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高一数学空间几何体的表面积与体积测试


柱体、锥体、台体的表面积 一、选择题 1.正四棱柱的对角线长是 9cm,全面积是 144cm2,则满足这些条件的正四棱柱的个数是 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 2.三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=AC,且侧面 A1ABB1 与侧面 A1ACCl 的面积相等,则∠BB1C1 等于( ) A.45° B.60° C.90° D.120° 3.边长为

5cm 的正方形 EFGH 是圆柱的轴截面,则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点 G 的 最短距离是( ) A.10cm C.5 ? ? 1 cm
2

B.5 2 cm

5 ?2 ?4 D. 2 cm

3 4.中心角为 4 π ,面积为 B 的扇形围成一个圆锥,若圆锥的全面积为 A,则 A∶B 等于
( ) A.11∶8 B.3∶8 C.8∶3 D.13∶8 5.正六棱台的上、下底面的边长分别为 a、b(a<b) ,侧面和底面所成的二面角为 60°, 则它的侧面积是( ) A.3 3 (b2-a2) B.2 3 (b2-a2)

C. 3 (b2-a2) 6.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积 之比为( ) A.1∶2∶3 B.1∶3∶5 C.1∶2∶4 D.1∶3∶9 7.若圆台的上、下底面半径的比为 3∶5,则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为 ( ) A.3∶5 B.9∶25 C.5∶ 41 D.7∶9 8.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )

3 D. 2 (b2-a2)

C. ? 9. 已知正四面体 ABCD 的表面积为 S, 其四个面的中心分别为 E、 G、 设四面体 EFGH F、 H,

1? 2? A. 2?

1 ? 2? B. 4?

1? 2?

1 ? 4? D. 2?

T 的表面积为 T,则 S 等于( ) 1 4 1 1 A. 9 B. 9 C. 4 D. 3
10.一个斜三棱柱,底面是边长为 5 的正三角形,侧棱长为 4,侧棱与底面三角形两边所 成的角都是 60°,则这个斜三棱柱的侧面积是( ) A.40 B. 20 (1 ? 3 ) 二、填空题 C. 30 (1 ? 3 ) D.30 3

11.长方体的高为 h,底面面积是 M,过不相邻两侧棱的截面面积是 N,则长方体的侧面 积是______. 12.正四棱台上、下底面的边长为 b、a(a>b)且侧面积等于两底面面积之和,则棱台 的高是______. 13.圆锥的高是 10 cm,侧面展开图是半圆,此圆锥的侧面积是_____;轴截面等腰三角 形的顶角为______. 14.圆台的母线长是 3 cm,侧面展开后所得扇环的圆心角为 180°,侧面积为 10π cm2, 则圆台的高为_____;上下底面半径为_______. 三、解答题 15.已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为 60°,棱台下底面的边长为 a,侧面 积为 S,求棱台上底面的边长. 16.圆锥的底面半径为 5 cm,高为 12 cm,当它的内接圆柱的底面半径为何值时,圆锥的 内接圆柱全面积有最大值?最大值是多少? 17.圆锥底面半径为 r,母线长是底面半径的 3 倍,在底面圆周上有一点 A,求一个动点 P 自 A 出发在侧面上绕一周到 A 点的最短路程. 参考答案 一、选择题 1.C 设正四棱柱的底面边长为 a,高为 c,由题意 2a2+c2=81① 2a2+4ac2=144 即 a2+2ac2=72② ①×8-②×9 得 7a2-18ac+8c2=0 即(7a-4c) (a-2c)=0,因此 7a-4c=0 或 a=2c,由 此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解,故正确答案选 C. 2.C 3.D 4.A 5.A 6.B 7.D 8.A 设底面圆半径为 r,母线即高为 h.∴h=2π r.

2?r 2+2?rh r+h r+2?r 1+2? 2?rh ∴ S侧 = = h = 2?r = 2? .
∴应选 A. 9.A 10.B 可计算出直截面的周长为 5+ 5 3 ,则 S 侧=4(5+ 5 3 )=20(1+ 3 ) .另解: 如图, 若∠A1AC=∠A1AB=60°, 则可证明□BB1C1C 为矩形, 因此, 侧=2S□ AA1B1B + S =2×4×5×sin60°+4×5=20(1+ 3 ) .

S全

S 矩形BB1C1C

二、填空题 11. 2 N +2 Mh .
2 2

设长方体的长和宽分别为 a,b 则有 a·b=M, a +b ·h=N,
2 2

N2 2 2 +2M 2 2 2 h 2(a+b)h=2 (a+b) ·h= ·h= 2 N +2 Mh .

ab 12. a+b

11 29 3 3 200 ? 13. 3 ;60° 14. 2 cm; 2 cm, 2 cm

三、解答题. 15.设 O,O1 分别为下,上底面中心,连接 OO1,则 OO1⊥平面 ABC,上底面边长为 x,连接 AO,A1O1 并延长交 BC,B1C1 分别于 D、D1 两点. 则 AD⊥BC,连接 DD1,则 DD1⊥BC,∠ADD1 为二面角 A-BC-D1 的平面角,即∠ADD1=60°, 过 D1 作 D1E∥OO1 交 AD 于 E,则 D1E⊥平面 ABC.

