高二数学试卷(理科)

麻城博达学校供题高二 高二数学（理科）
部长办公室 本试卷共4页，共21题。满分150分。考试用时120分钟。

A． x ? 1 是 x ? 1 ?
3

x ?1 的必要不充分条件
3

B． a ? b ? 0 是 a ? b ? 0 的充分不必要条件 C． x ? 2 k? ?

/>
?
4

(k ? Z ) 是 (sin x)? ? (cos x)? 的充要条件

D． ab ? 1 是 a ? 1且b ? 1 的必要不充分条件 6．如图，已知二面角 ? ? l ? ? 为 60 ，点 A ? ? ， AC ? l ，C 为 垂足，点 B ? ? ， BD ? l ， D 为垂足，且 AC ? 2 ，CD ? 3 ，

★ 祝考试顺利 ★
注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2． 选择题的作答： 每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题 卷、草稿纸上无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。

?

A

DB ? 1 ，则 AB 的长度为 (
A． 4 C． 3 3 7．设双曲线 C：

) C

B． 2 3

D

3 6 D． 2

?
第 6 题图

?
B

l

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 e ，则斜率为 k 的直线与双曲线 C 的左、右两 a 2 b2
）
2

支都相交的充要条件是（ A． k
2

第I卷
题目要求的.) 1．椭圆

选择题（共 50 分）

? e2 ? 1
?x

B． k

? e2 ? 1

C． e

2

? k2 ?1
?1

D． e

2

? k2 ?1

—、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

8．曲线 y ? e （ e 为自然对数的底数）在点 M (1, e ) 处的切线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形的面积 为（ ）

x ? y 2 ? 1的焦距 比短轴 长 ( ．． ．． 10
B． 2 10 ? 2

2

) C． 2 D． 4 )

A．

1 e
2

B．

2 e

C． e

D． 2e

A． 10 ? 1 2．向量 a ＝ (1, 2, x) , A． ? 2

9．抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F ，其准线经过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点，点 M 为这两 a 2 b2
）

b ＝ (2, y, ?1) ，若 | a | ＝ 5 , 且 a ? b ，则 x ? y 的值为(
B． 2 ) C． ? 1 D． 1

条曲线的一个交点，且 | MF |? 2 ，则双曲线的离心率为（ A．

3．下列选项中，说法正确的是(
2 2

A．若命题“ p ? q ”为真命题，则命题 p 和命题 q 均为真命题； B．命题“若 am ? bm ，则 a ? b ”的逆命题 是真命题； ．．． C．命题“若 a ? ?b ，则 a ? b ” 的否命题 是真命题； ．．． D．命题“若 {a, b, c} 为空间的一个基底，则 {a ? b, b ? c, c ? a}构成空间的另一个基底”的逆否命 ．．． 题 为真命题； ． 4．一个质量为 1kg 的物体作直线运动，设运动距离 s （单位： m ）与时间 t （单位： s ）的关系可用函
2 数 s(t ) ? (2t ? 1) 表示，并且物体的动能 Ek ?

10 2

B． 2

C． 5

D．

5 2
D1 A1 E G D A F 第 10 题图 B C B1 C1

10．已知正方体 ABCD ? A 1B ， AB 和 AC 1B 1C1D 1 ，点 E ， F ， G 分别是线段 B 1 上的动点，观察直线

CE 与 D1F ， CE 与 D1G ．给出下列结论：
①对于任意给定的点 E ，存在点 F ，使得 D1F ? CE ； ②对于任意给定的点 F ，存在点 E ，使得 CE ? D1F ； ③对于任意给定的点 E ，存在点 G ，使得 D1G ? CE ； ④对于任意给定的点 G ，存在点 E ，使得 CE ? D1G ． 其中正确结论的序号是（ ) A．①③ C．②③ B．①④ D．②④
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A． 18 J

B． 36 J ）

1 2 mv ，则物体开始运动后第 2 s 时的动能是( 2 C． 72 J D． 144 J

）

5．下列命题中，真命题的是（

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第 II 卷 非选择题（共 100 分）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡相应位置.) 11．命题“ ?x ? (0, ??), 2x ? x2 ”的否定是 ． 12．右图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米， 水位上升 1 米后，水面宽 米． 13 ．在空间直角坐标系中，点 O(0,0,0) ，点 A(1,1,1)和点 B(3, 4, 5)构成的

19． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? ln x ? （1）若 a ?

a ， a 为常数． x ?1

9 ，求函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的值域； （ e 为自然对数的底数， e ? 2.72 ） 2 （2）若函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 [1, 2] 上为单调减函数，求实数 a 的取值范围．
20．(本题满分为 13 分) 如图，已知矩形 ABCD 中， AB ? 2, AD ? 1 , M 为 DC 的中点. 将 ?ADM 沿 AM 折起，使得平 面 ADM ? 平面 ABCM . （1）求证： AD ? BM ； （2）求 DC 与平面 ADM 所成的角的正弦值； （3）若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

OAB 的面积是 ． 2 2 x y ? ? 1 右支上一点，F 为双曲线 C 的左焦点，点 A(0,3), 14． P 为双曲线 4 3
则 PA ? PF 的最小值为 .

第 12 题图

15 ．已知 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x ? abc ， a ? b ? c ，且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 ，现给出如下结论： abc ? 4 ；⑥ abc ? 4 ；其中 ①f (0) f (1) ? 0 ；②f (0) f (1) ? 0 ；③f (0) f (3) ? 0 ；④f (0) f (3) ? 0 ；⑤ 正确结论的序号是 ． （写出所有正确的序号）

5 . 5

三、解答题(本大题共 6 小题，满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤.)
16． （本小题满分 12 分）
2 已知 p :“过定点 (0,1) 的动直线 l 恒与椭圆 x ?

y2 ? 1有两个不同的公共点” ； a
A 第 20 题图 21． （本小题满分 14 分） 在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径 . 如图，已知椭圆

3 2 “函数 f ( x) ? x ? ax ? 2ax ? 1 在 R 上存在极值” ； q：

1 3

若命题“ p 且 q ”是假命题，“ p 或 q ”是真命题，求实数 a 的取值范围．

17． （本小题满分 12 分） 如图， 平行六面体 ABCD ? A 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，AA 1B 1C1D 1 中， 1 ? 2, 设 AB ? a ， D 1 AD ? b ， AA ? c
1

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，其离心率为 ，通径长为 3 . 2 2 a b
（1）求椭圆的方程； （2）过 F2 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点， （ⅰ）问在 x 轴上是否存在定点 C ，使 CA ? CB 恒为常数？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在， 说明理由. （ⅱ ）延长 BF1 交椭圆于点 M ， I1、I 2 分别为 ?F1 BF2 、?F 1MF 2 的内心，证明四边形 F 1I 2 F2 I1 与

（1）试用 a ， b ， c 表示向量 AC 、 BD1 ；

C1 B1 D A C B

A1 AC （2）若 ?A ，求直线 与 所成的角 . BD AD ? ? A AB ? 120 1 1 1

?MF2 B 的面积的比值恒为定值，并求出这个定值.

y

B
18． （本小题满分 12 分） 第 17 题图 在直角坐标平面内，动点 M ? x, y ? 在 y 轴的左侧，且点 M 到定点 F ? ?1,0? 的距离与到 y 轴的距离

之差为 1 . （1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （2）若过点 P(?3, ?2) 的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，且点 P 恰好是 AB 的中点，求线段 AB 的 长度.

F1 I2
M

I1
O

F2

x

A
第 21 题图

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