, D 故选 . 2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石, 验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用. 【分析】根据 254 粒内夹谷 28 粒,可得比例,即可得出结论. 【解答】解:由题意,这批米内夹谷约为 1534× 故选:B. ≈169 石,

3.“方程

表示双曲线”的一个充分不必要条件是(



A.﹣2<m<﹣1 B.m<﹣2 或 m>﹣1 C.m<0 D.m>0 【考点】双曲线的标准方程;充要条件. 【分析】先计算方程表示双曲线的充要条件,再求出它的一个真子集即可. 【解答】解:若方程 ∴m<﹣2 或 m>﹣1 ∴要求“方程 集即可
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表示双曲线,则(2+m) (1+m)>0

表示双曲线”的一个充分不必要条件,则需要找出它的一个真子

∵m>0 时,m<﹣2 或 m>﹣1,结论成立,反之不成立 ∴“方程 故选 D. 4.设 y∈R,则点 P(1,y,2)的集合为( ) A.垂直于 xOz 平面的一条直线 B.平行于 xOz 平面的一条直线; C.垂直于 y 轴的一个平面 D.平行于 y 轴的一个平面 【考点】空间直线的向量参数方程. 【分析】由题意及空间几何坐标系的坐标的意义,点 P(1,y,2)的集合表示横、竖坐标 不变,而纵坐标变化的点的集合,由此结合四个选项可以选出正确选项 【解答】解:点 P(1,y,2)的集合为横、竖坐标不变,而纵坐标变化的点的集合, 由空间直角坐标的意义知,点 P(1,y,2)的集合为垂直于 xOz 平面的一条直线 故选 A 5. 2, …, 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 【考点】系统抽样方法. 【分析】根据系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,那么从 20 人抽取 1 人.从而得出从编 号 481~720 共 240 人中抽取的人数即可. 【解答】解:使用系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,即从 20 人抽取 1 人. 所以从编号 1~480 的人中, 恰好抽取 =12 人. 故:B. 6.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) .已 15 16.8 x y 知甲组数据的中位数为 ,乙组数据的平均数为 ,则 , 的值分别为( ) =24 人, 接着从编号 481~720 共 240 人中抽取 表示双曲线”的一个充分不必要条件是 m>0

A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8 【考点】茎叶图. 【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来,再除以 5.找甲组数据的中位数 要把甲组数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数为中位数.据此列式求解即可. 【解答】解:乙组数据平均数=(9+15+18+24+10+y)÷5=16.8; ∴y=8; 甲组数据可排列成:9,12,10+x,24,27.所以中位数为:10+x=15, ∴x=5. 故选:C.

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7.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表: x y 1 0 2 2 3 1 4 3 5 3 6 4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 = x+ 中的前两组数据(1,0)和(2,2)求 得的直线方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是( ) A. >b′, >a′ B. >b′, <a′ C. <b′, >a′ D. <b′, <a′ 【考点】线性回归方程. 【分析】由表格总的数据可得 n, , ,进而可得 ,和 ,代

入可得 ,进而可得 ,再由直线方程的求法可得 b′和 a′,比较可得答案.

【解答】解:由题意可知 n=6,

=

=

= ,

=

=





=91﹣6×

=22,

=58﹣6× ×

=



故可得 =

= ,

=

=

﹣ × =



而由直线方程的求解可得 b′= 比较可得 <b′, >a′, 故选 C

=2,把(1,0)代入可得 a′=﹣2,

8.将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m(m>0)个单 位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( ) A.对任意的 a,b,e1>e2 B.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 C.对任意的 a,b,e1<e2 D.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论. 【解答】解:由题意,双曲线 C1:c2=a2+b2,e1= ; 双曲线 C2:c′2=(a+m)2+(b+m)2,e2= ,

