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2014年上海市奉贤区高考数学一模试卷(理科)


2014 年上海市奉贤区高考数学一模试卷(理科)
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写结果,1-13 题每个空格填对得 4 分,14 题每空填对得 2 分否则一律得零分. 1. (4 分) (2014?奉贤区一模)设 U=R,A={x|x>0},B={x|y=lg(1﹣x)},则 A∩B= . 2. (4 分)

(2014?奉贤区一模) (理) 函数 f (x) =4 (x>1) 的反函数 f (x) = 3. (4 分) (2014?奉贤区一模)执行如图所示的程序框图.若输出 θ= . ,则输入角
x
﹣1



4. (4 分) (2014?奉贤区一模)已知{an}是公比为 2 的等比数列,若 a3﹣a1=6,则 a1+a2+…+an= . 5. (4 分) (2014?奉贤区一模)函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)图象上一个最高点为 ,相邻的一个最低点为 ,则 ω= .

6. (4 分) (2014?奉贤区一模)△ABC 三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设向 量 , ,若 ,则角 C 的大小为 .

7. (4 分) (2014?奉贤区一模)已知函数 f(x)=|lnx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b) ,则 a+b 的取值范围是 . 2 2 8. (4 分) (2014?奉贤区一模) (理)已知定点 A(4,0)和圆 x +y =4 上的动点 B,动点 P (x,y)满足 ,则点 P 的轨迹方程为 .

9. (4 分) (2014?奉贤区一模) (理)直角△ABC 的两条直角边长分别为 3,4,若将该三角 形绕着斜边旋转一周所得的几何体的体积是 V,则 V= . 10. (4 分) (2014?奉贤区一模)数列 an+1=|an﹣4|+2(n∈N*) ,如果{an}是一个等差数列, 则 a1= . 11. (4 分) (2014?奉贤区一模)在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 是 C1B1 的中 点,若 E,F 都是 AB 上的点,且 是 .
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,Q 是 A1B1 上的点,则四面体 EFPQ 的体积

12. (4 分) (2014?奉贤区一模) (理)函数 y1=f(x)的定义域 D1,它的零点组成的集合是 E1,y2=g(x)的定义域 D2,它的零点组成的集合是 E2,则函数 y=f(x)g(x)零点组成 的集合是 (答案用 E1、E2、D1、D2 的集合运算来表示) 13. (4 分) (2014?奉贤区一模) (理)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)对任意的 x 都满足 f 3 (x+2)=﹣f(x) ,当﹣1≤x<1 时,f(x)=x ,若函数 g(x)=f(x)=loga|x|只有 4 个零 点,则 a 取值范围是 . 14. (4 分) (2014?奉贤区一模)已知函数 y=f(x) ,任取 t∈R,定义集合: .设 Mt,mt 分别表示集 合 At 中元素的最大值和最小值,记 h(t)=Mt﹣mt.则: (1)若函数 f(x)=x,则 h(1)= ; (2)若函数 ,则 h(t)的最大值为 .

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (5 分) (2014?奉贤区一模)空间过一点作已知直线的平行线的条数( ) A.0 条 B.1 条 C.无数条 D.0 或 1 条 16. (5 分) (2006?辽宁)设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(﹣x)是奇函数 B.f(x)|f(﹣x)|是奇函数 C.f(x)﹣f(﹣x)是偶函数 D.f(x)+f(﹣x)是偶函数 17. (5 分) (2014?奉贤区一模)椭圆 的内接三角形 ABC(顶点 A、 )

B、C 都在椭圆上)的边 AB,AC 分别过椭圆的焦点 F1 和 F2,则△ABC 的周长(

A.总大于 6a B.总等于 6a C.总小于 6a D.与 6a 的大小不确定

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18. (5 分) (2014?奉贤区一模)设双曲线 nx ﹣(n+1)y =1(n∈N )上动点 P 到定点 Q (1,0)的距离的最小值为 dn,则 A. B. C.0 D.1 的值为( )

2

2

*

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (12 分) (2014?奉贤区一模) (理科)如图,正三棱锥 P﹣ABC 中,底面 ABC 的边长为 2,正三棱锥 P﹣ABC 的体积为 V=1,M 为线段 BC 的中点,求直线 PM 与平面 ABC 所成 的角(结果用反三角函数值表示) .

20. (14 分) (2014?奉贤区一模)已知函数 f(x)=sin cos + (1)求方程 f(x)=0 的解集; (2)当 x ,求函数 y=f(x)的值域.

cos

2



21. (14 分) (2014?奉贤区一模) 在直角坐标系 xOy 中, 点 P 到两点 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点. (1)线段 AB 的长是 3,求实数 k; (2) (理)若点 A 在第四象限,当 k<0 时,判断| (文)求证: . |与| |的大小,并证明.

22. (16 分) (2014?奉贤区一模) 投资公司拟投资开发某项新产品, 市场评估能获得 10~1000 万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投 资收益(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于万元,同时不超过投资收益的 20%. (1)设奖励方案的函数模型为 f(x) ,试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型 f(x) 的基本要求; (2)公司预设的一个奖励方案的函数模型:f(x)= 公司要求; (3) (理)求证:函数模型 g(x)= ﹣1,a 符合公司的一个奖励方案. (a>0) ,求 +2 试分析这个函数模型是否符合

(文)假设下面这个函数模型是符合公司的一个奖励方案: 实数 a 满足的条件.