3 3 a x 在正△ABC,△A1B1C1 中,AD= 2 ,A1D1= 2 .

3 1 在 Rt△D1ED 中,ED=OD-OE= 3 (AD-A1D1)= 6 (a-x) .

3 (x+a) (a-x) 3 3 2 则 D1D=2ED= 3 (a-x) ,由题意 S=3· .
2 3 3 a 2- S 3 即 S= 2 (a2-x2) .解得 x= .

16.如图 SAB 是圆锥的轴截面,其中 SO=12,OB=5.设圆锥内接圆柱底面半径为 O1C=x, 由△SO1C∽△SOB,

SO1 SO SO 12 x O1C = OB ,SO1= OB ·O1C= 5 , 则 12 12 x x ∴OO1=SO-SO1=12- 5 ,则圆柱的全面积 S=S 侧+2S 底=2π (12- 5 )x+2π x2=2 7 2 x π (12x- 5 ) . 30 360 ? 2 当 x= 7 cm 时,S 取到最大值 7 cm .

17. 18.

19.如图扇形 SAA′为圆锥的侧面展开图,AA′即为所求的最知路程,由已知 SA=SA′=3r,

r θ = SA 360°=120°,在等腰△SAA′中可求得 AA′= 3 3r .

柱体、锥体与台体的体积 一、选择题 1.若正方体的全面积增为原来的 2 倍,那么它的体积增为原来的(



A.2 倍 B.4 倍 C. 2 倍 D.2 2 倍 2.一个长、宽、高分别为 a、b、c 长方体的体积是 8cm2,它的全面积是 32 cm2,且满足 b2=ac,那么这个长方体棱长的和是( ) A、28cm B.32 cm C.36 cm D.40 cm 3.正六棱台的两底面的边长分别为 a 和 2a,高为 a,则它的体积为( ) C. 7 3a 4.若球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径为(

21 3 3 a A. 2

3 3 3 a B. 2

3

7 3 3 a D. 2



A.1 B.3 C.2 5.一个球的外切正方体的全面积的数值等于 6cm2,则此球的体积为(

1 D. 2



4 ?cm3 A. 3

6 ?cm 3 B. 8

1 ?cm3 C. 6

6 ?cm 3 D. 6


3 3 a 6.正六棱锥的底面边长为 a,体积为 2 ,那么侧棱与底面所成的角为( ? ? ? 5? A. 6 B. 4 C. 3 D. 12
7.正四棱锥的底面面积为 Q,侧面积为 S,则它的体积为( )

1 Q S A、 3 1 S (S 2 ? Q 2 ) C、 2

1 Q( S 2 ? Q 2 ) B. 2 1 Q( S 2 ? Q 2 ) D、 6

8. 棱台上、 下底面面积之比为 1∶9, 则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 ( ) A.1∶7 B.2∶7 C.7∶19 D.3∶16 9.正方体、等边圆柱与球它们的体积相等,它们的表面积分别为 S1、S2、S3,下面关系 中成立的是( ) A.S3>S2>S1 B.S1>S3>S2 C.S1>S2>S3 D.S2>Sl>S3 10.沿棱长为 1 的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面,截得一个三棱锥,那 么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是( ) A.1∶5 B.1∶23 C.1∶11 D.1∶47 二、填空题 11.底面边长和侧棱长都是 a 的正三棱锥的体积是_______. 12.将 4×6 的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱,则圆柱的最大体积是_______. 13.半径为 1 的球的内接正方体的体积是________;外切正方体的体积是_______. 14.已知正三棱台上、下底面边长分别为 2、4,且侧棱与底面所成角是 45°,那么这个 正三棱台的体积等于_______. 三、解答题 15.三棱锥的五条棱长都是 5,另一条棱长是 6,求它的体积. 16.两底面边长分别是 15cm 和 10cm 的正三棱台,它的侧面积等于两底面积的和,求它 的体积.

17.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器,它们的轴截面尺寸如图所示,两容器内所盛液 体的体积正好相等,且液面高度 h 正好相同,求 h.

18.如图所示,已知正方体 ABCD—A1B1ClDl 的棱长为 a,E 为棱 AD 的中点,求点 A1 到平 面 BED1 的距离.

