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人教B版高中数学课件 选修2-2:第一章 导数及其应用 2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》


第1章

导数及应用

1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则

基本初等 函数的导 数公式及 导数的运 算法则

内容:基本初等函数的导数公式及导 数的运算法则

求函数的导数

应用

函数的导数在生活中的应用 求复合函数

的导数

本课主要学习基本初等函数的导数公式及导数的运算法则. 以分形与函数的动画为引子,在复习导数的几何意义、四种常 见函数的导数的基础之上,学习基本初等函数的导数公式及导 数的运算法则。在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则的基础上将导数的计算研究得更深入,虽然基本初等函数 的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题,但对 于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及,平时研究的函数 不会仅限于基本初等函数,因此我们要想将问题研究得更加透 彻,就得继续研究导数.层层深入,由易到难,探讨什么是复 合函数、复合函数的构成及复合函数的求导法则等. 为了巩固新知识,探究了 4 个例题,采用例题与变式训练 相结合的方法,一例一练。本课内容是导数的关键部分,对后 面更深地研究导数起着至关重要的作用。为此,通过设置难易 不同的必做和选做试题,对不同的学生进行因材施教。

分形与函数

1.导数的几何意义?

导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率. 2.导数的物理意义?
导数的物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 3.导函数的求解公式是什么?
f ? x ? ?x ? ? f ? x ? lim 导函数的求解公式是:f ? ? x ? ? y? ? ? x ?0 ?x

.

4.四种常见函数的导数及应用:

思考

函数

导数

上述四个函数是 哪类初等函数? 导数有什么规律? 幂函数

y?x

y? ? 1

y ? x2
1 y? x

y? ? 2 x

y? ? ?
y? ?

1 x2

y?x

n

y? x

1 2 x

y? ? nx

n?1

基本初等函数的导数公式

1、若f ( x) ? c , 则 f ?( x) ? 0

常函数 幂函数 三角函数

2、若f ( x) ? xn , 则 f ?( x) ? n ? x n?1
3、若f ( x) ? sin x , 则 f ?( x) ? cos x
4、若f ( x) ? cos x , 则 f ?( x) ? ? sin x

5、若f ( x) ? a x , 则 f ?( x) ? a x ? ln a

6、若f ( x) ? e , 则 f ?( x) ? e
x

x

指数函数 对数函数

1 7、若f ( x) ? loga , 则 f ?( x) ? x ln a 1 8、若f ( x) ? ln x , 则 f ?( x) ? x
x

几个基本初等函数的导数的区别
? * x (1)注意区别 y ? a (a ? 0, a ? 1) 与 y ? x (? ? Q ) 的导数的区别:

y? ? (a x )? ? a x ? ln a(a ? 0, a ? 1)

y? ? ( x? )? ? ? ? x? ?1 (? ? Q* ). (2)y ? sin x 与 y ? cos x 导数的区别与联系:
y? ? (sin x)? ? cos x, y? ? (cosx)? ? ? sin x.
(3)以e为底的指数函数的导数是其本身,以e的对数函数的 导数是反比例函数(这有点特殊); (4)以 a 为底的指数函数或对数函数的导数较为难记,要格外注 意它们都有 ln a 这个部分,只是对数函数的导数中 ln a 在分母上; (5)要特别注意指数函数、对数函数的求导中,以e为底的是以

a 为底的特例.

【例1】用导数公式求下列函数的导数. (1) y ? x9 (3) y ? sin (2) y ? 5x

?
2

(4) f ( x) ?

x

答案: (1) y? ? 9 x8 (3) y? ? 0

(2) y? ? 5x ln 5 1 (4) y? ? ( x )? ? x 4
1 4 ? 3 4

变式练习1:求下列函数的导数. (1) y ? x 20 (3) y ? cos x
答案: (1) y? ? 20 x19 (3) y? ? ? sin x

(2) y ? log 6 x (4) y ? 1
5

x2
1 x ? ln 6
? 2 5

(2) y? ?