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=



=



∴当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2, 故选:D. 9.某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所 示.以组距为 5 将数据分组成[0,5) ,[5,10) ,…,[30,35) ,[35,40]时,所作的频率分 布直方图是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】频率分布直方图;茎叶图. 【分析】 根据题意, 由频率与频数的关系, 计算可得各组的频率, 进而可以做出频率分布表, 结合分布表,进而可以做出频率分布直方图. 【解答】解:根据题意,频率分布表可得: 分组 频数 频率 [0,5) 1 0.05 [5,10) 1 0.05 [10,15) 4 0.20 … … … [30,35) 3 0.15 [35,40) 2 0.10 100 1.00 合计 进而可以作频率直方图可得:

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故选:A. 10.总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个 体, 选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则 选出来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 【考点】简单随机抽样. 【分析】 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右 读,依次为 65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中 08, 02,14,07,01 符合条件,故可得结论. 【解答】 解: 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始 向右读, 第一个数为 65,不符合条件,第二个数为 72,不符合条件, 第三个数为 08,符合条件, 以下符合条件依次为:08,02,14,07,01, 故第 5 个数为 01. 故选:D. 11.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程 序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=( )

A.0

B.2 C.4 D.14 【考点】程序框图. 【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的 a,b 的值,即可得到结 论. 【解答】解:由 a=14,b=18,a<b,
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则 b 变为 18﹣14=4, 由 a>b,则 a 变为 14﹣4=10, 由 a>b,则 a 变为 10﹣4=6, 由 a>b,则 a 变为 6﹣4=2, 由 a<b,则 b 变为 4﹣2=2, 由 a=b=2, 则输出的 a=2. 故选:B.

12.椭圆 x2+

=1 短轴的左右两个端点分别为 A,B,直线 l 过定点(0,1)交椭圆于两点 )

C, D. CB 的斜率分别为 k1, k2, k2=2: 1, 设直线 AD, 若 k1: 则直线 l 斜率 k 的值为 ( A.k=2 B.k=3 C..k= 或 3 D.k=2 或

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】求得 AMB 的坐标,设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,直线 l:y=kx+1,运用直线的斜 率公式, 可得 =2, y22=4 由题设知 y12=4 (1﹣x12) , (1﹣x22) , 由此推出 3x1x2+5

(x1+x2)+3=0,所以 3k2﹣10k+3=0,由此可推导出 k 的值. 【解答】解:由题意可得 A(﹣1,0) ,B(1,0) , 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,直线 l:y=kx+1, 2 2 代入椭圆方程得(4+k )x +2kx﹣3=0, △ =4k2+12(4+k2)=16k2+48, x1+x2=﹣ k1= ,x1x2=﹣ ,k2= ,

,k1:k2=2:1,

所以

=2,

平方,结合 x12+

=1,所以 y12=4(1﹣x12) ,

同理 y22=4(1﹣x22) ,代入上式, 计算得 =4,即 3x1x2+5(x1+x2)+3=0,

所以 3k2﹣10k+3=0,解得 k=3 或 k= ,

因为

=2,x1,x2∈(﹣1,1) ,
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所以 y1,y2 异号,故舍去 k= , 所以 k=3. 故选:B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若 干人组成研究小组,有关数据见表(单位:人) .则 x= 1 ,y= 3 ; 高校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 C 54 y 若从高校 B,C 抽取的人中选 2 人作专题发言,则这 2 人都来自高校 C 的概率= 【考点】频率分布表. 【分析】由已知得 专题发言,基本事件总数 n= ,由此能求出 x=1,y=3,从高校 B,C 抽取的人中选 2 人作 =10,这 2 人都来自高校 C 包含基本事件个数 m= =3,由 .

此能求出这 2 人都来自高校 C 的概率. 【解答】解:由已知得 ,

解得 x=1,y=3, 从高校 B,C 抽取的人中选 2 人作专题发言, 基本事件总数 n= =10, =3,

这 2 人都来自高校 C 包含基本事件个数 m= ∴这 2 人都来自高校 C 的概率:p= 故答案为:1,3, . .

14. 一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形内爬行, 某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过 1 的概率为 1﹣ .