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23. (18 分) (2014?奉贤区一模) (理)已知数列{an}的各项均不为零,a1=1,a2=m,且对 任意 n∈N ,都有
*



(1)设 c=1,若数列{an}是等差数列,求 m; (2)设 c=1,当 n≥2,n∈N 时,求证: (3)当 c=(m+1) 时,求数列{an}的通项公式.
2 *

是一个常数;

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2014 年上海市奉贤区高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写结果,1-13 题每个空格填对得 4 分,14 题每空填对得 2 分否则一律得零分. 1. (4 分) (2014?奉贤区一模) 设 U=R, A={x|x>0}, B={x|y=lg (1﹣x) }, 则 A∩B= (0, 1) . 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出 B 中函数的定义域确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 B 中的函数 y=lg(1﹣x) ,得到 1﹣x>0,即 x<1, ∴B=(﹣∞,1) , ∵A={x|x>0}=(0,+∞) , ∴A∩B=(0,1) . 故答案为: (0,1) 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
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2. (4 分) (2014?奉贤区一模) (理)函数 f(x)=4 (x>1)的反函数 f (x)= log4x, (x>4) . 【考点】反函数. 【专题】计算题;函数的性质及应用.
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x

﹣1

【分析】设 y=4 ,由指对数式互化得到 x=log4y,再将 x、y 互换并求出原函数的值域,即 可得出所求反函数. 【解答】解:设 y=4 (x>1) , 可得 x=log4y, x 由 x>1 得 y=4 函数的值域为(4,+∞) , ﹣1 x ∴函数 f(x)=4 (x>1)的反函数 f (x)=log4x, (x>4) . 故答案为:log4x, (x>4) 【点评】本题求已知函数的反函数,着重考查了对数的定义、指数式与对数式互化、反函数 求解的一般方法等知识,属于基础题. 3. (4 分) (2014?奉贤区一模)执行如图所示的程序框图.若输出 . ,则输入角 θ=
x

x

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【考点】程序框图. 【专题】阅读型.

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【分析】由条件结构的程序框图,根据|sinθ|≤1,得 tanθ=﹣ 再验证. 【解答】解:本题为条件结构的程序框图,∵|sinθ|≤1, ∴tanθ=﹣ ∴θ=﹣ ,又|θ|< <﹣ . , ,

,又|θ|<

,可求得 θ,

故答案是﹣

【点评】本题考查了条件结构的程序框图. 4. (4 分) (2014?奉贤区一模) 已知{an}是公比为 2 的等比数列, 若 a3﹣a1=6, 则 a1+a2+…+an= n+1 2 ﹣2 . 【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】根据等比数列的通项公式,由 a3﹣a1=6 求出首项,即可求出数列的前 n 项和. 【解答】解:在等比数列中, ∵a3﹣a1=6, 2 ∴a1×2 ﹣a1=3a1=6, 即 a1=2,
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∴a1+a2+…+an=
n+1

﹣2,

故答案为:2 ﹣2. 【点评】 本题主要考查等比数列的前 n 项和的计算, 根据条件求出数列的首项是解决本题的 关键,要求熟练掌握相应的公式.

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5. (4 分) (2014?奉贤区一模)函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)图象上一个最高点为 ,相邻的一个最低点为 ,则 ω= 4π .


【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
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【专题】计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】依题意知,函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)图象上一个最高点与相邻的一个 最低点的横坐标之间的距离为 = ,从而可求得 ω 的值. 【解答】解:依题意, = ﹣ = , ∴T= ,又>0,T= ∴ = , ,

∴ω=4π. 故答案为:4π. 【点评】本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,着重考查其周期性,属于中档题. 6. (4 分) (2014?奉贤区一模)△ABC 三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设向 量 ,
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,若

,则角 C 的大小为



【考点】平行向量与共线向量. 【专题】计算题;综合题. 【分析】利用 【解答】解:因为
2

推出向量 ,得
2 2

中 b,a,c 的关系,利用余弦定理求出 C 的大小即可.

得:b ﹣ab=c ﹣a 即 a +b ﹣c =ab 由余弦定理 cosC= 所以 C= 故答案为:
2 2 2

=

【点评】本题考查平行向量与共线向量,余弦定理的应用,考查计算能力是基础题. 7. (4 分) (2014?奉贤区一模)已知函数 f(x)=|lnx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b) ,则 a+b 的取值范围是 (2,+∞) . 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【专题】计算题.
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【分析】图解法:画出函数 f(x)=|lnx|的图象,根据图象分析 ab 的取值,再利用基本不 等式求 a+b 的范围. 【解答】解:如图,画出函数 f(x)=|lnx|的图象, 由图象知,f(a)=f(b) ,得 lnb=﹣lna, ∴ab=1, ∴a+b> =2, ∴ab 的取值范围是(2,+∞) . 故答案为: (2,+∞) .

