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高中数学竞赛讲座 31类比与联想


竞赛讲座 31
-类比与联想
1. 类比 已知甲问题与乙问题有某些类似之处, 猜想乙问题的某个结论或某种解法也适合甲问题, 从 而将这个结论移植给甲问题或用类似方法解决甲问题, 这种解决问题的思维形式叫做类比推 理.类比只是一种猜测,是否可行还要靠逻辑推理来解决. 例1 如图 27-1,一直线 l 交四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 或其延长线于

E、 F、G、H,则有

分析 此例中条件和结论都类似于梅氏定理,由此考虑将梅氏定理的证明方法施于此例.连 BD 交 l 于点 O,在△ABD 和△BCD 中,分别使用梅氏定理可得

两式相乘即得所证结论.

例2

(第 3 届国际中学生数学竞赛题)如图 27-2,P 为△ABC 内任意一点.直线

AP、BP、CP 交 BC,CA,AB 于 Q、R、S.求证 于 2,也至少有一个不小于 2. 分析 例 2 条件与下述熟悉的命题条件一样:





三者之中,至少有一个不大

“P 为△ABC 内任意一点.直线 AP、 BP、 CP 交 BC、 CA、 AB 于 Q、 R、 S.求证:



这说明可将这个命题的结论用于例 2,由



中至少有一

个不大于

,不妨设



即 3PQ≤AQ.

而 AQ=AP+AQ, ∴AP≥2PQ,



≥2,即

不小于 2.

同理可证三式中至少有一个不大于 2. 2. 联想 由前面的例题的解决,我们看到类比是与联想交织在一起的.事实上不论用什么方法解决问 题都少不了运用“联想”.根据问题之间的相似性、接近性、对比性进行由此及彼的联想, 从而将某个已知的结论和方法的全部或部分移植给所研究的新问题是解决问题的一种基本 思想方法. 例3 已知 0<a<1,0<b<1.求证:

+


2 2 2

分析 观察待证式左端,它的每个根式都使我们想到 Rt△ABC 中的等式 a +b =c ,激起我们 构造平面图形利用几何方法证明这个不等式的大胆想法. 如图 27-3,作边长为 1 的正方形 ABCD,分别在 AB、AD 上取 AE=a,AG=b,过 E、G 分别作 AD、 AB 的平行线,交 CD、BC 于 F、H,EF、GH 交于 O 点.由题设条件及作图可知,△AOG、△BOE、 △COF、△DOG 皆为直角三角形.



OC=

再连结对角形 AC,BD,易知 AC=BD=

,OA+OC≥AC,OB+OD≥BD,





合理的联想是以正确的观察为基础的.观察所研究的问题的特征和规律,联想似曾相识的问 题,便可以迅速地找到一个解决新问题的模式.

例4

(柯西不等式)(

)·(

)≥

(a1b1+a2+b2+?+anbn) (其中等号当

2

时成立).

分析 设 a=
2

,c=

,b=2(a1b1+a2+b2+?+anbn),求证不等

式变为 b -4ac≤0,这不就是一元二次方程的判别式吗?于是构造下面无相异实根的实系数 一元二次方程解此题便是十分自然的事了.

设 f(x)=(
2

)x -2(a1b1+?+anbn)·x+(
2

2

),

变形为 f(x)=(a1x-b1) +?+(anx+bn) ≥0.

这说明方程 f(x)=0 仅当 判别式不大于 0,即

时有相等实根,否则无实根,故 f(x)=0 的



)(

)≥(a1b1+?+anbn) .

2

对于一般性的命题联想它的特殊情况,从研究特殊情形入手常可以找到解决一般问题的方 法. 例5 (第 18 届全苏中学生数学竞赛题)数学 x(≠0)和 y 使得对任意的 n≥1,



都是某整数的平方数,求这样的 x 和 y.

解 从最简单的情形入手.如果

,那么 A 是大于 40 的两位数,并且它的末位数
2 2 2

字是 2 或 8,可以验证仅当 A=68 或 98 时,A 的百位数 6,即 68 =4624;98 =9604.现在来看 一般情况,

=4· +2(10 +?+10+1)+2
n

=4·10 ·

n+1

= =[(2·10 +4)/3]
n+1 2

= =66?68 .
2

=(10 -1)10 +6·10 +4

n

n+2

n+1

=(10 -2) =

n+1

2

.