【考点】几何概型. 【分析】 根据题意, 记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过 1”为事件 A, 则其对立事件 为 “蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过 1”,先求得边长为 4 的等边三角形的面积,再计算 事件 构成的区域面积,由几何概型可得 P( ) ,进而由对立事件的概率性质,可得答案. “ 【解答】解:记 蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过 1”为事件 A,则其对立事件 为“蚂蚁 与三角形的三个顶点的距离不超过 1”, 边长为 4 的等边三角形的面积为 S= ×42=4 ,

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则事件 构成的区域面积为 S( )=3×

×

×π×12=



由几何概型的概率公式得 P( )=

=



P(A)=1﹣P( )=1﹣ 故答案为:1﹣ .



15.已知双曲线 C:



=1,若存在过右焦点 F 的直线与双曲线 C 相交于 A、B 两点,

且 =3 ,则双曲线 C 的离心率的最小值为 2 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由题意,A 在双曲线的左支上,B 在右支上,根据 合坐标的范围,即可求出双曲线离心率的最小值. 【解答】解:由题意,A 在双曲线的左支上,B 在右支上, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,右焦点 F(c,0) , ∵ =3 ,∴c﹣x1=3(c﹣x2) , ∴3x2﹣x1=2c. ∵x1≤﹣a,x2≥a,∴3x2﹣x1≥4a, ∴2c≥4a,∴e= ≥2, ∴双曲线离心率的最小值为 2, 故答案为:2.

=3

,可得 3x2﹣x1=2c,结

16.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 φ(x)组成的集合: 对于函数 φ(x) ,存在一个正数 M,使得函数 φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如, 3 当 φ1(x)=x ,φ2(x)=sinx 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x) ,g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B.
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④若函数 f(x)=aln(x+2)+

(x>﹣2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B.

其中的真命题有 ①③④ . (写出所有真命题的序号) 【考点】命题的真假判断与应用;充要条件;全称命题;特称命题;函数的值域. 【分析】根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③是否正确,再利 用导数研究命题④中函数的值域,可得到其真假情况,从而得到本题的结论. 【解答】解: (1)对于命题①,若对任意的 b∈R,都?a∈D 使得 f(a)=b,则 f(x)的值 域必为 R.反之,f(x)的值域为 R,则对任意的 b∈R,都?a∈D 使得 f(a)=b,故①是真 命题; (2)对于命题②,若函数 f(x)∈B,即存在一个正数 M,使得函数 f(x)的值域包含 于区间[﹣M,M]. ∴﹣M≤f(x)≤M.例如:函数 f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x)≤5,此时,f(x) 无最大值,无最小值,故②是假命题; (3)对于命题③,若函数 f(x) ,g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)值域为 R,f(x)∈(﹣∞,+∞) ,并且存在一个正数 M,使得﹣M≤g(x)≤M.故 f (x)+g(x)∈(﹣∞,+∞) . 则 f(x)+g(x)?B,故③是真命题; (4)对于命题④,∵﹣ ≤ ≤ ,

当 a>0 或 a<0 时,aln(x+2)∈(﹣∞,+∞) ,f(x)均无最大值,若要使 f(x)有最大值, 则 a=0,此时 f(x)= 故答案为①③④. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 P:2x2﹣9x+a<0,q: 且?p 是?q 的充分条件,求实数 a 的取值范 ,f(x)∈B,故④是真命题.

围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定. 【分析】由 q: ,知 q:2<x<3,由?p 是?q 的充分条件,知 q?p,故设 f

(x)=2x2﹣9x+a,则

,由此能求出实数 a 的取值范围.

【解答】解:∵q: ∴q:2<x<3, ∵?p 是?q 的充分条件, ∴q?p, ∵P:2x2﹣9x+a<0, 设 f(x)=2x2﹣9x+a,



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∴ 解得 a≤9.



