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三角函数公式及其推导两种方法


三角函数公式及其推导
1. 三角函数的定义

A c b θ C a
Figure I

B

由此,我们定义: 如 Figure I, 在 ΔABC 中
对边 ) 斜边 邻边 ( ) 斜边 对边 ( ) 邻边 1 1 a 邻边 ?? 的余切值: cot ? ? ? ? ( ) tan ?

b b 对边 a 1 1 c 斜边 ?? 的正割值: sec ? ? ? ? ( ) cos ? a a 邻边 c 1 1 c 斜边 ?? 的余割值: csc ? ? ? ? ( ) sin ? b b 对边 c 备注:当用一个字母或希腊字母表示角时,可略写∠符号,但用三个子母表 示时,不能省略。在本文中,我们只研究 sin、cos、tan。 2. 额外的定义 ?? 的正弦值: sin ? ? ( b c a ?? 的余弦值: cos ? ? c b ?? 的正切值: tan ? ? a

sin 2 ? ? (sin ? ) 2 cos 2 ? ? (cos ? ) 2 tan 2 ? ? (tan ? )2

3. 简便计算公式
b ? cos A ? cos(90 ? ?? ) c c cos ? ? ? sin A ? sin(90 ? ?? ) b b 1 1 1 tan ? ? ? ? ? a a tan A tan(90 ? ?? ) b 2 2 sin ? ? cos ? ? 1 sin ? ?

证明: 在?ABC中,?ABC ? 90

? a 2 ? b2 ? c2 a 2 b2 ? 2 ? 2 ?1 c c 2 ? sin B ? sin A ? 1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 证完 b b c sin ? tan ? ? ? ? a a cos ? c sin 2 ? cos 2 ? 1 tan 2 ? ? 1 ? ? ? 2 2 cos ? cos ? cos 2 ? 4. 任意三角形的面积公式

C

a

h

b

d B c
Figure II

e A

如 FigureII,

1 S?ABC ? ah 2 1 ? ab sin C 2 1 ? ac sin B (两边和其夹角正弦的乘积) 2
5. 余弦定理:任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与 两邻边积的两倍之比。 证明: 如 Figure II,
b2 ? d 2 ? h2 ? (a ? c cos B) 2 ? (c sin B) 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? c 2 cos 2 B ? c 2 sin 2 B =a 2 ? 2ac cos B ? c 2 (cos 2 B ? sin 2 B) ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? cos B ? b2 ? a 2 ? c2 a 2 ? c2 ? b2 ? ?2ac 2ac

证完 6. 海伦公式 证明: 如 Figure II,

S ?ABC ?

1 ab sin C 2 1 ? ab 1 ? cos 2 C 2 ? a 2 ? b2 ? c2 ? 1 ? ab 1 ? ? ? 2 2ab ? ? ? ?
2

1 a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2a 2b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2c 2 ab 1 ? 2 4a 2 b 2 1 4a 2b 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2a 2b 2 ? 2a 2c 2 ? 2b 2c 2 ab 2 4a 2b 2

1 2 2 4a 2b 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2a 2b 2 ? 2a 2c 2 ? 2b 2c 2 ? ab ? 4 4a 2b 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ? ? a ? b ? c ? 2a b ? 2a c ? 2b c ? ? ab ? 4 4a 2b 2

?

? a ? b ? c ?? a ? b ? c ?? b ? c ? a ?? a ? b ? c ?
16

? ? ? 设:s =

? a ? b ? c ? 2c ?? a ? b ? c ? 2b ?? a ? b ? c ? 2a ?? a ? b ? c ?
2? 2? 2? 2 a ? b ? c ? 2c a ? b ? c ? 2b a ? b ? c ? 2a a ? b ? c ? ? ? 2 2 2 2 a?b?c ? a?b?c ?? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? a ?? ? b ?? ? c? ? 2 2 2 2 ? ?? ?? ? a?b?c 2

S ?ABC ? s ? s ? a ?? s ? b ?? s ? c ?

