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广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一上学期入学考试数学试卷


2015 高一入学考试数学试题
一、选择题 1、下列叙述正确的是 ( ) (B)若 a ? b ,则 a ? b (D)若 a ? b ,则 a ? ?b )

(A)若 a ? b ,则 a ? b (C)若 a ? b ,则 a ? b
2

2、已知关于 x 的方程 x +k x -2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2

3、如图,BD、CE 是 ?ABC 的中线,P、Q 分别是 BD、CE 的中点, 则 PQ : BC 等于( (A)1:3 (C)1:5 )

(B)1:4 (D)1:6

4、函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是( (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个

) (D)无法确定 ( )

5、 如果关于 x 的方程 x2-2(1-m)x+m2=0 有两实数根 α, β, 则 α+β 的取值范围为 (A)α+β ≥

1 2

(B)α+β ≤
2 2

1 2

(C)α+β ≥ 1

(D)α+β ≤ 1 )

6、不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值( (A)总是正数 (C)可以是零 (B)总是负数

(D)可以是正数也可以是负数

2 7、方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的根可视为函数 y ? x ? 3 的图象与函数 y ?

1 的图象交点的横坐标, x

则方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的实根 x 0 所在的范围是(
2



(A)0<x 0 <

1 4

(B)

1 1 <x 0 < 4 3

(C)

1 1 1 <x 0 < (D) <x 0 <1 3 2 2

8、下列四个说法:其中正确说法的个数是(

)个

①方程 x 2 +2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x 2 -2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7;
7 ③方程 3 x 2 -7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ? ; 3

④方程 3 x 2 +2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0。

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
9、如图,已知 ?ABC 周长为 1,连结 ?ABC 三边的中点构成第二个三角形,再连结第二个对 角线三边中点构成第三个三角形,依此类推,第 2003 个三角形周长为( (A) )

1 2002 1 (C) 2002 2

10 、 等式

1 2003 1 (D) 2003 2 x x 成立的条件是 ? x?2 x?2
(B)





(A) x ? 2
二、填空题

(B) x ? 0

(C) x ? 2

(D) 0 ? x ? 2

11、方程 2 x +2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|=

2



12、已知四边形 ABCD 是⊙O 的内接梯形,AB//CD,AB=8cm,CD=6cm, ⊙O 的半径等于 5cm, 则梯形 ABCD 的面积为 。 。 点 C 为半圆 若圆弧 BC A O 第 14 题
2

13、分解因式: x 2 ? xy ? 3 y ? 3x = 14、如图, AB 是半圆 O 的直径,且 AB ? 8 , 上的一点.将此半圆沿 BC 所在的直线折叠, 恰好过圆心 O ,则图中阴影部分的面积 是 . (结果保留 ? )
2

C

B

15、已知一元二次方程 x ? (2m ? 1) x ? m ? m ? 0 的两根均大于 0 且小于 2,则 m 的取值 范围为 16、已知 x ? 三、解答题 17、若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2 x +5x-3=0 的两根。 (1)求| x1 - x2 |的值; (2)求
2



3? 2 3? 2 2 2 ,则 3x ? 5xy ? 3 y 的值是 ,y? 3? 2 3? 2



1 1 ? 2 的值; 2 x1 x2

(3)求 x1 + x 2 的值。

3

3

18、二次函数 y ? ? x ? mx ? 1 与 x 轴两交点分别为 A( x1 ,0), B( x2 ,0) ,且 x1 ? x2 ? 3 ,求 m
2

的取值范围。

19、如图,已知 AB 是圆 O 的直径, AB ? 4 , EC 是圆 O 的切线,切点为 C , BC ? 1 ,过 圆心 O 做 BC 的平行线,分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ,求 OD .

20、已知:如图①,直线 y=- 3 x+

3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,两动点 D、E 分

别从 A、B 两点同时出发向 O 点运动(运动到 O 点停止,如图②) ;对称轴过点 A 且顶点为 M 的抛物线 y ? a( x ? k ) 2 ? h(a ? 0) 始终经过点 E, 过 E 作 EG∥OA 交抛物线于点 G, 交 AB 于点 F,连结 DE、DF、AG、BG,设 D、E 的运动速度分别是 1 个单位长度/秒和 3 个单位 长度/秒,运动时间为 t 秒. (1)用含 t 代数式分别表示 BF、EF、AF 的长; (2)当 t 为何值时,四边形 ADEF 是菱形? (3)当△ ADF 是直角三角形,且抛物线的顶点 M 恰好在 BG 上时,求抛物线的解析式.

y
B

x
O A

图①

图②

2015 高一入学考试数学试题答题卷
班级_________ 姓名_____________ 座号_________ 分数__________ 一、选择题(本大题 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)在每小题列出的四个选项中,只有一 个是正确的,请把所选的选项填在答题卷相应的位置上.. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本大题 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)请将下列各题的正确答案填写在答题卷 相应的位置上. 11. . 12. . 13 . . 14 . . 15 . . 16. . 三、解答题(本大题共有 4 小题,共 50 分.请在答题 卷 指定区域 内作答,解答时应写出必要 .. . .... 的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)

18. (本题满分 10 分)

19. (本题满分 15 分)

20. (本题满分 15 分)

y
B

x
O A

图①

图②

参考答案
DCBAC ABBCC 11、 3 16、289
2 17 、解: ∵ x1 和 x2 分别是一元二次方程 2 x + 5 x - 3 = 0 的两根,∴ x1 ? x2 ? ?

