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四川省邻水县第二中学2015—2016学年高一下学期分科考试数学试题


邻水二中 2015 年秋高 2015 级分科考试 数学试题
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6},则?UA=( A.{1,3,5,6} C.{2,4,7} B.{2,3

,7} D.{2,5,7} ) )

1 2.设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 cosα = x,则 tanα =( 5 A. 4 3 3 B. 4 4 D.- 3
x

3 C.- 4

3.指数函数 y=a 的图象经过点(2,16),则 a 的值是( A. 1 4 B. 1 2 C.2 D.4 )

)

4.下列各组函数表示相等函数的是( A.f(x)=x-2,g(x)= |x| B.f(x)= ,g(x)=1

x -4 x+2

2

x
2

C.f(x)=x -2x-1,g(t)=t -2t-1 1 (x-1) D.f(x)= ,g(x)= 2 2
0

2

0.2 1 1 ?1? 5.设 a=log 3,b=? ? ,c=2 ,则( 2 3 ?3? A.a<b<c C.c<a<b B.c<b<a D.b<a<c

)

1 6.函数 f(x)=lg x- 的零点所在的区间是(

x

)

A.(0,1) C.(10,100)

B.(1,10) D.(100,+∞) )

7.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y= x+1 B.y=(x-1)
2

C.y=2

-x

D.y=log0.5(x+1) )

8.若函数 f(x)满足 f(3x+2)=9x+8,则 f(x)的解析式是( A.f(x)=9x+8 B.f(x)=3x+2 C.f(x)=-3x-4 D.f(x)=3x+2 或 f(x)=-3x-4 9.若 sinα 是 5x -7x-6=0 的根, 3π 3π sin?(-α - )?sin?( -α )?tan2(?2π -α )? 2 2 则 =( π π cos(? -α )?cos(? +α )?sin(?π +α ?) 2 2 A. C. 3 5 4 5 5 B. 3 5 D. 4 )
2

)

1 2 10.函数 f(x)=log (1+2x-x )的值域为( 2 A.[-1,0) C.(0,1) B.[-1,+∞) D.[1,+∞)

→ → 11. 已知点 A(-1,1)、 B(1,2)、 C(-2, -1)、 D(3,4), 则向量AB在CD方向上的投影为( 3 2 A. 2 3 2 C.- 2 3 15 B. 2 3 15 D.- 2

)

12.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 均为正的常数)的最小正周期为 π ,当 x = 2π 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( 3 A.f(2)<f(-2)<f(0) C.f(-2)<f(0)<f(2) )

B.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上) 15 → → 13.已知△ABC 中,AB=a,AC=b,a·b<0,S△ABC= ,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹 4 角为_______. 14.设函数 f(x)=

x2+(a+1)x+a 为奇函数,则实数 a=________. x

15. 在扇形中, 已知半径为 8, 弧长为 12, 则圆心角是________弧度, 扇形面积是________. 16.下列说法中,正确的是________.(填序号)

①任取 x>0,均有 3 >2 ; ②当 a>0,且 a≠1 时,有 a >a ; ③y=( 3) 是增函数; ④y=2 的最小值为 1; ⑤在同一坐标系中,y=2 与 y=2 的图象关于 y 轴对称. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知全集 U=R,集合 A={x|1≤x<4},B={x|3x-1<x+5},求: (1)A∩B; (2)?UA∪B. 4 π 18.(本小题满分 12 分)已知 sinθ = , <θ <π , 5 2 (1)求 tanθ ; sin θ +2sinθ cosθ (2)求 的值. 2 2 3sin θ +cos θ 19.(本小题满分 12 分))设全集 U={2,4,-(a-3) },集合 A={2,a -a+2},若?UA ={-1},求实数 a 的值. 4 ?16? 1 4 3 6 0.25 20.(本小题满分 12 分) 化简:(1)( 2× 3) +( 2 2) -4? ?- - 2×8 -(- 3 ?49? 2 2 005) . (2)log2.56.25+lg 1 +ln(e e)+log2(log216). 100
0 2 2 2 |x| -x 3 2

x

x

x

-x

21.(本小题满分 12 分)旅行社为某旅游团包飞机旅游,其中旅行社的包机费为 15000 元.旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数为 30 人或 30 人以下, 每张飞机票的价格为 900 元;若旅游团的人数多于 30 人,则给予优惠,每多 1 人,每张机票 的价格减少 10 元,但旅游团的人数最多有 75 人. (1)写出飞机票的价格关于旅游团的人数的函数关系式; (2)旅游团的人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 22.(本小题满分 12 分)

f(x)是定义在 R 上的函数,对 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)