参考答案 一、选择题 1.D

b c ?a · · =8 ? 16 ?ab+bc+ca= ? 2 2.B 解:由已知 ?b =ac

① ② ③

③代入①得 b3=8,b=2,ac=4,代入②a+c=6. ∴长方体棱长的和为 4(a+b+c)=4×8=32(cm2) . 3.D 4.B 5.C 6.B 7.D 设正四棱锥的底面边长和高分别为 a,h,斜高为 h′,
2 a 2 a 1 h 2+( ) h 2+ 4 解得 2 ,S= 2 (4a)h′=2a 则 h′= 2 S2 Q 1 S2 a - - 2 4 = 4Q 4 = 2 h= 4a

S 2-Q 2 Q .

1 1 1 V= 3 h·Q= 3 ( 2

S 2-Q 2 1 Q(S 2-Q 2) Q 6 )Q= .

8.C 9.B 10.D 由 E、F、G 分别为 BB1,B1C1,B1A1 的中点,可证明平面 EFG∥平面 BC1A1,因此

EF 3 1 1 ) = BC1 =( 2 )3= 8 . 1 1 1 VB1-EFG = 8 VB1-BC1 A1 = 8 · 3 VB1BC1-A1AD 即

VB1-EFG

VB1-BC1 A1



1 1 1 1 VABCD -A1B1C1D1 )= 48 VABCD -A1B1C1D1 , =8 (3 ·2

VB1-EFG V ABCD -A1B1C1D1-VB1-EFG

1 = 47 .

二、填空题.

2 3 a 11. 12

36 12. ?

8 3 14 13. 9 ;8 14. 3
15.三棱锥 A-BCD 中,AB=6,设 E 为 AB 的中点,连结 CE,DE,则 CE⊥AB,DE⊥AB. 在直角△AED 中,DE= AD -AE = 5 -3 =4. 同理 CE=4,F 为 CD 中点,连接 EF,则 EF⊥CD,在 Rt△DFE 中,
2 2

2

2

5 2 5 2 39 DE 2-( ) 4 2-( ) 2 = 2 = 2 . EF=
5 39 ∴S△CED= 4 .

1 1 VA-BCD=VA-ECD+VB-ECD= 3 AE·S△CED+ 3 BE·S△CED
5 39 5 1 1 39 = 3 (AE+BE)S△CDE= 3 ×6× 4 = 2 .

16.设正三棱台的高为 h,

? 3 2 25 h 2+[? ( - )] h 2+ ? 6 15 10 ? 12 , 则斜高 h′= =

(3 ? 10+3 ? 15) h 2+
由已知

25 12

2

3 = 4 (152+102) ,解得 h= 2 3 .

3 3 3 475 1 10 2 · 2 15 2 2 因此 V= 3 · 2 3 ( 4 ·10 + 4 ·15 + 4 )= 2 (cm3) .
别解:设上、下底面面积分别是 S1,S2(S1<S2) ,侧面与底面成二面角为α ,由已知,S 侧= S1+S2①. 又 S 侧 cosα =S2-S1②,

3 ? 15 2- 4 S 2-S1 3 2 S1+S 2 = 4 ? 15 + ②÷①,cosα =
然后再求棱台的高和体积.

3 ? 10 2 4 5 3 ? 10 2 4 = 13 .

1 17.设圆锥形容器的液面的半径为 R,则液体的体积为 3 π R2h,圆柱形容器内的液体体积为 a π ( 2 )2h.
3 1 a a 2 2 根据题意,有 3 π R h=π ( 2 ) h,解得 R= 2 .
再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形,得

3 a 3 h 2 a a = a ,所以 h= 2 .
a2 1 S 18.解: ?A1D1E = 2 A1D1·AA1= 2 .

1 2 5 ( a) a 2 + a 2 D1B= 3 a,D1E=BE= AE +AB = = 2 .
2 2

等腰△EBD1 的高为

BE 2-(

D1 B 2 5 2 3 2 2 ) ( a) -( a) a 2 2 2 = = 2 .

2 6 2 1 S ?BED1 = 2 ( 3a ) 2 a )= 4 a . ( V V 设 A 到平面 BED 的距离为 h,而 A1-BED 1 = B-A1D1E ,
1 1

1 1 S ?BED1 S ?A1D1E 即3 ·h= 3 ·AB.
6 2 1 1 a2 1 a 6a ∴3· 4 ·h= 3 · 2 ·a,解得 h= 3 .