【点评】 此题是中档题. 考查利用函数图象分析解决问题的能力, 以及对数函数图象的特点, 体现数形结合的思想. 8. (4 分) (2014?奉贤区一模) (理)已知定点 A(4,0)和圆 x +y =4 上的动点 B,动点 P (x,y)满足 ,则点 P 的轨迹方程为 (x﹣2) +y =1 .
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2

2

2

2

【考点】平面向量的坐标运算;轨迹方程. 【专题】计算题;平面向量及应用;直线与圆. 【分析】利用动点 P(x,y)满足
2 2

,确定 P、B 坐标之间的关系,利用 B 在圆

x +y =4 上,即可求得点 P 的轨迹方程. 【解答】解:设动点 P(x,y)及圆上点 B(m,n) ,则 ∵ ,

∴(m+4,n)=(2x,2y) , ∴m=2x﹣4,n=2y, ∵m +n =4, 2 2 2 2 ∴(2x﹣4) +(2y) =4,即(x﹣2) +y =1. 2 2 故答案为: (x﹣2) +y =1. 【点评】本题考查轨迹方程,解题的关键是确定动点坐标之间的关系,利用代入法求轨迹方 程. 9. (4 分) (2014?奉贤区一模) (理)直角△ABC 的两条直角边长分别为 3,4,若将该三角 形绕着斜边旋转一周所得的几何体的体积是 V,则 V=
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2 2



【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由题意,所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成.利用解三角形知识,算出圆锥的
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底面半径,由锥体的体积公式,算出体积为 V=



【解答】解:根据题意,所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成 它的底面半径等于直角三角形斜边上的高,高分别等于两条直角边在斜边的射影长 ∵两直角边边长分别为 3 和 4, ∴斜边长为 =5, = ,

由面积公式可得斜边上的高为 h= ∴所求旋转体的底面半径 r= ∴旋转体的体积为 V= π× 故答案为 .

×5=



【点评】本题给出直角三角形旋转一周,求转成的几何体的体积,着重考查了圆锥的积体公 式和解三角形等知识. 10. (4 分) (2014?奉贤区一模)数列 an+1=|an﹣4|+2(n∈N*) ,如果{an}是一个等差数列, 则 a1= 3 . 【考点】等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】根据数列{an}是一个等差数列,设出等差数列的公差,由条件 an+1=|an﹣4|+2(n ∈N*) ,建立方程关系即可求出结论. 【解答】解:若{an}是等差数列,设公差为 d, ∵an+1=|an﹣4|+2(n∈N*) , ∴a1+nd=|a1+(n﹣1)d﹣4|+2, 化简得 nd+(a1﹣2)=|nd+(a1﹣2)+(﹣d﹣2)|, 上式对任意正整数 n 恒成立,因此 ①若 d=0,则 a1=3; ②如 d<0,不可能,∵当 n 趋于无穷时,左边为负数; ③如 d>0,则﹣d﹣2=0, 解得 d=﹣2<0,矛盾, ∴当且仅当 a1=3 时,数列{an}是等差数列.
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故答案为:3. 【点评】本题主要考查等差数列的应用,根据条件建立方程是解决本题的关键,注意要对 d 进行讨论. 11. (4 分) (2014?奉贤区一模)在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 是 C1B1 的中 点,若 E,F 都是 AB 上的点,且 . ,Q 是 A1B1 上的点,则四面体 EFPQ 的体积是

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题. 【分析】由已知中棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 是 C1B1 的中点,若 E,F 都
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是 AB 上的点,且

,Q 是 A1B1 上的点,我们分别计算出四面体 EFPQ 的底面面积

S△ EFQ 和高,代入棱锥体积公式,即可得到答案. 【解答】解:∵棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 又∵E,F 都是 AB 上的点,且 ∴S△ EFQ= ?EF?BB1= 又∵P 是 C1B1 的中点, ∴四面体 EFPQ 的高为 ∴四面体 EFPQ 的体积 V= ?Sh= ? 故答案为: 【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积,其中计算出棱锥的底面面积和高,是解答本题的 关键,本题是一个运动变化题,要从动中求静,找到变化过程中,不变的量,进行解答. 12. (4 分) (2014?奉贤区一模) (理)函数 y1=f(x)的定义域 D1,它的零点组成的集合是 E1,y2=g(x)的定义域 D2,它的零点组成的集合是 E2,则函数 y=f(x)g(x)零点组成 的集合是 (E1∪E2)∩(D1∩D2) (答案用 E1、E2、D1、D2 的集合运算来表示) 【考点】函数的零点.
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,Q 是 A1B1 上的点,