7. 正弦定理

A

c

O

B

a

C

Figure III

如 Figure III, c 为 ΔABC 外接圆的直径,
sin A ? ?c ? a c

a ? 2r (r为?ABC 的外接圆半径) sin A

同理:
b c ,c? sin B sin C a b c ? ? ? ? 2r sin A sin B sin C c?

8. 加法定理 (1) 两角差的余弦

y

A B (α-β) α β O C x

Figure IV

如 Figure IV,

?AOC ? ?? ?BOC ? ?? ?AOB ? ?? ? ??
令 AO=BO=r 点 A 的横坐标为 xA ? r cos ? 点 A 的纵坐标为 yA ? r sin ? 点 B 的横坐标为 xB ? r cos ? 点 B 的纵坐标为 yB ? r sin ?
AB 2 ? ? y A ? yB ? ? ? x A ? xB ?
2 2 2 2

? ? r sin ? ? r sin ? ? ? ? r cos ? ? r cos ? ?

? r 2 sin 2 ? ? r 2 sin 2 ? ? 2r 2 sin ? sin ? ? r 2 cos 2 ? ? r 2 cos 2 ? ? 2r 2 cos ? cos ? ? r 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 2 cos ? cos ? ? ? r 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2sin ? sin ? ? 2 cos ? cos ? ? ? r2 ? ?1 ? 1 ? 2 ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? r2 ? ? 2 ? 2 ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? 2r 2 ? ?1 ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? ? ?

由余弦公式可得:

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?ACB ? r 2 ? r 2 ? 2r ? r cos ?? ? ? ? ? 2r 2 ? 2r 2 cos ?? ? ? ? ? r2 ? ? 2 ? 2 cos ?? ? ? ? ? ? ? 2r 2 ? ?1 ? cos ?? ? ? ? ? ?
综上得: cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? (2) 两角和的余弦 cos ?? ? ? ? ? cos ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

? sin ? sin ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ?

? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? (3) 两角和的正弦

sin ?? ? ? ? ? cos ? ?90? ? ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ?? 90? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? 90? ? ? ? sin ? ? cos ? 90? ? ? ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? cos ?
(4) 两角差的正弦 sin ?? ? ? ? ? sin ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

? cos ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ?

? ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? (5) 两角和的正切

tan ?? ? ? ? ? ?

sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ?

cos ? sin ? ? sin ? cos ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? cos ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 1? cos ? cos ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

(6) 两角差的正切

tan ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
9. 两倍角公式

tan ? ? tan ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

sin ? 2? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? 2sin ? cos ? cos ? 2? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 tan ? 2? ? ? ? sin ? 2? ? cos ? 2? ?

2sin ? cos ? cos 2 ? ? sin 2 ? 2sin ? cos ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? cos 2 ? 2sin ? ? cos ? sin 2 ? 1? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 ? tan 2 ?
10. 积化和差公式

sin ? cos ? ?

1 ? 2sin ? cos ? ? 2 1 ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? cos ? sin ? ? 2 1 ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? 2?

cos ? cos ? ?

1 ? 2 cos ? cos ? ? 2 1 ? ? cos ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? sin ? sin ? ? 2 1 ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? 2? 1 sin ? sin ? ? ? 2sin ? sin ? ? 2 1 ? ? sin ? sin ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? cos ? cos ? ? 2 1 ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? 2?

11. 和差化积公式 (1) 设:A=α+β, B=α-β,

sin A ? sin B ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2sin ? cos ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2sin ? ? cos ? ? 2 2 ? ? ? ? ? A? B ? ? A? B ? ? 2sin ? ? cos ? ? ? 2 ? ? 2 ? sin A ? sin B ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2 cos ? sin ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? ? sin ? ? 2 2 ? ? ? ? ? A? B ? ? A? B ? ? 2 cos ? ? sin ? ? ? 2 ? ? 2 ?
(2) 设: cos ? ?
a a ?b
2 2

, sin ? ?

b a ?b
2 2

, ∵ cos2 ? ? sin 2 ? ? 1

a sin ? ? b sin ? ? a 2 ? b 2 ?

a a 2 ? b2

? sin ? ? a 2 ? b 2 ?

b a 2 ? b2

? cos ?