2 ?7 (4) y? ? ( x )? ? ? x 5 5

【例2】假设某国家在20年期间的通货膨胀率为5%。物价 (单位 p :元)与时间t(单位:年)有如下关系: p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t .其中p0为t ? 0时的物价。假定某种商品 的p0 ? 1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度 大约是多少?(精确到0.01)

解:由导数公式:p '(t ) ? 1.05t p0 ln1.05

? p '(10) ? 1.0510 ln1.05 ? 0.08(元/年)

答:在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。

变式练习2:若某种商品的p0 ? 5,那么在第10个年头, 这种商品的价格上涨的速度大约是多少?

提示:p '(t ) ? 1.05t p0 ln1.05,
? p '(10) ? 5 ? 0.08 ? 0.4

导数的运算法则 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即: 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个

函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函 数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的 平方.即:

由法则2:

【例3】求下列函数的导数: 3 (2)y ? sin 2 x (1)y ? x ? 2 x ? 3
ln x x ?1 (4) y ? (3)y ? x x ?1 解: (1)因为y ? ? ( x3 ? 2 x ? 3)? ? ( x 3 )? ? (2 x) ? ? (3) ? ? 3 x 2 ? 2
所以,函数y ? x3 ? 2x ? 3的导数是y? ? 3x2 ? 2

(2) ? y ? sin 2 x ? 2sin x? cos x
? y? ? (2sin x? cos x)? ? 2(sin x? cos x ? sin x cos x?)

? 2(cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 cos 2 x 所以,函数y ? sin 2x的导数是y?=2cos 2 x

( x ? 1)? ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1)? (3) ? y? ? ( x ? 1)2 2 ? (x ? 1) 2
所以,函数y ? x ?1 2 的导数是y? ? x ?1 ( x ? 1)2

(ln x)? ? x ? (ln x) ? ( x)? (4) ? y? ? x2 1 ? ln x ? x2

ln x 1 ? ln x 所以,函数y ? 的导数是y? ? x x2

变式练习3:求下列函数的导数. (1) y ? 2e x (4) y ? x ? ln x (2) y ? 2 x3 ? 3x 2 ? 4 ln x ? x (5)y ? x2 (3)y ? 3cos x ? 4sin x (6) y ? 3x e x ? 2 x ? e

答案: (1) y? ? 2e x;(2)y? ? 6 x 2 ? 6 x; 1 (3) y? ? ?3sin x ? 4 cos x; (4) y? ? 1 ? ; x 1 ? x ? 2 ln x x x x ? (5) y? ? ; (6) y ? e 3 (1 ? ln 3) ? 2 ? ln 2 3 x

如何求函数 y ? ln ? x ? 2 ?的导数呢 ?
若设u ? x ? 2?x ? ?2?, 则y ? ln u.从而y ? ln?x ? 2?可以 看成是由y ? ln u 和u ? x ? 2?x ? ?2?经过"复合" 得到 的,即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x的函数.
如果把 y 与u 的关系记作y ? f ?u ?, u 和 x的关系记作 u ? g ?x ?, 那么这个"复合" 过程可表示为 y ? f ?u ? ? f ?g ?x ?? ? ln?x ? 2?.

我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过 "复合" 得到的, 例如,函数y ? ?2 x ? 3? 由y ? u 2和u ? 2 x ? 3
2

"复合"而成, 等等.

一般地, 对于两个函数y ? f ?u ?和u ? g ? x ?, 如果通过变量u , y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数 y ? f ?u ?和
复合函数 y ? f ? g ? x ??的导数和函数 y ? f ?u ?, u ? g ? x ?的
' ' ' 导数间的关系为 y x ? yu ? ux .

u ? g ? x ?的复合函数(com posite fun? ction), 记作y ? f ? g ? x ??.

y? x 表示y对x的导数
即y对x的导数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
由此可得, y ? ln?3x ? 2?对x的导数等于y ? ln u对u的 导数与u ? 3x ? 2对x的导数的乘积 ,即 1 3 y ? y ? u ? ?ln u ? ?3x ? 2? ? ? 3 ? . u 3x ? 2
' x ' u ' x ' '

例4

求下列函数的导数

?1? y ? ?2 x ? 3?2 ; ?2? y ? e ?0.05 x ?1 ; ?3? y ? sin ??x ? ? ? ?其中? , ?均为常数?.