12、7 或 49 cm

2

13、 ( x ? y)(x ? 3)

14、

8? 3

15、 1 ? m ? 2

5 , 2

3 x1 x2 ? ? 。 2
(1)∵| x1 - x2 |2=x12+ x22-2 x1 ? x2 =( x1 + x2 )2-4 x1 ? x2 = (? ) ? 4 ? (? )
2

5 2

3 2

49 25 +6= , 4 4 7 ∴| x1 - x2 |= 。 2


5 3 25 (? ) 2 ? 2 ? (? ) ?3 37 2 2 ? 4 。 ? 3 2 9 9 (? ) 2 4 3 2 3 2 2 (3) x1 + x 2 =( x1 + x2 2)( x1 - x1 ? x2 + x 2 )=( x1 + x2 )[ ( x1 + x2 ) -3 x1 ? x2 ] 5 5 215 3 =(- )× [(- )2-3× ( ? )]=- 。 2 2 8 2 2 18、解:设函数 f ( x) ? y ? ? x ? mx ? 1 ,则因为函数的两根 x1 ? x2 ? 3 ,有 ? m ?m ? ?6 ?? 2 ? 3 ? ? 10 ? ? f (3) ? ?10 ? 3m ? 0 ,解得 ?m ? ? 。 ? 3 ? ? ? ? ?m ? 2或m ? ?2 2 ? ?? ? m ? 4 ? 0 10 ? m ? ?2 或 m ? 2 。 ∴借助数轴,可以得知 m 的取值范围为 ? 3 x 2 ? x 2 ( x ? x2 )2 ? 2 x1 x2 1 1 (2) 2 ? 2 ? 1 2 22 ? 1 ? x1 x2 x1 ? x2 ( x1 x2 )2
19、解:如下图所示,连接 OC , 因为 OD / / BC ,又 BC ? AC ,所以 OP ? AC , 又 O 为 AB 线段的中点,所以 OP ? 在 Rt ?OCD 中, OC ?

1 1 BC ? , 2 2

1 AB ? 2 , 2

由 于 OP ? AC , 因 此 ?CPO ? ?OCD, ?COP ? ?DOC , 因 此 ?OCP ~ ?ODC ,

OP OC ? , OC OD

OC 2 22 所以 OC ? OP ? OD ,即 OD ? ? ? 8. 1 OP 2
2

20、解: (1) BF ? 2t , EF ? t , AF ? 2 ? 2t ( 0 ? t ? 1 ) (2)①在 Rt?DOE中,EO ? ∴ DE ?

3 ? 3t,DO ? 1 ? t

EO 2 ? DO 2 ? ( 3 ? 3t ) 2 ? (1 ? t ) 2 ? 2(1 ? t ) ∵ EF ? t , AD ? t , EG // OA ∴四边形 ADEF 为平行四边形. 若四边形 ADEF 为菱形,则有 AD ? DE ∴ t ? 2(1 ? t ) 2 2 解之得 t ? ,即当 t ? 时四边形 ADEF 为菱形. 3 3 (3) ①当 ?ADF ? 90?时 ,如图,则有 DF//OB
3 ? 3t t DF AD 即 ? ? OB AO 1 3 1 ∴t ? , 2 (另:易证 ?AOB为Rt?, 且?ABO ? 30? ∴ BF ? 2 EF , AF ? 2 AD, 而EF ? AD 1 ∴ AF ? BF ,即 F 为 AB 的中点, t ? ) 2
∴ 又由对称性可知 EG=2AO=2

3 3 ), G (2, ), 2 2 设直线 BG 的解析式为 y ? kx ? b ,把 B、G 两点的坐标代入
∴ B (0, 3 ), E (0, 有:

? 3 ?b ?b ? 3 ? ? 解之得 ? ? 3 3 ? 2k ? b ? ?k ? ? 4 ? 2 ? 3 ∴y?? x? 3 4 3 3 3 3 令 x ? 1, 则y ? ,∴ M(1, ) 4 4
设所求抛物线的解析式为 y ? a ( x ? 1) 2 ?

3 3 3 ,又 E (0, ) 4 2

3 3 3 3 解之得 a ? ? ? a (0 ? 1) 2 ? 2 4 4 3 2 3 3 故所求解析式为 y ? ? x ? x? 4 2 2 ②当 ?AFD ? 90?时 ,如图, 在 Rt?ADF中,?ADF ? 30?, 1 由AD ? t , ∴ AF ? t 由(1)有 AF ? 2 ? 2t 2 1 4 ∴ t ? 2 ? 2t 解之得: t ? 2 5 3 3 ∴ B (0, 3 ), E (0, ), G (2, ), 5 5 设直线 BG 的解析式为 y ? mx ? n 把 B、G 两点的坐标代入有:


?n ? 3 ?n ? 3 ? ? ? 3 解之得: ? 2 3 ?2 m ? n ? ?m ? ? 5 5 ? ? 2 3 ∴y?? x? 3 5 3 3 3 3 令 x ? 1, 则y ? ,∴M(1, ) 5 5
设所求抛物线的解析式为 y ? a ( x ? 1) 2 ? 又 E (0,

3 3 5

3 3 3 3 2 3 解之得 a ? ? )∴ ? a (0 ? 1) 2 ? 5 5 5 5 2 3 2 4 3 3 故所求解析式为 y ? ? x ? x? 5 5 5
综上所求函数的解析式为:

y??

3 2 3 3 2 3 2 4 3 3 或y?? . x ? x? x ? x? 4 2 2 5 5 5


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