18.某学校共有高一、高二、高三学生 2000 名,各年级男、女人数如图:已知在全校学生 中随机抽取 1 名,抽取高二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 60 名学生,问应在高三年级抽取多少名? (3)已知 y≥245,z≥245,求高三年级中女生比男生多的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法;频率分布直方图. 【分析】 (1)根据题意,有全校共有学生 2000 名,其中高二年级女生 x 名,且抽到高二年 级女生的概率是 0.19,结合频率、频数和样本容量之间的关系,可得, (2)根据高二男女生 一起 750 人,又高一学生 750 人,所以高三男女生一起 500 人,按分层抽样,做出高三年级 应抽取的人数; (3)根据所给的条件列举出所有的情况,可得其情况数目,同时可得女生比男生多的情况 数目,由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 【解答】解: (1)根据题意,全校共有学生 2000 名,其中高二年级女生 x 名, 且抽到高二年级女生的概率是 0.19,则有 =0.19,

∴x=380; (2)由图可得,高二男生有 370 人,则高二男女生一起 750 人,高一学生 750 人, 所以高三男女生共 2000﹣750﹣750=500 人, 按分层抽样,高三年级应抽取 ×500=15 人;

(3)因为 y+z=500,y≥245,z≥245,所以基本事件有: y=245, z=255; y=246, z=254; y=247, z=253; y=248, z=252; y=249, z=251; y=250, z=250; y=251,z=249;y=252,z=248;y=253,z=247;y=254,z=246;y=255,z=245;一共 11 个 基本事件. 其中女生比男生多,即 y>z 的基本事件有: y=251,z=249,y=252,z=248;y=253,z=247;y=254,z=246;y=255,z=245 共 5 个基本事件, 故女生必男生多的事件的概率为 19.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(﹣1,f(﹣1) )处的 切线方程为 6x﹣y+7=0.
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(1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)的单调区间. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数解析式的求解及常用方法. 【分析】 (1)根据导数的几何意义,结合切线方程建立方程关系,求出 b,c,d,即可求函 数 f(x)的解析式; (2)求函数的导数,即可求函数 f(x)在定义域上的单调性. 【解答】解: (1)由 f(x)的图象经过 P(0,2) ,知 d=2, 3 2 2 所以 f(x)=x +bx +cx+2,则 f'(x)=3x +2bx+c. 由在 M(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程是 6x﹣y+7=0, 6 f 1 +7=0 知﹣ ﹣ (﹣ ) , 即 f(﹣1)=1,f'(﹣1)=6 ∴ ,





解得 b=c=﹣3, 故所求的解析式是 f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2. (2)∵f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2. ∴f′(x)=3x2﹣6x﹣3=3(x2﹣2x﹣1) . 2 由 f′(x)=3(x ﹣2x﹣1)>0, 解得 x>1+ 或 x<1﹣ ,此时函数单调递增, 由 f′(x)=3(x2﹣2x﹣1)<0, 解得 1﹣ <x<1+ ,此时函数单调递减, 即函数的单调递减区间为为(1﹣ ,1+ ) , 函数的单调递增区间为为(﹣∞,1﹣ ) , (1+ ,+∞) . 20.已知圆 C1:x2+y2+6x﹣4=0,圆 C2:x2+y2+6y﹣28=0. (1)求过这两个圆交点的直线方程; (2)求过这两个圆交点并且圆心在直线 x﹣y﹣4=0 上的圆的方程. 【考点】直线与圆的位置关系;圆的一般方程. 【分析】 (1)两圆相减,得到过这两个圆交点的直线方程. (2)两圆联立方程组,求出两点的交点 A,B,从而得到 AB 的中垂线方程,进而能求出圆 心 C 的坐标和圆半径,由此能求出所求圆的方程. 【解答】解: (1)∵圆 C1:x2+y2+6x﹣4=0,圆 C2:x2+y2+6y﹣28=0, ∴两圆相减,得到过这两个圆交点的直线方程为: 6x﹣6y+24=0,即 x﹣y+4=0. (2)两圆交点为 A,B, 解方程组 ,得 或 ,

∴A(﹣1,3) ,B(﹣6,﹣2) , ∴AB 的中垂线方程为 x+y+3=0.
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,解得 x= ,y=﹣ ,

所求圆心 C 的坐标是( ,﹣ ) . 圆半径|CA|= ∴所求圆的方程为(x﹣ )2+(y+ )2= = , ,即 x2+y2﹣x+7y﹣32=0.