∴x=4,y=2 或 x=9,y=0.

例6

设 P1,P2,?,Pn 依次为△ABC 中∠BAC 的 n 等分线与 BC 的交点,求证

分析 先考虑 n=2 的情形,即“设 P1 为△ABC 的∠BAC 的平分线与 BC 的交点,求证

”.这是三角形内角平分线性质,证法很多.因考虑到要证的一般情形的结论是 线段的乘积的比,故我们利用三角形的面积公式来证.如图 27-4,在△ABP1 和△ACP1 中, ∵∠BAP1=∠CAP1 且 BP1 与 CP1 边上的高相等,



即 再考虑 n=3 的情形,即“设 P1,P2 为△ABC 的∠BAC 的三等分角线与 BC 的交点,求证

如图 27-5,仿上可证

上两式后面等式相乘得

运用上面特殊情况的方法可证得一般情况. 数学中的实际问题的解决,大多是从联想相应的为数学模型开始的.

例7 海滩上的一堆苹果是五个猴子的财产, 它们要平均分配.第一个猴子来了,它 把苹果平均分成五堆还剩下一个.它把剩下的一个仍到大海里,自己拿走了一堆;第二个猴子 来了,它又把苹果平均分成 5 堆,又多了一个,它又仍掉一个,拿走了一堆;以后每个猴子来了 都照此办理.问原来至少有多少苹果?最后至少有多少苹果? 解 设后一个猴子到来时苹果的数目为 x,而当它离去时,剩下的苹果数目为 y,由 x 可确定 y:

这样就把一个实际问题转化为一个解析式来讨论.若设最初有 x0 个苹果,第 i 个猴子离去时, 剩下的苹果数为 yi,则

要使 y5 取整数值,x0+4 必是 5 的倍数,故 x0 的最小正数解应是 x0=5 -4=3121, ∴y5=4 -4=1020. 故原来至少有 3121 个苹果,最后至少有 1020 个苹果. 练习二十七 1. 两个既约分数的和与积能否同时为整数? 2. 设 a,b,c,m,n,p 均为实数,且满足 aq-2bn+cm=0 与 b -ac<0.求证 mp-n ≤0. 3. 求素数 p,使 p+10,p+14 仍为素数.
2 2 5 5

5

4. 证明 2×

是两相邻整数之积.

5. 已知 xi≥0(i=1,2,?,n)且 x1+x2+?+xn=1.求证 1≤ 6. a、b、c、d 都是正整数.证明:存在这样的三角形,它的三边等于 , ,并计算三角形的面积.



7. 证明闵可夫斯基不等式:对任意 2n 个正数 x1,x2,x3,?,xn;y1,y2,y3,?,yn,恒有



8. 以三个不同的非零数字(十进位)组成的三位数,除以这三个数字之和.所得商的最小 值是多少? 9. (1987 年北京初二数学竞赛题)一直线从左到右顺次排列着 1897 个点:p1,p2,?, p1987,已知 pk 点是线段 pk-1pk+1 的 k 等分点当中最靠近 pk+1 的那个分点(2≤k≤1986).例如, p5 点就线段 p4p6 的五等分点中最靠近 p6 的那个点.如果线段 p1p2 的长度是 1,线段 p1986p1987 的

长度为 l.求证:

练习二十七 1.构造一元二次方程. 2.构造一元二次方程apx -2bnx+cm=0.由题设知方程有实根x=1,故△ 2 =(-2bn) -4·ap·cm≥0 3.取p=2,3,5,7,11,13,17作试验,由此猜测:仅p=3有解.然后就 p=3k+1和p=3k+2.证明p+10,p+14不是素数.


4.取n=1,2试验,猜想:

5.联想特殊情况:若x1+x2=1,x1,x2≥0则 并给出证明:

类比得到一般情况的证明:

6.以a+b,c+d为边画一个矩形(如图).

此处无图 7.如图,给出了n=5的情形.

8.设三位数为

,所述为



要p最小, 只需p′最小, 观察得x=1, z-9,

y=8.∴p= 9.p2应为p1p3的二等分点,∴p1p2=p2p3=1.p3应为p2p4的三等分点中最

靠近p4的那一点,∴p3p4=

p2p3=

.一般地,pk是pk-1pk+1中的k等分点中

最靠近pk+1的那一点,有pkpk+1=




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