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建立概率模型解决实际问题 12、3确定版教学详案 龚彪 - 副本


建立概率模型解决实际问题 教学实例

武汉市汉铁高级中学 龚彪

建立概率模型解决实际问题
教学实例

一、 教学设计
1. 教学目的:
通过实际问题使学生初步理解现实世界上大量事件的不确定性, 同时能够运用概率知识 进行一些简单的判断和决策. 利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象

, 体会概率模型的作用及运用概率思 想思考和解决问题. 2. 3.

教学重点:建立概率模型解决实际问题 教学难点:建立概率模型

二、 课堂实录
同学们,我们日常生活中的很多实际问题都可以转化为数学问题.下面我们一起看一个 生活中的视频. 视频播放. 老师: 视频播放了海豚在设计的水池中吹气泡泡, 请问每次都能成功吗?成功吹气泡泡 的可能性有多大呢?今天对于这个问题我想和同学们共同思考.请同学们看导学案上的例题 1,分析题意,找到解决问题的相关信息. 例 1:某海洋世界公园中,海豚在水池中自由游弋时,表演吹气泡泡的节目,现在水池 的长 30 米,宽 20 米,水深 6 米,不妨假设当海豚嘴尖离水池的池壁、池底及水面的距离不 少于 1 米时能成功的吹气泡泡,求海豚能成功吹气泡泡的概率? 老师:下面请这位同学回答我的问题: 老师:海豚能吹气泡泡的区域? 学生:水池中含水的区域(图形演示). 老师:海豚能成功吹气泡泡的区域? 学生:海豚嘴尖离池壁、池底及水面的距离不少于 1 米(图形演示). 老师:你能用什么知识来解决成功吹气泡的概率呢? 学生:几何概型. 老师:因为海豚在水中自由游弋,所以其嘴尖在水池中的任何位置是等可能的,且嘴尖 位置有无数种可能性.因此可以根据题意可以建立几何概型. 老师:该题怎样利用几何概型公式求解呢? 学生: P ? 28 ? 18 ? 4 ? 14
30 ? 20 ? 6 25

老师:同学们,我们知道:几何概型只是概率模型中的一类,其实我们还可以建立其他 的概率模型来解决生活中的实际问题,请看. 视频播放:随着经济的高速发展,不少大型城市进行汽车限牌政策,严重影响了轿车的 销售量,从而影响了轿车生产商销售利润,为了保证销售利润,各轿车生产商不得不面临生 产策略的调整. 老师:在当前大背景下,某轿车生产商也面临着生产策略的调整,今天我们就从该企业 入手,请同学们出谋划策,解决导学案上的例题 2. 例 2:受轿车在保修期内维修费用等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首 次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该

厂已出售的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆,统计数据如下: 品牌 首次出现故障 时间 x(年) 轿车数量(辆) 0<x≤1 甲 1<x≤2 x>2 0<x≤2 乙 x>2

2

3

45

5

45

每辆利润(万元)

1

2

3

1.8

2.9

该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当, 由于资金限制, 只能生产其中一种品牌的轿车, 若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车? 老师:下面请同学们认真审题,分析例题 2 中的主要信息及其联系. 学生思考 2 分钟. 老师:本题需要我们解决的问题是什么? 学生:选择生产何种品牌的轿车. 老师:解决此问题由什么来确定? 学生:甲、乙两种品牌轿车经济效益的大小比较. 老师:我们能否建立一种概率模型来确定经济效益的大小呢? 学生:...... 老师:对于甲品牌在总体中每辆轿车的利润的取值可能为 1 万元、2 万元或 3 万元为随 机变量, 且每个取值在总体中所占的比例不同, 因此可以建立以每辆轿车的利润为随机变量 的分布列模型. 经过以上分析,下面我们一起来完成具体的解题过程. 解:生产一辆甲品牌轿车利润为 X1 万元,生产一辆乙品牌轿车利润为 X2 万元 X1 的分布列:

X1
P

1

2

3

2 50

3 50

45 50



2 的依据:古典概型.在样本中,任取一辆轿车有 50 个基本事件,利润为 1 万元有 50

2 个基本事件,因此利用古典概型求解.

EX 1 ? 1?

2 3 45 ? 2 ? ? 3 ? ? 2.86 (万元) 50 50 50

X2 的分布列:

X2
P

1.8

2.9

5 50

45 50

EX 2 ? 1.8 ?

5 45 ? 2.9 ? 2.79 (万元) 50 50

∴生产甲品牌轿车. 同学们,我们一起来回顾下例题 2 的解题思路:通过审题得知:总体中每辆轿车利润为 随机变量,且每个取值在总体中所占的比例不同,因此建立了随机变量分布列模型,然后求 出随机变量的数学期望得到实际问题的解. 老师:下面请同学们再看一个我认为比较难的实际问题. 播放视频: 湖北省某市周边有着丰富的水资源条件, 为了充分利用现有资源来改善居民 用电困难,计划在某水库建一座水电站. 老师: 下面请同学们根据该市政府提供的相关数据资料, 帮助该市政府解决例题 3 的问 题? 例 3:湖北省某市计划在当地水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的 水文资料显示,水库年入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立 方米) 都在 40 以上, 其中不足 80 的年份有 10 年, 不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年, 超过 120 的年份有 5 年, 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率, 并假设各年的年 入流量相互独立, 水电站希望安装的发电机尽可能运行, 但每年发电机最多可运行台数受年 入流量 X 的限制,并有如下关系:

年入流量 发电机最多可运行台数

40<X<80 1

80≤X≤120 2

X>120 3

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润均值达到最大,应安装发电机多少台? 老师:下面请同学们认真审题分析例题 3 中的主要信息及其联系. 学生审题 老师:本题需要我们解决的问题是什么? 学生:确定安装发电机的台数; 老师:解决此问题由什么来确定? 学生:安装不同台数时水电站年总利润均值的大小比较; 若学生回答不准确时,进行以下引导: 老师:水电站可以安装多少台发电机呢? 学生:1 台、2 台或 3 台.

老师:安装后最多运行的台数由什么来限制呢? 学生:年入流量. 老师:我们知道:年入流量是一个随机变量,并不是安装的越多越好,因为有盈利有亏 损,那么,解决此问题到底由什么来确定呢? 学生:安装不同台数时水电站年总利润均值的大小比较; 老师:下面我们一起听听一个同学对例题 3 的分析. 老师:板书:根据以上分析,解决此问题的依据:建立以年总利润为随机变量的分布列 模型,求出随机变量的数学期望. 设年总利润为 Y 万元 安装 1 台: Y ? 5000 (万元) 安装 2 台:

Y

4200

10000

P

10 50

40 50

EY ? 4200 ? 0.2 ? 10000 ? 0.8 ? 8840 (万元)
安装 3 台:

Y

3400

9200

15000

P

10 50

35 50

5 50

EY ? 3400 ? 0.2 ? 9200 ? 0.7 ? 15000 ? 0.1 ? 8620 (万元)
∴安装 2 台发电机.

课堂小结: 通过本节课的学习,你有哪些收获? 老师: 今天我们主要是建立概率模型解决实际问题, 请同学们在今后的社会实践中多收 集相关素材体会今天所讲的内容并完成课后作业.

三、 课后反思
可取之处:一是通过问题的提出,能积极调动学生思考问题,课堂气氛活跃;二是学生 通过本节课的学习,初步有了建立概率模型的意识;三是通过三个实际问题,学生体会到数 学来源于生活又服务于生活. 改进之处: 一是在审题时, 对问题的设置更明确更具体; 二是对学生回答问题要有预案.


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