? a 2 ? b 2 ? ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? ? a 2 ? b 2 ? sin ?? ? ? ?

12. 其他常用公式
sin ?? ? n ? 3600 ? ? sin ? cos ?? ? n ? 3600 ? ? cos ? tan ?? ? n ? 3600 ? ? tan ? sin ? 90? ? ? ? ? cos ? cos ? 90? ? ? ? ? sin ? 1 tan ? sin ? 90? ? ? ? ? cos ? tan ? 90? ? ? ? ? cos ? 90? ? ? ? ? ? sin ? 1 tan ? sin ?? ? 90? ? ? ? cos ? tan ? 90? ? ? ? ? ? cos ?? ? 90? ? ? sin ? 1 tan ? sin ?180? ? ? ? ? sin ? tan ?? ? 90? ? ? ? cos ?180? ? ? ? ? ? cos ? tan ?180? ? ? ? ? ? tan ? sin ?? ? 180? ? ? ? sin ? cos ?? ? 180? ? ? ? cos ? tan ?? ? 180? ? ? tan ? sin ? ?? ? ? ? sin ? cos ? ?? ? ? cos ? tan ? ?? ? ? ? tan ? tan ? ?? 2n ? 1? ? 90?? ? 不存在 ?1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ?1 ? sin ? ? 1 ? sin ? ? 1

13. 特殊的三角函数值

0? ? 0?

?? ? 15? ? ? ? 12 ? 6? 2 4 6? 2 4

?? ? 30? ? ? ?6?
1 2

?? ? 45? ? ? ?4? 2 2 2 2

?? ? 60? ? ? ?3? 3 2
1 2

? 5? ? 75? ? ? ? 12 ? 6? 2 4 6? 2 4

?? ? 90? ? ? ?2?

sin

0

1

cos

1

3 2 3 3

0

tan

0

2? 3

1

3

2? 3

N/A

14. 关于机器算法 在计算机中,三角函数的算法是这样的,其中 x 用弧度计算
sin x ? x1 x3 x5 x 7 ? ? ? ? 1! 3! 5! 7! ??
0

x 2 n ?1 n ?? ? 2 n ? 1? !
0

x0 x2 x4 x6 cos x ? ? ? ? ? 0! 2! 4! 6!

xn ?? n ?? ? 2 n ? !

推导公式:(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中,R 为外接圆半径) 由正弦定理有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 所以 a=2R*sinA b=2R*sinB c=2R*sinC 加起来 a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入 (a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA 对数的性质及推导 用^表示乘方,用 log(a)(b)表示以 a 为底,b 的对数 *表示乘号,/表示除号 定义式:

若 a^n=b(a>0 且 a≠1) 则 n=log(a)(b) 基本性质: 1.a^(log(a)(b))=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 推导 1.这个就不用推了吧, 直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入 a^n=b) 2. MN=M*N 由基本性质 1(换掉 M 和 N) a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N) 3.与 2 类似处理 MN=M/N 由基本性质 1(换掉 M 和 N) a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以

log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N) 4.与 2 类似处理 M^n=M^n 由基本性质 1(换掉 M) a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 其他性质: 性质一:换底公式 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a) 推导如下 N=a^[log(a)(N)] a=b^[log(b)(a)] 综合两式可得 N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 又因为 N=b^[log(b)(N)] 所以 b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 所以 log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的} 所以 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a) 性质二:(不知道什么名字)