? =

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【专题】集合. 【分析】根据函数零点的定义,由 y=f(x)g(x)=0,得 f(x)=0 或 g(x)=0,然后根据 集合关系即可得到结论. 【解答】解:由 y=f(x)g(x)=0, 得 f(x)=0 或 g(x)=0, ∵y1=f(x)的定义域 D1,y2=g(x)的定义域 D2, ∴函数 y=f(x)g(x)的定义域为 D1∩D2, ∵y1=f(x)的零点组成的集合是 E1,y2=f(x)的零点组成的集合是 E2, ∴y=f(x)g(x)=0 的零点为(E1∪E2)∩(D1∩D2) , 故答案为: (E1∪E2)∩(D1∩D2) 【点评】本题主要考查函数零点的应用,以及基本的基本运算,注意求函数的零点前必须要 求函数的定义域. 13. (4 分) (2014?奉贤区一模) (理)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)对任意的 x 都满足 f 3 (x+2)=﹣f(x) ,当﹣1≤x<1 时,f(x)=x ,若函数 g(x)=f(x)=loga|x|只有 4 个零 点,则 a 取值范围是
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【考点】抽象函数及其应用. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 3 【分析】易求 y=f(x)是以 4 为周期的函数,利用﹣1≤x<1 时,f(x)=x ,分当 1≤x<3 时的解析式,在同一坐标系中,作出 y=f(x)与 g(x)=loga|x|的图象,解相应的不等式 组即可. 【解答】解:∵f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) , ∴函数 y=f(x)是以 4 为周期的函数, 又当﹣1≤x<1 时,f(x)=x , ∴当 1≤x<3 时,﹣1≤x﹣2<1, ∴f(x)=﹣f(x﹣2)=﹣(x﹣2) ; ∵g(﹣x)=loga|﹣x|=loga|x|=g(x) , ∴g(x)=loga|x|为偶函数,
3 3

又 g(x)=f(x)=loga|x|只有 4 个零点, ∴当 a>1 时,loga3<1<loga5,如图,解得 3<a<5;

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当 0<a<1 时,loga5<﹣1<loga3<0,同理解得 <a< ; ∴实数 a 的取值范围是(3,5)∪( , ) . 故答案为: (3,5)∪( , ) . 【点评】本题考查抽象函数及其应用,着重考查函数的周期性与奇偶性,考查作图能力与运 算能力,属于难题. 14. (4 分) (2014?奉贤区一模)已知函数 y=f(x) ,任取 t∈R,定义集合: .设 Mt,mt 分别表示集 合 At 中元素的最大值和最小值,记 h(t)=Mt﹣mt.则: (1)若函数 f(x)=x,则 h(1)= 2 ; (2)若函数 ,则 h(t)的最大值为 2 .
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【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】新定义;函数的性质及应用. 【分析】 (1)若函数 f(x)=x,则点 P(t,t) ,Q(x,x) ,根据|PQ|≤ ≤t+1,即 Mt=1+t,mt=1﹣t,由此可得 h(1)的值. (2)画出函数 f(x)=sin

,求得 1﹣t≤x

,画出函数的图象,分析点 P 在曲线上从 A 接近 B,从 B 接

近 C,从 C 接近 D 时,从 D 接近 E 时,h(t)值的变化情况,从而得到 h(t)的最小正周 期,可得 h(t)的最大值. 【解答】解: (1)若函数 f(x)=x,则 点 P(t,t) ,Q(x,x) , ∵|PQ|≤ ,∴ ,

化简可得|x﹣t|≤1,﹣1≤x﹣t≤1,即 1﹣t≤x≤t+1, 即 Mt=1+t,mt=1﹣t, ∵h(t)=Mt﹣mt, ∴h(1)=(1+1)﹣(1﹣1)=2. (2)若函数 f(x)=sin x,此时,函数的最小正周期为 =4,点 P(t,sin t) ,Q(x,

sin

x) ,

如图所示: 当点 P 在 A 点时,点 O 在曲线 OAB 上,Mt=1,mt=0,h(t)=Mt﹣mt=1. 当点 P 在曲线上从 A 接近 B 时,h(t)逐渐增大,当点 P 在 B 点时,Mt=1,mt=﹣1,h(t) =Mt﹣mt=2. 当点 P 在曲线上从 B 接近 C 时,h(t)逐渐见减小,当点 P 在 C 点时,Mt=1,mt=0,h(t) =Mt﹣mt=1. 当点 P 在曲线上从 C 接近 D 时,h(t)逐渐增大,当点 P 在 D 点时,Mt=1,mt=﹣1,h(t) =Mt﹣mt=2.
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当点 P 在曲线上从 D 接近 E 时,h(t)逐渐见减小,当点 P 在 E 点时,Mt=1,mt=0,h(t) =Mt﹣mt=1. …依此类推,发现 h(t)的最小正周期为 2,最大值为 2. 故答案为:2,2.

【点评】本题主要考查函数的周期性,考查新定义,体现了数形结合以及分类讨论的数学思 想,属于中档题. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (5 分) (2014?奉贤区一模)空间过一点作已知直线的平行线的条数( ) A.0 条 B.1 条 C.无数条 D.0 或 1 条 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由已知条件,利用平行公理进行判断. 【解答】解:空间过一点作已知直线的平行线, 如果点在已知直线上,满足条件的平行线不存在, 如果点不在已知直线上,由平行公理知: 满足条件的平行线有且只有一条. 综上:空间过一点作已知直线的平行线的有 0 条或者 1 条. 故选:D. 【点评】本题考查空间两条直线的位置关系,是基础题,解题时易错点是忽视点在已知直线 上的情况.
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16. (5 分) (2006?辽宁)设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(﹣x)是奇函数 B.f(x)|f(﹣x)|是奇函数 C.f(x)﹣f(﹣x)是偶函数 D.f(x)+f(﹣x)是偶函数 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】令题中选项分别为 F(x) ,然后根据奇偶函数的定义即可得到答案. 【解答】解:A 中令 F(x)=f(x)f(﹣x) ,则 F(﹣x)=f(﹣x)f(x)=F(x) , 即函数 F(x)=f(x)f(﹣x)为偶函数, B 中 F(x)=f(x)|f(﹣x)|,F(﹣x)=f(﹣x)|f(x)|,因 f(x)为任意函数,故此 时 F(x)与 F(﹣x)的关系不能确定,即函数 F(x)=f(x)|f(﹣x)|的奇偶性不确定,
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C 中令 F(x)=f(x)﹣f(﹣x) ,令 F(﹣x)=f(﹣x)﹣f(x)=﹣F(x) ,即函数 F(x) =f(x)﹣f(﹣x)为奇函数, D 中 F(x)=f(x)+f(﹣x) ,F(﹣x)=f(﹣x)+f(x)=F(x) ,即函数 F(x)=f(x) +f(﹣x)为偶函数, 故选 D. 【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断,同时考查了函数的运算.

