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空间两条直线的位置关系


苏教版必修二

1.2.2 空间两条直线的位置关系

平行直线
睢宁县李集中学 赵波

回顾引入:
1.平面内两条直线位置关系有几种? 分别是什么位置关系?
a b

a b

探讨:

观察右图的长方体 ABCD-A1B1C1

D1

D1 A1 D
B1

C1
C

有平行的直线吗?哪些是? 有相交的直线吗?哪些是? A 请同学们看一下图中的直线AA1和直 线C1D1是平行还是相交? 定义:我们把不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线
思考: 请你在生活空间中分别找出两条平行直线,相交直线,异面直
线。

B

六角螺母 D C A B

通过刚才的研究,空间的两条直 线的位置关系有几种呢?
空间两条直线的位置关系有三种:
位置关系 相交直线 平行直线 异面直线 共面情况
在同一平面内 在同一平面内

公共点个数
有且只有一个 没有 没有

不在任何一平面内

想 一 想 ?

在同一平面内,如果 a∥b,b∥c, 则a∥c 那这个性质在空间中 成立吗?

公理4.平行于同一条直线的两条 直线互相平行. 符号表示:
a ∥b a∥c c∥b

例题讲解:
例1.如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 已知E,F分别是AB , BC 的中点, D 1 求证:EF∥A1C1 证:连结AC.
在△ABC中,E,F分别是AB,BC 的中点 所以 EF ∥ AC 又因为 AA1∥BB1 且 AA1=BB1 BB1∥CC1 且 BB1=CC1 所以 所以 AA1∥CC1 且 AA1=CC1 A A1 D


C1 B1


C

F

E

B

即四边形AA1C1C是平行四边形 从而

AC∥A1C1

EF∥A1C1

想 一 想 ?

在平面中,如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平 行并且方向相同,那么这两个 角相等,这个结论在空间成立 吗?

定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别
平行并且方向相同,那么这两个角相等.
已知:∠BAC 和 ∠B1A1C1 的边AB ∥ A1B1 , AC ∥ A1C1 ,并且方向相同. 求证:∠BAC = ∠B1A1C1 A
1

C1

E1
D1 B1 C E D B

分析:为证明∠BAC=∠B1A1C1, 我们构造两个全等三角形,使∠BAC 与∠B1A1C1是它们的对应角.
A

思考 :
如果∠BAC 和∠B1A1C1 的边AB∥A1B1 , AC∥A1C1 ,且 AB,A1B1 方向相 同,AC与A1C1方向相反, 那么 ∠BAC 和∠B1A1C1之间有何关系?为什么?

β α

?,?互补

? 结论:空间中如果两个角的两条边分别对

应平行,那么这两个角相等或互补.

例题讲解:
例2.如图,已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1
的棱AD,A1D1的中点 求证:∠C1E1B1 = ∠CEB
E1 A1 D1 B1 D E A B C C1

分析: 设法证明E1C1 ∥ EC
E1B1 ∥ EB

练习巩固:
1.设AA1是正方体的一条棱,这个正方体中 与AA1 平行的棱共有___条. 3 2、经过直线外一点,有几条直线和这 条直线平行?为什么? 3.如果OA∥O1A1, OB∥O1B1 , 那么∠AOB与∠A1O1B1 之间具有什么关系?

拓展提高:
在空间四边形ABCD中,M、N、P、Q分别是 AM CN AQ CP ? ? ? ?k 四边形边上的点,且满足
MB NB QD PD

求证:M、N、P、Q四点共面且MNPQ为平 A 行四边形。
M B Q D

N
C

P

课堂小结:

1 三种关系:相交、平行、异面 2 两个性质:(平行公理、等角定理)

课后作业
书 25页 第 3 题 28页 第 9 题

立体几何

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