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18与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题18-对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷


与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题

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对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷
——弹簧振动振子机械能守恒问题新解 李学生 1,师教民 2

(1.山东大学 物理学院,山东 济南 250100; 2.石家庄广播电视大学 科学技术部,河北 石家庄 050081)
摘 要:重新解答了第 26 届全国中

学生物理竞赛复赛第 三题第一小题,指明了该题的参考解答(标准答案)错误. 关键词:物理竞赛试题;弹簧振子;动能;势能;机械能守恒 中图分类号 :O 313.1 文献标识码:A

公元 2009 年第 26 届全国中学生物理竞赛复赛三、1.题为: 一质量为 m 的小球与一劲度系数为 k 的弹簧相连组成一体 系,置于光滑水平地面上,弹簧的另一端与固定墙面相连,小球 做一维自由振动.试问在一沿此弹簧长度方向以速度量值 u 做匀 速运动的参考系里观察, 此体系的机械能是否守恒, 并说明理由.

参考解答:否.原因是墙壁对于该体系而言是外界,墙壁对
弹簧有作用力,在运动参考系里此力的作用点有位移,因而要对 体系做功,从而会改变这一体系的机械能.

我们重新解答如下:
分析:因为地球、墙壁固连在一起,故它们是一个质点,俗 称为地面参照系.弹簧被视为只有弹力而无质量的物体,就像只
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对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷

有质量而无体积的物体叫做质点一样,因此,尽管弹簧已无质量 但是仍有弹力.与弹簧相连的小球是另一个质点.质点地面和质 点小球通过弹簧的弹力相互作用.小球与弹簧可伸缩的部分组成 弹簧振子体系.因为弹簧的质量为 0,所以小球的机械能就是弹 簧振子体系的机械能. 解:在地面参照系上观察时,以弹簧未被压缩和拉伸时的小 球所处位置(平衡位置)为坐标原点 o,以弹簧长度方向且向右 的直线 ox 为 x 轴,建立直线坐标系即一维坐标系如图 1 所示. ?u 墙 F

?

m o x

v

小 车 ○ ○

u x

光滑水平地面

图1

弹簧振动振子机械能守恒问题新解

当 t?0 时刻,将小球向右拉至最大振幅并放手,使之做简谐 振动, 则小球的位移为: x?Acos(ωt), 其中 ω2?k/m, k?mω2. 设

小球的速度为 v,加速度为 a,受到的力为 f,动能为 Ek(t),势
能为 Ep(t),机械能为 E(t).则有:

v?

dv dx ??ωAsin(ωt),a? ??ω2Acos(ωt)??ω2x, dt dt

f?ma??mω2x??kx. Ek(t)?
1 1 mv2 ? m[?ωAsin(ωt)]2?? 2 2

1 1 mω2A2sin2(ωt)? kA2sin2(ωt). 2 2
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与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题

1 ?1 ? dEp(t)??f dx?kxdx?d ? kx2 ? ,Ep(t)? kx2?C. 2 ?2 ?
将初始条件

1 t?0 时,x?A,Ep(0)? kA2 2
代入上式得: ? ? ? ?

1 2 1 kA ?Ep(0)? k?A2?C,C?0, 2 2 1 1 1 Ep(t)? kx2?C? kx2?0? kA2cos2(ωt). 2 2 2

E(t)?Ep(t)?Ek(t)??
1 2 2 1 kA cos (ωt)?kA2sin2(ωt)? kA2?常数. 2 2

? 所以,在地面参照系上观察时,弹簧振子体系(或小球)的机械 ? 能守恒,守恒值为

1 2 kA . 2

设地面参照系和沿此弹簧长度方向以恒速量值 u(u 是相对 于地面的速度,出题的人未说明应是疏忽)作匀速运动的参考
系(设为小车,见图 1)刚开始相对运动时完全重合,开始相对 运动后,在 t?0 时刻,将小球向右拉至最大振幅并放手,使之做 简谐振动.在小车参照系上观察(即以小车参照系为静止系) ,地

面参照系及小球都以匀速度量值 u 相对于小车沿 x 轴负向运 动,小球还附加有相对于地面参照系的速度 v.
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对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷

直觉判断法(这是前言里的低速力学新原理中的新解法) : 因为地面参照系及小球都以匀速度量值 u 相对于小车沿 x 轴 负向运动,所以在小车参照系上观察(即以小车参照系为静止 系)时,弹簧振子体系(或小球)的机械能比在地面参照系上观 察时增加

1 1 m(?u)2? mu2,所以在小车参照系上观察时,弹簧 2 2

振子体系(或小球)的机械能为:

E1(t)?E(t)?

1 1 1 mu2? kA2? mu2?常数. 2 2 2

所以,在小车参照系上观察时,弹簧振子体系(或小球)的机械 能守恒,守恒值为 数学推导法: 设在小车参照系上观察(即以小车参照系为静止系)时,小 球的位移、速度、加速度、受到的力、动能、势能、机械能分别 为 x1,v1,a1,f1,E1k(t),E1p(t),E1(t).则有:

1 2 1 kA ? mu2. 2 2

x1?x?ut?Acos(ωt)?ut, v1?
dv dx1 ??ωAsin(ωt)?u,a1? 1 ??ω2Acos(ωt)?a, dt dt

f1?ma1?ma??mω2Acos(ωt)??kx.
?