?1?函数y ? ?2 x ? 3?2 可以看作函数y ? u 3和
' u ' x

u ? 2 x ? 3的复合函数 .

y ? y ?u ? u
' x

? ? ? ?2x ? 3? ? 4u ? 8x ? 12.
2 ' '

?2?函数 y ? e?0.05 x?1 可以看作函数 y ? eu 和u ?
? 0.05x ? 1的复合函数 . 由复合函数求导法则有

y ? y ? u ? ?e
' x ' u ' x

u '

? ? ?? 0.05x ? 1?

'

? ?0.05eu ? ?0.05e?0.05 x?1.

?3?函数y ? sin??x ? ? ?可以看作函数y ? sin u和
u ? ?x ? ?的复合函数 .

由复合函数求导法则有

y ? y ? u ? ?sin u ?' ? ??x ? ? ?'
' x ' u ' x

? ? cosu ? ? cos??x ? ? ?.

变式练习 4 求下列函数的导数. 1 (1)y=ln x;(2)y=e3x;(3)y=5log2(2x+1). 1 1 解 (1)函数y=ln 可以看成函数y=ln u和函数u= 的复合 x x

函数. 1 1 1 1 ∴yx′=yu′· ux′=(ln u)′· ( x)′=u· (-x2)=-x. (2)函数y=e3x可以看成函数y=eu和函数u=3x的复合函数.
∴yx′=yu′· ux′=(eu)′· (3x)′=3eu=3e3x.

(3)函数y=5log2(2x+1)可以看成函数y=5log2u和函

数u=2x+1的复合函数.
10 ∴yx′=yu′· ux′=5(log2u)′· (2x+1)′=uln 2 10 = . ?2x+1?ln 2

1.知识:基本初等函数的导数公式及导数运算法则; 2.思想:数形结合思想、归纳思想、分层思想.

(一)书面作业 必做题 P18 习题1.2 A组 5,6,7题 B组 2题

选做题 cos x 1.y ? 的导数是 _________; x 2.函数y ? ax 2 ? 1的图象与直线y ? x相切,则a = ______;

3.已知函数y ? x ln x. (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点x ? 1处得切线方程.

(二)课外思考: 1.已知函数f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? ax ? d的图象过点P(0,2), 且在点M (?1, f (?1))处的切线方程为6 x ? y ? 7 ? 0, 求函数的解析式.

2.若曲线f ( x) ? x sin x ? 1在x ?

?

2 ax ? 2 y ? 1 ? 0相互垂直,求实数a的值.

处得切线与直线

解:因为f ?( x) ? sin x ? x cos x,
所以f ?( ) ? sin ? cos ? 1 2 2 2 2 a 又直线ax ? 2 y ? 1 ? 0的斜率为 ? , 2 a 所以,根据题意得1? (? ) ? ?1, 2

?

?

?

?

解得a ? 2.

3.已知曲线y ? 5 x .
?求曲线上与直线 y ? 2 x ? 4平行的切线的方程;
?求过点 P(0,5) 且与曲线相切的切线的方程. 解:?设切点为 ( x0 , y0 ) .
由y ? 5 x,得y? |x? x0 ?
又因为切线的斜率为 n?5 , m 5 n?5 5 m ?5 所以 ? ? , m m 2 m

因为切线与直线y ? 2 x ? 4平行, 5 25 25 所以 ? 2, x0 ? , 所以y0 ? . 16 4 2 x0
故所求切线的方程为y ? 即16 x ? 8 y ? 25 ? 0.

5 . 2 x0

25 25 ? 2( x ? ), 4 16

所以2m ? 2 m ? m, 解得m ? 4. 5 所以切线的方程为y ? 5 ? ( x ? 0) 2 4 即5x ? 4 y ? 20 ? 0.

?因为点 P(0,5)不在曲线 y ? 5 x 上
故设切点为M (m, n),则切线斜率为 5 . 2 m


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