+f(y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(-1)=2. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)是 R 上的减函数; (3)求 f(x)在[-2,4]上的最值.

高 2015 级分科数学考试答案
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 【解析】 ∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6}, ∴?UA={2,4,7}. 【答案】 C 2.[解析] 4 - . 3 [答案] D 3. 【解析】 依题意 16=a ,∴a=4 或 a=-4(舍去). 【答案】 D 4. 【解析】 D 中 f(x)、g(x)的定义域不同,因此不是相等函数;而 C 只是表示变量的 字母不一样,表示的函数是相等的. 【答案】 A 1 1 5. 【解析】 ∵a=log 3<log 1=0, 2 2 0.2 0 ?1? <?1? =1, 0<b=? ? ? ? ?3? ?3?
2

x<0,r= x2+16,∴cosα =

1 2 = x,∴x =9,∴x=-3,∴tanα = x +16 5
2

x

c=2 >20=1,
∴c>b>a. 【答案】 A 1 9 6. 【解析】 ∵f(1)=-1<0,f(10)=1- = >0, 10 10 1 ∴f(1)·f(10)<0,由函数零点存在性定理知,函数 f(x)=lg x- 的零点所在的区间是

1 3

x

(1,10),故选 B. 【答案】 B 7. 【解析】 A 项,函数 y= x+1在[-1,+∞)上为增函数,所以函数在(0,+∞)上 为增函数,故正确;B 项,函数 y=(x-1) 在(-∞,1)上为减函数,在[1,+∞)上为增函数,
2

x ?1? -x 故错误;C 项,函数 y=2 =? ? 在 R 上为减函数,故错误;D 项,函数 y=log0.5(x+1)在(- ?2?

1,+∞)上为减函数,故错误. 【答案】 A 8. 【解析】 f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2, ∴f(x)=3x+2. 【答案】 B 9.[答案] B 3 2 [解析] 方程 5x -7x-6=0 的两根为 x1=- , 5

x2=2.则 sinα =-
原式=

3 5
2

cosα ?-cosα ?tan α 1 5 =- = . sinα ?-sinα ??-sinα ? sinα 3

10. 【答案】 B 【解析】

f(x)=log (1+2x-x2)=log [-(x-1)2+2],因为 0<-(x-1)2+2≤2,

1 2

1 2

1 1 1 2 且 y=log x 为减函数,因此有 f(x)=log [-(x-1) +2]≥log 2=-1,即其值域为[-1, 2 2 2 +∞). 11.[答案] A

[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算. → → → → 由条件知AB=(2,1),CD=(5,5),AB·CD=10+5=15. → → → 2 2 |CD|= 5 +5 =5 2,则AB在CD方向上的投影为 → → AB·CD 15 3 2 → → → |AB|cos〈AB,CD〉= = = ,故选 A. → 2 |CD| 5 2 12.[答案] A 2π [解析] ∵f(x)=Asin(ω x+φ )的最小正周期为 π ,且 x= 是经过函数 f(x)最小值 3 2π π π 点的一条对称轴,∴x= - = 是经过函数 f(x)最大值点的一条对称轴. 3 2 6 π 12-π π 5π -12 π π π π ∵|2- |= ,|(π -2)- |= ,|0- |= ,∴|2- |>|(π -2)- 6 6 6 6 6 6 6 6 |>|0 - π π 2π π 2π π 2π | ,且- <2< ,- <π - 2< ,- <0< ,∴ f(2)<f(π - 2)<f(0) ,即 6 3 3 3 3 3 3

f(2)<f(-2)<f(0).