17. (5 分) (2014?奉贤区一模)椭圆

的内接三角形 ABC(顶点 A、 )

B、C 都在椭圆上)的边 AB,AC 分别过椭圆的焦点 F1 和 F2,则△ABC 的周长(

A.总大于 6a B.总等于 6a C.总小于 6a D.与 6a 的大小不确定 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由椭圆的定义可得 AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,CF1+CF2=2a,三式相加可得 AF1+AF2+BF1+BF2+CF1+CF2=6a,结合△ABC 周长,即可得出结论. 【解答】解:连接 BF2,CF1,则 AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,CF1+CF2=2a, 三式相加可得 AF1+AF2+BF1+BF2+CF1+CF2=6a ∴AB+AC+BF2+CF1=6a, ∵BF2+CF1>BC, ∴AB+AC+BC<6a 故选 C. 【点评】本题考查三角形的周长,考查椭圆的定义,考查学生的计算能力,属于中档题.
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18. (5 分) (2014?奉贤区一模)设双曲线 nx ﹣(n+1)y =1(n∈N )上动点 P 到定点 Q (1,0)的距离的最小值为 dn,则 A. B. C.0 D.1
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2

2

*

的值为(



【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】设动点 P(x,y) ,由 Q(1,0) ,利用两点间距离公式求出|PQ|= ,再由极限知识和一元二次方程性质和配方法能求出 . 【解答】解:设动点 P(x,y) ,则 nx ﹣(n+1)y =1,
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2 2

∴y = ∵Q(1,0) , ∴|PQ|=

2



= = ∴ = = = . =( , )min

故选 A. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,涉及到两点间知识公式、极限、双曲线、一元 二次方程性质等知识点,解题时要注意配方法的合理运用. 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (12 分) (2014?奉贤区一模) (理科)如图,正三棱锥 P﹣ABC 中,底面 ABC 的边长为 2,正三棱锥 P﹣ABC 的体积为 V=1,M 为线段 BC 的中点,求直线 PM 与平面 ABC 所成 的角(结果用反三角函数值表示) .

【考点】直线与平面所成的角. 【专题】综合题;空间角. 【分析】连接 AM,过点 P 作 PH 垂直于 AM 于 H,证明∠PMH 为直线 PM 与平面 ABC 所 成的角 (或其补角) , 利用正三棱锥 P﹣ABC 底面 ABC 的边长为 2, 体积为 V=1, 可得 PH, 求出 HM,即可得出结论. 【解答】解:如图,连接 AM,过点 P 作 PH 垂直于 AM 于 H, 正三棱锥 P﹣ABC 中,
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3分

又 PH 为平面 PMA 中的一条直线, 所以 BC⊥PH 因为 PH⊥AM 且 BC∩AM=M, 所以 PH⊥平面 ABC,5 分 所以∠PMH 为直线 PM 与平面 ABC 所成的角(或其补角) 因为正三棱锥 P﹣ABC 底面 ABC 的边长为 2,体积为 V=1 所以由 知 ,

6分



所以 Rt△PHM 中,

,9 分 11 分

得∠PMH=arctan3, 故直线 PM 与平面 ABC 所成的角为 arctan3(或 12 分 或 )

【点评】本题考查线面角,考查线面垂直的证明,考查学生分析解决问题的能力,正确作出 线面角是关键.
2

20. (14 分) (2014?奉贤区一模)已知函数 f(x)=sin cos + (1)求方程 f(x)=0 的解集; (2)当 x ,求函数 y=f(x)的值域.

cos



【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的定义域和值域.
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【专题】综合题;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)由 f(x)=0,得 cos (sin + 分别求得其解集后,取其并集即可; (2)由于 f(x)= sinx+ (cosx+1)=sin(x+ )+ ,x∈[0, ]? x + ∈[ , cos )=0? cos =0 或 sin + cos =0,

],利用正弦函数的单调性与最值即可求得函数 y=f(x)的值域. 【解答】解: (1)由 f(x)=0,得 cos (sin + 由 cos =0, 得 =kπ+ 由 sin + 得 tan =﹣ ,x=2kπ+π(k∈Z) cos =0, , =kπ﹣ ,x=2kπ﹣ (k∈Z) . ,k∈Z}; , cos )=0,

所以方程 f(x)=0 的解集为{x|x=2kπ+π 或 x=2kπ﹣ (2)∵f(x)= sinx+ ∵x∈[0, ∴x+ ∈[ ], , ], (cosx+1)=sin(x+ )+

∴sin(x+ ∴f(x)∈[

)∈[ ,1], ,1+ ].