球的体积和表面积 一、选择题 1.若球的大圆面积扩大为原来的 4 倍,则球的表面积比原来增加( A.2 倍 B.3 倍 C.4 倍 D,8 倍 2.若球的大圆周长是 C,则这个球的表面积是( ) )

C. ? D.2π c2 3.已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA =2,则球面面积是( ) C.4π 4、球的大圆面积增大为原来的 4 倍,那么球的体积增大为原来的( ) A.4 倍 B.8 倍 C.16 倍 D.32 倍 5.三个球的半径之比为 1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的( ) A、1 倍 B.2 倍 C.3 倍 D.4 倍 6.棱长为 1 的正方体内有一个球与正方体的 12 条棱都相切,则球的体积为( ) A.4π 7.圆柱形烧杯内壁半径为 5cm,两个直径都是 5 cm 的铜球都浸没于烧杯的水中,若取出 这两个铜球,则烧杯内的水面将下降( )

c2 A. 4?

c2 B. 4?

c2

16? A. 9

8? B. 3

64? D. 9

? B. 4

2 ? C. 3

2 D. 4 π

5 A、 3 cm

10 B. 3 cm

40 C. 3 cm

5 D. 6 cm

8.已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA =2,则球面面积为( ) C.4π 9.长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为 3、4、5,且它的 8 个顶点都在同一球面上, 这个球的表面积为( ) A.20 2 π B.25 2 π C.50π D.200π 10.等体积的球与正方体,其表面积的大小关系为( ) A.S 球>S 正方体 B.S 球=S 正方体 C.S 球<S 正方体 D.大小关系不确定 二、填空题 11.已知三个球的表面积之比为 1∶4∶9,若它们的体积依次为 V1、V2、V3,则 V1+V2 =_____V3. 12.已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π ,它们位于球心的同一侧,且相距为 l,则球的体积为_________.

16 A、 9 π

8 B. 3 π

64 D. 9 π

4 13.将一个玻璃球放人底面面积为 64π cm 的圆柱状容器中,容器水面升高 3 cm,则玻
2

璃球的半径为__________. 14.将一个半径为 R 的木球削成一个尽可能大的正方体,则此正方体的体积为______. 15.表面积为 Q 的多面体的每个面都外切于半径为 R 的一个球,则多面体与球的体积之 比为______. 16.国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”“小球”的外径为 38 mm, , “大球”的外 径为 40 mm,则“小球”与“大球”的表面积之比为__________.

三、解答题 17.已知正三棱柱的底面边长为 1,侧棱长为 2,则这样的三棱柱内能否放进一个体积为

? 16 的小球?
18.用刀切一个近似球体的西瓜,切下的较小部分的圆面直径为 30 cm,高度为 5 cm,该 西瓜体积大约有多大? 19.三棱锥 A-BCD 的两条棱 AB=CD=6,其余各棱长均为 5,求三棱锥的内切球的体积. 20.表面积为 324π 的球,其内接正四棱柱的高是 14,求这个正四棱柱的表面积. 参考答案 一、选择题 1.B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D 9.C 10.C 二、填空题

1 V3 11. 3
提示:三个球半径之比为 1∶2∶3,体积为 1∶8∶27. 12.36π 设球的半径为 R,由题意得 R -5 - R -8 =1,
2 2

4 3 ?R ∴R=3,∴V 球= 3 =36π .
8 3 3 R 13.4cm 14. 9
三、解答题
3 4?R 3 3 3 ? 17.设球半径为 R,则 3 = 16 ,∴R= 4 .而正三棱柱底面内切圆半径 r= 6 ,比较 R

15.Q∶4π R2 16.361∶400

32 9 27 1 27 27 27 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 2 2 2 与 r 的大小,R = 4 = 4 = 3 · · 64 ,r = 6 = 3 · = 3 · · 243 , ? 6 6 ∴R >r ,∴R>r,所以不能放进一个体积为 16 的小球.
18.解:如图,设球半径为 Rcm,切下的较小部分圆面半径为 15cm,∴OO′=R-5. Rt△OO′A 中,R2-(R-5)2=15, ∴R=25(cm) .

4? 3 4? 62500 ? 3 (25) R 3 (cm3) V= 3 = 3 = .

RS 19.设球半径为 R,三棱锥 A-BCD 表面积为 S,则 V 三棱锥= 3 .取 CD 中点 M,连结 AM、
BM. ∵AC=AD=5,∴CD⊥AM.

同理 CD⊥BM,∴CD⊥平面 ABM,

1 ∴V 三棱锥= 3 (CM+MD) △AMB=2S△AMB. ,S
∵AM=BM=4,取 AB 中点 N,连结 MN, 则 MN⊥AB,且 MN= 4 -3 = 7 ,
2 2

∴S△ABM= 3 7 ,∴V 三棱锥= 6 7 . 又三棱锥每个面面积和都为 12,

48 R ∴S=4×12=48,∴V 三棱锥= 3 =16R.
20.解:设球的半径为 R,正四棱柱底面边长为 a, ∵4π R2=324π ,∴R=9, ∴142+( 2 a )2=182,∴a2=64,∴a=8. ∴S 四棱柱=2a2+4a·14=64×2+32×14=576.


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