1 1 E1k(t)? m v12 ? m[?ωAsin(ωt)?u]2?? 2 2 1 m[ω2A2sin2(ωt)?2ωuAsin(ωt)?u2]?? 2 1 2 2 1 kA sin (ωt)?mωuAsin(ωt)? mu2. 2 2
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与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题

dE1p(t)?? f1dx1?kxd(x?ut)?kxdx?kuAcos(ωt)dt??
?1 ? d ? kx2 ? mωuA sin(ωt )? , ?2 ?

E1p(t)?
将初始条件

1 2 kx ?mωuAsin(ωt)?C. 2 1 2 kA , 2

t?0 时 x1?x?A,E1p(0)?Ep(0)?
代入上式得:

1 2 1 kA ?E1p(0) ? kA2?mωuAsin(ω?0)?C,C?0, 2 2 1 2 kx ?mωuAsin(ωt)?C?? 2 1 2 1 kx ?mωuAsin(ωt)?0? kx2?mωuAsin(ωt). 2 2

E1p(t)?

E1(t)?E1p(t)?E1k(t)??
1 2 1 1 kx ?mωuAsin(ωt)? kA2sin2(ωt)?mωuAsin(ωt)? mu2?? 2 2 2 1 2 2 1 1 kA cos (ωt)? kA2sin2(ωt)? mu2?? 2 2 2 1 2 1 kA ? mu2?常数. 2 2
所以,在小车参照系上观察时,弹簧振子体系(或小球)的机械 能仍然守恒,守恒值为
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1 2 1 kA ? mu2. 2 2

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对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷

剖析参考解答(即标准答案)的错误:
原清华大学教授、 《大学物理》副主编高炳坤先生在其论文文 献[1]中说: “从地面上看,墙对弹簧的作用力 F(见图 2)的作 用点无位移,故 F 不作功,?. 从小车上看,墙对弹簧的作用力 F 的作用点却以恒速?v 移 动(图 2) ,故 F 要作负功?. ” 本文讨论的竞赛题的参考解答(即标准答案) 说: “?墙壁

对于该体系而言是外界,墙壁对弹簧有作用力,在运动参考系 里此力的作用点有位移,因而要对体系做功?. ”
从地面上看,振子或小球也有振动位移,但是高炳坤先生和

参考解答(即标准答案)都认为,墙壁对弹簧的作用力 F 因为其
作用点无位移而不在小球的振动位移上对小球做功.这种认识正 确,理由为:墙壁的约束力 F 只是弹簧左端的弹力 T1 的反作用 力.可是又因为弹簧圈左与墙壁固连,右与弹簧固连,所以它是 墙壁和弹簧的中间物,所以 T1 和 F 都作用在弹簧圈即作用点上 且大小相等、方向相反而成为平衡力,所以不论是从地面参照系 还是从小车参照系看,T1 和 F 在弹簧圈处就抵消,从而使 F 加 不到小球上,所以 F 不在小球的振动位移上对小球做功,即墙壁 不改变弹簧振子体系的机械能,弹簧振子体系的机械能仅由弹簧 右端的弹力 T2 来维持.但是从小车参照系看,弹簧圈即作用点 和弹簧振子体系因为有速度?u 而有位移?ut,所以 T1 和 F 对弹 簧振子体系在位移?ut 上都做功. 然而因为 T1 和 F 大小相等、 方 向相反而使它们做的功也因为大小相等、正负不同而抵消,所以 墙壁仍不改变弹簧振子体系的机械能,因此参考解答(即标准答 案)说墙壁“会改变这一体系的机械能”是错误的.
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与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题

参考文献: [1]高炳坤.能量追踪[J].大学物理,2001,(20)3:15?16. [2]赵凯华,罗蔚茵.新概念物理教程 力学[M].北京:高等教 育出版社,2000:124.

Our Discussion on A Question from CPHO
——Brand-new explanation of mechanical energy conservation of a spring vibration oscillator

Li Xue-sheng1,Shi Jiao-min2
(1.School of Physics, Shandong University, Jinan 250100, China; 2.Department of Science and Technology, Shijiazhuang Radio and Television University, Shijiazhuang 050081, China) Abstract:This article re-explained the question of III. (1) of the 26th Session of National Physics Contest and pointed out that the key to the problem provided (i.e. the standard key) is wrong. Key words:the physics contest;a spring oscillator;kinetic

energy; potential energy; conservation of mechanical energy
作者简介:

李学生(1969?),男,副教授,山东济南人.现从事普通 物理的教学与研究.

Email:1922538071@qq.com
师教民(1945?),男,教授,河北晋州人.现从事数学、物

理、电工、电子的教学与研究.

Email:shijm618@126.com
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