【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用,着重考查正弦函数的定义域和值域,突出等 价转换思想与综合运算能力,属于中档题. 21. (14 分) (2014?奉贤区一模) 在直角坐标系 xOy 中, 点 P 到两点 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点. (1)线段 AB 的长是 3,求实数 k; (2) (理)若点 A 在第四象限,当 k<0 时,判断| (文)求证: .
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|与|

|的大小,并证明.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的定义. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

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【分析】 (1)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 为焦点,长半 轴为 2 的椭圆,可得椭圆方程,直线方程与椭圆方程联立,利用线段 AB 的长是 3,结合弦 长公式,即可求实数 k; (2) (理)利用韦达定理,证明 ,即可;

(文)利用向量的数量积公式,结合韦达定理,即可证明结论. 【解答】 解: (1) 设P (x, y) , 由椭圆定义可知, 点 P 的轨迹 C 是以 为焦点,长半轴为 2 的椭圆, 故曲线 C 的方程为 . 4分

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足
2 2

消去 y 并整理得(1+2k )x +4kx﹣2=0,5 分 2 则△=32k +8,6 分 ,8 分





∴ ∴

, 9分 10 分 =

(2) (理) 证明如下:

= ∵A 在第四象限,故 x1>0. 由 知 x2<0,

12 分

从而 x1﹣x2>0.又 k<0,13 分 故 ,即在题设条件下,恒有 14 分.

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(文)

=x1x2+y1y2=(k +1)x1x2+k(x1+x2)+1=

2

=

<0 【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考 查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 22. (16 分) (2014?奉贤区一模) 投资公司拟投资开发某项新产品, 市场评估能获得 10~1000 万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投 资收益(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于万元,同时不超过投资收益的 20%. (1)设奖励方案的函数模型为 f(x) ,试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型 f(x) 的基本要求; (2)公司预设的一个奖励方案的函数模型:f(x)= 公司要求; (3) (理)求证:函数模型 g(x)= ﹣1,a 符合公司的一个奖励方案. (a>0) ,求 +2 试分析这个函数模型是否符合

(文)假设下面这个函数模型是符合公司的一个奖励方案:

实数 a 满足的条件. 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据题意可知奖励方案描述的是函数的单调性和最值,从而运用数学语言描述 出即可;
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(2) 对于函数模型 f (x) =

+2,研究它的单调性和恒成立问题, 即可判断是否符合(1)

中的基本要求; (3) (理)①②的验证很显然,③利用分析法证明; (文) x∈[10, 1000]时, g (x) = ≥1 成立,可得 a≥ 恒成立,设 立,根据 y= ﹣1 有意义, 可得 a≥ , 由g (x) min= + 恒成

﹣1≤ 恒成立,分离参数可得 a≤

+ 在 x∈[10,1000]时,单调递增,即可得出结论.

【解答】 (1)解:由题意知,公司对奖励方案的函数模型 f(x)的基本要求是: 当 x∈[10,1000]时,①f(x)是增函数;②f(x)≥1 恒成立;③ (2)解:对于函数模型 f(x)= +2, 恒成立,

当 x∈[10,1000]时,f(x)是单调递增函数,则 f(x)≥1 显然恒成立, 若函数 f(x)= +2≤ 在[10,1000]上恒成立,即 29x≥300 恒成立,

又∵(29x)min=290,

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∴f(x)=

+2 不恒成立, +2 满足基本要求①②,但是不满足③,

综上所述,函数模型 f(x)= 故函数模型 f(x)=

+2 不符合公司要求; ﹣1,a ,x∈[10,1000]时,满足

(3) (理)证明:函数模型 g(x)= 增函数,g(x)min=1 成立; 欲证 x∈[10,1000]时,

﹣1≤ 恒成立, 恒成立, + 恒成立,

只需证明 x∈[10,1000]时,ax﹣1≤ 只需证明 x∈[10,1000]时,a≤ ∵y=

+ 在 x∈[10,1000]时,单调递增,

∴x=10 时,函数取得最小值 1, ∵a , + 恒成立, ﹣1,a 符合公司的一个奖励方案. ﹣1 有意义, ∴a≥ , ∴g (x) min=

∴x∈[10,1000]时,a≤ ∴:函数模型 g(x)=

(文) x∈[10, 1000]时, g (x) = ≥1 成立, ∴a≥ 恒成立. 设 ∵y= ﹣1≤ 恒成立,则 ax﹣1≤

恒成立,即 a≤

+ 恒成立,

+ 在 x∈[10,1000]时,单调递增,

∴x=10 时,函数取得最小值 1, ∴a≤1, ∴a .