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下 由换底公式[lnx 是 log(e)(x),e 称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n) 由基本性质 4 可得 log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] --------------------------------------------(性质及推导完) 公式三: log(a)(b)=1/log(b)(a) 证明如下: 由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以 b 为底的对 数,log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)*log(b)(a)=1 平方关系: sin^2(α )+cos^2(α )=1 tan^2(α )+1=sec^2(α ) cot^2(α )+1=csc^2(α ) ·商的关系: tanα =sinα /cosα cotα =cosα /sinα ·倒数关系: tanα ·cotα =1

sinα ·cscα =1 cosα ·secα =1 万能公式: sinα =2tan(α /2)/[1+tan^2(α /2)] cosα =[1-tan^2(α /2)]/[1+tan^2(α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan^2(α /2)] 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )=sinα cos(2kπ +α )=cosα tan(2kπ +α )=tanα cot(2kπ +α )=cotα 公式二: 设 α 为任意角,π +α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π +α )=-sinα cos(π +α )=-cosα tan(π +α )=tanα cot(π +α )=cotα 公式三: 任意角 α 与-α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )=-sinα cos(-α )=cosα tan(-α )=-tanα

cot(-α )=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )=sinα cos(π -α )=-cosα tan(π -α )=-tanα cot(π -α )=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )=-sinα cos(2π -α )=cosα tan(2π -α )=-tanα cot(2π -α )=-cotα 公式六: π /2±α 及 3π /2±α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π /2+α )=cosα cos(π /2+α )=-sinα tan(π /2+α )=-cotα cot(π /2+α )=-tanα sin(π /2-α )=cosα cos(π /2-α )=sinα tan(π /2-α )=cotα cot(π /2-α )=tanα sin(3π /2+α )=-cosα

cos(3π /2+α )=sinα tan(3π /2+α )=-cotα cot(3π /2+α )=-tanα sin(3π /2-α )=-cosα cos(3π /2-α )=-sinα tan(3π /2-α )=cotα cot(3π /2-α )=tanα (以上 k∈Z) 一般的最常用公式有: Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 平方关系: sin^2(α )+cos^2(α )=1 tan^2(α )+1=sec^2(α ) cot^2(α )+1=csc^2(α ) ·积的关系: sinα =tanα *cosα cosα =cotα *sinα tanα =sinα *secα cotα =cosα *cscα

secα =tanα *cscα cscα =secα *cotα ·倒数关系: tanα ·cotα =1 sinα ·cscα =1 cosα ·secα =1 直角三角形 ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边, 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数: cos(α +β )=cosα ·cosβ -sinα ·sinβ cos(α -β )=cosα ·cosβ +sinα ·sinβ sin(α ±β )=sinα ·cosβ ±cosα ·sinβ tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα ·tanβ ) tan(α -β )=(tanα -tanβ )/(1+tanα ·tanβ ) ·辅助角公式: Asinα +Bcosα =(A^2+B^2)^(1/2)sin(α +t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) ·倍角公式: sin(2α )=2sinα ·cosα =2/(tanα +cotα ) cos(2α )=cos^2(α )-sin^2(α )=2cos^2(α )-1=1-2sin^2(α )

tan(2α )=2tanα /[1-tan^2(α )] ·三倍角公式: sin(3α )=3sinα -4sin^3(α ) cos(3α )=4cos^3(α )-3cosα ·半角公式: sin(α /2)=±√((1-cosα )/2) cos(α /2)=±√((1+cosα )/2)

tan(α /2)=±√((1-cosα )/(1+cosα ))=sinα /(1+cosα )=(1-cosα )/sinα ·降幂公式 sin^2(α )=(1-cos(2α ))/2=versin(2α )/2 cos^2(α )=(1+cos(2α ))/2=vercos(2α )/2 tan^2(α )=(1-cos(2α ))/(1+cos(2α )) ·万能公式: sinα =2tan(α /2)/[1+tan^2(α /2)] cosα =[1-tan^2(α /2)]/[1+tan^2(α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan^2(α /2)] ·积化和差公式: sinα ·cosβ =(1/2)[sin(α +β )+sin(α -β )] cosα ·sinβ =(1/2)[sin(α +β )-sin(α -β )] cosα ·cosβ =(1/2)[cos(α +β )+cos(α -β )] sinα ·sinβ =-(1/2)[cos(α +β )-cos(α -β )] ·和差化积公式: sinα +sinβ =2sin[(α +β )/2]cos[(α -β )/2] sinα -sinβ =2cos[(α +β )/2]sin[(α -β )/2]