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上) 13. [解析] 1 1 由 a·b<0 可知 a,b 的夹角 θ 为钝角,又 S△ABC= |a|·|b|sinθ ,∴ 2 2

15 ×3×5×sinθ = , 4 1 ∴sinθ = ?θ =150°. 2 【答案】 150°

x2+(a+1)x+a a a 14. 【解析】 f(x)= =x+ +a+1,因此有 f(-x)=-x+ +a+1, x x -x
又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)+f(x)=0,即 2a+2=0,所以 a=-1. 【答案】 -1

l 12 3 15.解析:圆心角 α = = = , r 8 2
1 1 扇形面积 S= lr= ×12×8=48. 2 2 3 答案: 2 48
x x

16. 【解析】 对于①,可知任取 x>0,3 >2 一定成立. 对于②,当 0<a<1 时,a <a ,故②不一定正确. 对于③,y=( 3) =?
-x 3 2

3 ? 3? x -x ? ,因为 0< 3 <1,故 y=( 3) 是减函数,故③不正确. ?3?
|x|

对于④,因为|x|≥0,∴y=2 的最小值为 1,正确. 对于⑤,y=2 与 y=2 的图象关于 y 轴对称是正确的. 【答案】 ①④⑤ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 【解】 (1)由已知得:
x
-x

B=(-∞,3),A=[1,4),
∴A∩B=[1,3). (2)由已知得: ?UA=(-∞,1)∪[4,+∞), ?UA∪B=(-∞,3)∪[4,+∞).

18.(本小题满分 12 分) 解:(1)∵sin θ +cos θ =1,∴cos θ =1-sin θ = 又 π 3 <θ <π ,∴cosθ =- . 2 5
2 2 2 2

9 . 25

sinθ 4 ∴tanθ = =- . cosθ 3 sin θ +2sinθ cosθ tan θ +2tanθ 8 (2) = =- . 2 2 2 3sin θ +cos θ 3tan θ +1 57
2 2

19.(本小题满分 12 分))
? ?-1∈U, 【解】 由?UA={-1},可得? ?-1?A, ? ? ?-(a-3) =-1, 所以? 2 ? ?a -a+2≠-1,
2

解得 a=4 或 a=2. 当 a=2 时,A={2,4},满足 A?U,符合题意; 当 a=4 时,A={2,14},不满足 A?U,故舍去. 综上,a 的值为 2. 20.(本小题满分 12 分) 1 1 6 1 1 4 7 1 3 【解】 (1)原式=(2 ×3 ) +(2 ×2 ) -4× -2 ×2 -1 3 2 2 4 3 4 4 4 =2 ×3 +2-7-2-1=100. 3 7 (2)原式=2-2+ +log24= . 2 2 21.(本小题满分 12 分) 【解】 (1)设旅游团人数为 x,飞机票价格为 y 元.当 30<x≤75 时,y=900-10(x-
?900(1≤x≤30,x∈N), ? 30)=-10x+1200.故所求函数为 y=? ? ?-10x+1200(30<x≤75,x∈N).
2 3

(2)













f(x)





f(x)



y·x



15000



? ?900x-15000(1≤x≤30,x∈N), ? 2 ?-10x +1200x-15000(30<x≤75,x∈N). ?

当 1≤x≤30 时,f(x)max=f(30)=12000; 当 30<x≤75 时,f(x)max=f(60)=21000>12000. 故旅游团的人数为 60 时,旅游社可获得最大利润.

22.(本小题满分 12 分) [解析] (1)f(x)的定义域为 R, 令 x=y=0,则 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0, 令 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)+f(x)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)设 x2>x1,

f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0, ∴f(x2)-f(x1)<0, 即 f(x2)<f(x1), ∴f(x)在 R 上为减函数. (3)∵f(-1)=2, ∴f(-2)=f(-1)+f(-1)=4, ∵f(x)为奇函数, ∴f(2)=-f(-2)=-4, ∴f(4)=f(2)+f(2)=-8, ∵f(x)在[-2,4]上为减函数, ∴f(x)max=f(-2)=4,

f(x)min=f(4)=-8.

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