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韦达定理在初中数学竞赛中的应用


韦达定理在初中数学竞赛题中的应用
湖南省株洲市第三中学 李梅英

设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根为 x1 、 x2 ,则 x1 ? x 2 ? ?

b , a

x1 ? x 2 ?

c 这个定理叫韦达定理。 a

韦达定理是初中数学竞赛的重点内容, 题型多样, 方法灵活, 触及知识面广。 现结合 2004 R 年“TRULR 信利杯”全国初中数学竞赛试题为例将韦达定理的解题策略简述如下: 例1、 已知实数 a ? b ,且满足 (a ? 1) 2 ? 3 ? 3(a ? 1) , 3(b ? 1) ? 3 ? (b ? 1) 2 则

b

b a 的值为( ?a a b
(B)-23

) (2004 年全国初中数学竞赛试题第 1 题) (C)-2 (D)-13

(A)23

解:∵ a 、 b 是关于 x 的方程 ( x ? 1) 2 ? 3( x ? 1) ? 3 ? 0 的两个不相等的实数根,整理 此方程,得

x 2 ? 5x ? 1 ? 0 ,
∵△=25-4>0 ∴ a ? b ? ?5 , ab ? 1 故 a 、 b 均为负数。因此

b

a2 ? b2 b a b a ?a ?? ab ? ab = ? ab a b a b

ab = ?

(a ? b) 2 ? 2ab ab

? ?23

所以选(B) 例 2、实数 s.t 分别满足 19s ? 99s ? 1 ? 0, t ? 99t ? 19 ? 0, st ? 1 ,求
2 2

st ? 4 s ? 1 的值。 t

(1999 年全国初中数学竞赛试题)
2 2 解:由题设知 t ? 0 ,∴ t ? 99t ? 19 ? 0 可化为 19( ) ? 99( ) ? 1 ? 0

1 t

1 t

又 st ? 1,∴ s ?

1 t

1 2 t 1 99 1 1 ∴s ? ? ? ,s? ? t 19 t 19 st ? 4 s ? 1 1 1 99 1 95 ? 4? =? = s ? ? 4s ? = ? =? 5。 t t t 19 19 19

∴ s , 是方程 19x ? 99x ? 1 ? 0 的两个不相等的实数根。

2 2 例 3、若 ab ? 1 ,且有 5a ? 2001 ? 9 ? 0,9b ? 2001 ? 5 ? 0 ,则 a b

a 的值是( b



(2001 年全国初中数学联合竞赛试题) (A)

9 5

(B)

5 9

(C) ?

2001 5
1

(D)

2001 9

2 b 解:由题设知 b ? 0 ,∴ 9b ? 2001 ? 5 ? 0 可化为

5 2001 ? ?9 ? 0 b b2

2 a 又∵ 5a ? 2001 ? 9 ? 0 ,且 ab ? 1 ,

1 2 x 是方程 5x ? 2001 ? 9 ? 0 的两个不相等的实数根。 b 1 a 9 ∴a? = ? b b 5
∴ a, 所以选(A) 例 4、已知 3m 2 ? 2m ? 5 ? 0,5n 2 ? 2n ? 3 ? 0 ,其中 m.n 为实数,求 m ? (2000 年江苏省初中数学竞赛试题)
2 解: 由题设知 n ? 0 , 5n ? 2n ? 3 ? 0 可化为 5 ? ∴

1 的值。 n

2 3 1 1 ? 2 ? 0 , 3( ) 2 ? 2( ) ? 5 ? 0 即 n n n n

又∵ 3m ? 2m ? 5 ? 0
2

∴当 mn ? 1 时, m ? 当 mn ? 1 时, m ,

1 1 , m ? ? 0; n n

1 2 是方程 3x ? 2 x ? 5 ? 0 的两个不相等的实数根。 n 1 2 1 5 ∴m ? ? ,m? ? ? n 3 n 3
2

1 1 ∴ m? = m? n n
2 4

1 1 2 5 ? ( m ? ) 2 ? 4m ? ? ( ) 2 ? 4 ? ( ? ) ? n n 3 3
2 2

64 8 ? 9 3

例 5、设 a ? 2a ? 1 ? 0 , b ? 2b ? 1 ? 0 ,且 1 ? ab ? 0 。

ab2 ? b 2 ? 2a ? 1 2003 ) 的值。 求( (2003 年全国初中数学联合竞赛初赛题) a
2 解:由题设知 a ? 0 ,∴ a ? 2a ? 1 ? 0 可化为 1 ?

2 1 1 1 ? 2 ? 0 ,即 ( ) 2 ? 2( ) ? 1 ? 0 a a a a

又 ∴



b 4 ? 2a 2 ? 1 ? 0 ,且 1 ? ab2 ? 0 。

1 2 , b 是方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的两个不相等的实数根。 a



1 1 ? b 2 ? 2 , ? b 2 ? ?1 a a
1 1 ab2 ? b 2 ? 2a ? 1 2003 ) = (b 2 ? ? b 2 ? ? 2) 2003 ? (2 ? 1 ? 2) 2003 ? (?1) 2003 ? ?1 a a a

∴(

2

练习:

b a ? 的值。 a b b a 2、 已知实数 a, b 满足 a 2 ? 5a ? 1 ? 0, b 2 ? 5b ? 1 ? 0 ,求 ? 的值。 a b
1、 已知实数 a, b 满足 a 2 ? 7a ? 2 ? 0, b 2 ? 7b ? 2 ? 0 ,求 3、 已知实数 a, b 满足 a 2 ? 5a ? 2 ? 0, b 2 ? 5b ? 2 ? 0 ,求

a b 。 ? b a

4、 已知 ? , ? 是方程 x 2 ? 3(m ? 2) x ? 2 ? 2m 2 ? 0 的两根且

? ? 2 ,求 m 的值。 ?
x1 3 ? ,求 m 的值。 x2 2

5、 已知 x1 , x 2 是方程 4 x 2 ? (3m ? 5) x ? 6m 2 ? 0 的两根,且

6、 关于 x 的方程 x ? (a ? b) x ? 9 ? 0(a ? b) 的两实根为 ? , ? ,求
2

? ? 的值。 ? ? ?

作者简介:李梅英,女,生于 1967 年 5 月,中共党员,本科学历,从事初中数学教学 15 年。从 1994 年开始我就与《中小学数学初中(学生)(教师)版》结下了不解之缘,每年 、 订阅了这两本杂志。无论是常规教学还是奥赛培训,这两本书助我取得了辉煌的成绩。

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