【点评】本题主要考查函数模型的选择,其实质是考查函数的基本性质,同时,确定函数关 系实质就是将文字语言转化为数学符号语言﹣﹣数学化, 再用数学方法定量计算得出所要求 的结果,关键是理解题意,将变量的实际意义符号化. 23. (18 分) (2014?奉贤区一模) (理)已知数列{an}的各项均不为零,a1=1,a2=m,且对 任意 n∈N ,都有
*


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(1)设 c=1,若数列{an}是等差数列,求 m; (2)设 c=1,当 n≥2,n∈N 时,求证: (3)当 c=(m+1) 时,求数列{an}的通项公式. 【考点】数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列.
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*

是一个常数;

2

【分析】 (1)由题设条件求出公差,再利用等差数列的通项公式分别求出 an,an+1,an+2, 根据已知条件能求出 m. (2)由题设条件先求出 , ,猜想 ,由此能够证明

是一个常数.

(3)先由已知条件求出 能够求出数列{an}的通项公式. 【解答】解: (1)由题意得:d=a2﹣a1=m﹣1, an=1+(n﹣1) (m﹣1) , an+1=1+n(m﹣1) , an+2=1+(n+1) (m﹣1) ∵
2

,再类比猜想

,由此



∴[1+n(m﹣1)] =[1+(n﹣1) (m﹣1)][1+(n+1) (m﹣1)]+1 解得 m=2. (2)法一:∵a1=1,a2=m, ,c=1,



,∴



猜想

欲证明

恒成立

只需要证明

恒成立

即要证明 an+1(an﹣1+an+1)=an(an+an+2)恒成立 即要证明 恒成立,
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∵ ∴ ∵an+1an﹣1+ = ∴ =

, , , , 成立.

综上所述:

是一个常数.

法二:∵a1=1,a2=m,

,c=1,



,∴



猜想



, , , 由于 an≠0,上式两边同除以 anan+1, 得 .







是常数.
2

(3)∵a1=1,a2=m, ∴a3=﹣2m﹣1, ,

,c=(m+1) ,

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类比猜想



, , , 由于 an≠0,上式两边同除以 anan+1, 得 .







是常数,





∴(an﹣1+an)+(an+1+an)=0, ∴(an﹣1+an)=﹣(an+1+an) , ∴ ,

∴a1=1,a2=m,a3=﹣(2m+1) ,a4=(3m+2) , 由此猜想 用数学归纳法证明:显然 n=1 时,成立, 假设 则 =(﹣1) ∴ ∴ =(﹣1) ∴对一切
k+1 k﹣1





(m+1)﹣(﹣1) [(k﹣1)m+(k﹣2)], ,

k

[km+(k﹣1)], .

【点评】本题考查数列知识的综合运用,综合性强,难度大,解题时要认真审题,仔细挖掘 题设条件中的隐含条件,注意合理地进行类比猜想.
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参与本试卷答题和审题的老师有: sllwyn; ywg2058; 清风慕竹; maths; wfy814; qiss; minqi5; 刘长柏;翔宇老师;zlzhan;wsj1012(排名不分先后) 菁优网 2016 年 7 月 26 日

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考点卡片
1.交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集,记作 A∩B. 符号语言:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. A∩B 实际理解为:x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素. 当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集. 运算形状: ①A∩B=B∩A. ②A∩?=?. ③A∩A=A. ④A∩B? A, A∩B? B. ⑤A∩B=A?A? B. ⑥A∩B= ?,两个集合没有相同元素.⑦A∩(CUA)=?.⑧CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB) . 【解题方法点拨】 解答交集问题, 需要注意交集中: “且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且” 混用;求交集的方法是:①有限集找相同;②无限集用数轴、韦恩图. 【命题方向】掌握交集的表示法,会求两个集合的交集. 命题通常以选择题、填空题为主,也可以与函数的定义域,值域,函数的单调性、复合函数 的单调性等联合命题. 2.函数的最值及其几何意义 【知识点的认识】 函数最大值或最小值是函数的整体性质,从图象上看,函数的最大值或最小值是图 象最高点或最低点的纵坐标, 求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值, 然后进行比 较可得. 【解题方法点拨】 ①基本不等式法:如当 x>0 时,求 2x+ 的最小值,有 2x+ ≥2 =8;