cosα +cosβ =2cos[(α +β )/2]cos[(α -β )/2] cosα -cosβ =-2sin[(α +β )/2]sin[(α -β )/2] ·其他:

sinα +sin(α +2π /n)+sin(α +2π *2/n)+sin(α +2π *3/n)+??+sin[α +2π *( n-1)/n]=0

cosα +cos(α +2π /n)+cos(α +2π *2/n)+cos(α +2π *3/n)+??+cos[α +2π *( n-1)/n]=0 以及 sin^2(α )+sin^2(α -2π /3)+sin^2(α +2π /3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 部分高等内容 ·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得): sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数, e^z=exp(z)=1+z/1! +z^2/2! +z^3/3! +z^4/4! +?+z^n/n!+? 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解: 对于微分方程组 y=-y'';y=y'''',有通解 Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。 补充: 由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数,其拥 有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣。 特殊三角函数值 a0`30`45`60`90` sina01/2√2/2√3/21

cosa1√3/2√2/21/20 tana0√3/31√3None cotaNone√31√3/30 三角函数的计算 幂级数 c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞) 它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中 c0,c1,c2,...cn...及 a 都是常数, 这种级数称为幂级数. 泰勒展开式(幂级数展开法):

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+... 实用幂级数: ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+... ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|<1) sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞<x<∞) cosx=1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞<x<∞) arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...(|x|<1) arccosx=π -(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1) arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...(x≤1) sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞<x<∞) coshx=1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞<x<∞) arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-...(|x|<1) arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x|<1)

------------------------------------------------------------------------------傅立叶级数(三角级数) f(x)=a0/2+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx) a0=1/π ∫(π ..-π )(f(x))dx an=1/π ∫(π ..-π )(f(x)cosnx)dx bn=1/π ∫(π ..-π )(f(x)sinnx)dx 注意:正切也可以表示为“Tg”如:TanA=TgA Sin2a=2SinaCosa Cos2a=Cosa^2-Sina^2 =1-2Sina^2 =2Cosa^2-1 Tan2a=2Tana/1-Tana^2
众所周知,在数学和物理中,三角函数是一个重要的工具,以下是一些推导公式,希望对大家有 作用 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 cos^2a=(1+cos2a)/2 tan^2(α)+1=sec^2(α) sin^2a=(1-cos2a)/2 cot^2(α)+1=csc^2(α) · 积的关系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα · 倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形 ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边, 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, · 三角函数恒等变形公式 · 两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) · 三角和的三角函数: sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) · 辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B · 倍角公式: sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/*1-tan^2(α)+ · 三倍角公式: sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα · 半角公式: sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα · 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) · 万能公式: sinα=2tan(α/2)/*1+tan^2(α/2)+ cosα=*1-tan^2(α/2)+/*1+tan^2(α/2)+

tanα=2tan(α/2)/*1-tan^2(α/2)+ · 积化和差公式: sinα·cosβ=(1/2)*sin(α+β)+sin(α-β)+ cosα·sinβ=(1/2)*sin(α+β)-sin(α-β)+ cosα·cosβ=(1/2)*cos(α+β)+cos(α-β)+ sinα·sinβ=-(1/2)*cos(α+β)-cos(α-β)+ · 和差化积公式: sinα+sinβ=2sin*(α+β)/2+cos*(α-β)/2+ sinα-sinβ=2cos*(α+β)/2+sin*(α-β)/2+ cosα+cosβ=2cos*(α+β)/2+cos*(α-β)/2+ cosα-cosβ=-2sin*(α+β)/2+sin*(α-β)/2+ · 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 · 其他: sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin*α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos*α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx

证明: 左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx =[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx (积化和差) =[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边 等式得证 sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx 证明: 左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx) =[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) =- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边 等式得证 编辑本段三角函数的角度换算

公式一:

设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα

公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α 及 3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上 k∈Z)


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