21.我们把由半椭圆

(x≥0)与半椭圆

(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,

其中 a2=b2+c2,a>0,b>c>0.如图,点 F0,F1,F2 是相应椭圆的焦点,A1,A2 和 B1, B2 分别是“果圆”与 x,y 轴的交点. (1)若△ F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)当|A1A2|>|B1B2|时,求 的取值范围.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由三角形 F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形,得出 a,b,c 的关系,求出 a,b, c 的值,进而得出“果圆”的方程; (2)由|A1A2|>|B1B2|可得 a,b,c 的不等关系式,把 c 用 a,b 代替,得到含有 a,b 的不 等式,求解不等式得答案. 【解答】解: (1)由题意可得,F0(c,0) ,F1(0,﹣ 则|F0F1|= ∴ , =b=1,|F1F2|=2 , (x≥0)和 (x≤0) ; >2b﹣a. =1, ) ,F2(0, ) ,

故所求“果圆”方程为

(2)由|A1A2|>|B1B2|,得 a+c>2b,c>2b﹣a,即 两边平方得 a2﹣b2>(2b﹣a)2, 则 ,又 b>c,

∴b2>c2,即 b2>a2﹣b2,
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,即



故 ∈(

) .

22.已知函数 f(x)=(cosx﹣x) (π+2x)﹣ (sinx+1) g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣ 证明: (Ⅰ)存在唯一 x0∈(0, (Ⅱ)存在唯一 x1∈( ) ,使 f(x0)=0; )

,π) ,使 g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的 x0,有 x0+x1<π.

【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (Ⅰ)根据 x∈(0, 再根据 f(0)>0,f( (Ⅱ)构造函数 h(x)= )时,f′(x)<0,得出 f(x)是单调减函数,

)<0,得出此结论; ﹣4ln(3﹣ x) ,x∈[ ,π], ) ,

令 t=π﹣x,得 u(t)=h(π﹣t) ,求出 u(t)存在唯一零点 t1∈(0, 即证 g(x)存在唯一的零点 x1∈( 【解答】证明: (Ⅰ)∵当 x∈(0, ∴函数 f(x)在(0, 又 f(0)=π﹣ >0,f( ∴存在唯一的 x0∈(0, (Ⅱ)考虑函数 h(x)= 令 t=π﹣x,则 x∈[ ,π]时,t∈[0, ], t) , ,π) ,满足 x0+x1<π.

)时,f′(x)=﹣(1+sinx) (π+2x)﹣2x﹣ cosx<0,

)上为减函数, )=﹣π2﹣ <0;

) ,使 f(x0)=0; ﹣4ln(3﹣ x) ,x∈[ ,π],

记函数 u(t)=h(π﹣t)=

﹣4ln(1+

则 u′(t)=



?

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=



=



= = ,

由(Ⅰ)得,当 t∈(0,x0)时,u′(t)>0; 在(0,x0)上 u(x)是增函数,又 u(0)=0,∴当 t∈(0,x0]时,u(t)>0, ∴u(t)在(0,x0]上无零点; 在(x0, )上 u(t)是减函数,且 u(x0)>0,u( ) ,使 u(t1)=0; ) ,使 u(t1)=0; ,π) ,使 h(x1)=h(π﹣t1)=u(t1)=0; )=﹣4ln2<0,

∴存在唯一的 t1∈(x0, ∴存在唯一的 t1∈(0,

∴存在唯一的 x1=π﹣t1∈( ∵当 x∈(

,π)时,1+sinx>0,∴g(x)=(1+sinx)h(x)与 h(x)有相同的零点, ,π) ,使 g(x1)=0,

∴存在唯一的 x1∈(

∵x1=π﹣t1,t1>x0,∴x0+x1<π.

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2016 年 4 月 18 日

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