②转化法:如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值,那么可以看成是数轴上的点到 x=5 和 x=3 的距 离之和,易知最小值为 2; ③求导法:通过求导判断函数的单调性进而求出极值,再结合端点的值最后进行比较. 【命题方向】 本知识点是常考点,重要性不言而喻,而且通常是以大题的形式出现,所以务必引起重 视.本知识 点未来将仍然以复合函数为基础,添加若干个参数,然后求函数的定义域、参 数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围. 常用方法有分离参变量法、 多次求 导法等. 3.函数奇偶性的性质 【知识点的认识】 ①如果函数 f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个 x,都有 f(﹣x) =﹣f(x) ,那么函数 f(x)就叫做奇函数,其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数 f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个 x,都有 f(﹣x)=f(x) ,那么函数 f (x)就叫做偶函数,其图象特点是关于 y 轴对称. 【解题方法点拨】
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①奇函数:如果函数定义域包括原点,那么运用 f(0)=0 解相关的未知量; ②奇函数:若定义域不包括原点,那么运用 f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数; ③偶函数:在定义域内一般是用 f(x)=f(﹣x)这个去求解; ④对于奇函数,定义域关于原点对称的部分其单调性一致,而偶函数的单调性相反. 例题:函数 y=x|x|+px,x∈R 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶 D.与 p 有关 解:由题设知 f(x)的定义域为 R,关于原点对称. 因为 f(﹣x)=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f(x) , 所以 f(x)是奇函数. 故选 B. 【命题方向】函数奇偶性的应用. 本知识点是高考的高频率考点,大家要熟悉就函数的性质,最好是结合其图象一起分 析,确保答题的正确率. 4.抽象函数及其应用 【知识点的认识】 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一 类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一. 【解题方法点拨】 ①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来,如 f(x+y)=f(x)+f(y) , 它的原型就是 y=kx; ②可通过赋特殊值法使问题得以解决 例:f(xy)=f(x)+f(y) ,求证 f(1)=f(﹣1)=0 令 x=y=1,则 f(1)=2f(1)? f(1)=0 令 x=y=﹣1,同理可推出 f(﹣1)=0 ③既然是函数,也可以运用相关的函数性质推断它的单调性; 【命题方向】抽象函数及其应用. 抽象函数是一个重点, 也是一个难点, 解题的主要方法也就是我上面提到的这两种. 高 考中一般以中档题和小题为主,要引起重视. 5.对数函数的单调性与特殊点 【知识点归纳】 对数函数的单调性和特殊点: 1、对数函数的单调性 当 a>1 时,y=logax 在(0,+∞)上为增函数 当 0<a<1 时,y=logax 在(0,+∞)上为减函数 2、特殊点 对数函数恒过点(1,0) 6.反函数 【知识点归纳】 【定义】一般地,设函数 y=f(x) (x∈A)的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示出,得到 x=g(y) .若对于 y 在中的任何一个值,通过 x=g(y) ,x 在 A 中都有 唯一的值和它对应,那么,x=g(y)就表示 y 是自变量,x 是因变量是 y 的函数,这样的函
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数 y=g(x) (x∈C)叫做函数 y=f(x) (x∈A)的反函数,记作 y=f 1) (x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域. 【性质】 反函数其实就是 y=f(x)中,x 和 y 互换了角色
﹣1

(﹣1 )

(x) 反函数 y=f

(﹣

(1)函数 f(x)与他的反函数 f (x)图象关于直线 y=x 对称;函数及其反函数的图形关 于直线 y=x 对称 (2)函数存在反函数的重要条件是,函数的定义域与值域是一一映射; (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; (4)大部分偶函数不存在反函数(当函数 y=f(x) ,定义域是{0} 且 f(x)=C (其中 C 是常数) ,则函数 f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C},值域为{0} ) .奇 函数不一定存在反函数, 被与 y 轴垂直的直线截时能过 2 个及以上点即没有反函数. 若一个 奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数. (5)一切隐函数具有反函数; (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性; (7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】 ; (8)反函数是相互的且具有唯一性; (9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反) ; (10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定) (在有反函数的情况下,即满足(2) ) . 7.函数的零点 【函数的零点】 一般地,对于函数 y=f(x) (x∈R) ,我们把方程 f(x)=0 的实数根 x 叫作函数 y=f(x) (x∈D) 的零点. 即函数的零点就是使函数值为 0 的自变量的值. 函数的零点不是一个点, 而是一个实数. 【解法﹣﹣二分法】 ①确定区间[a,b],验证 f(a)*f(b)<0,给定精确度; ②求区间(a,b)的中点 x1; ③计算 f(x1) ; ④若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点; ⑤若 f(a)f(x1)<0,则令 b=x1(此时零点 x0∈(a,x1) ) ;⑥若 f(x1)f(b)<0,则令 a=x1. (此时零点 x0∈(x1,b) ⑦判断 是否满足条件,否则重复(2)~(4) 【总结】 零点其实并没有多高深, 简单的说, 就是某个函数的零点其实就是这个函数与 x 轴的交 点,另外如果在(a,b)连续的函数满足 f(a)?f(b)<0,则(a,b)至少有一个零点.这 个考点属于了解性的,知道它的概念就行了. 8.函数模型的选择与应用 【知识点的知识】 1.实际问题的函数刻画 在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,许多联系可以用函数刻画.用函数的观点 看实际问题,是学习函数的重要内容. 2.用函数模型解决实际问题 (1)数据拟合: 通过一些数据寻求事物规律, 往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点, 观察这些点的 整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象,选定函数形式后,将一些数据代入这个
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函数的一般表达式,求出具体的函数表达式,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定 这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合. (2)常用到的五种函数模型: ①直线模型:一次函数模型 y=kx+b(k≠0) ,图象增长特点是直线式上升(x 的系数 k>0) , 通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型 y=kx(k>0) . ②反比例函数模型:y= (k>0)型,增长特点是 y 随 x 的增大而减小. ③指数函数模型:y=a?b +c(b>0,且 b≠1,a≠0) ,其增长特点是随着自变量的增大,函 数值增大的速度越来越快(底数 b>1,a>0) ,常形象地称为指数爆炸. ④对数函数模型,即 y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,增长特点是随着自变量的增大, 函数值增大越来越慢(底数 a>1,m>0) . ⑤幂函数模型,即 y=a?x +b(a≠0)型,其中最常见的是二次函数模型:y=ax +bx+c(a≠ 0) ,其特点是随着自变量的增大,函数值先减小后增大(a>0) . 在以上几种函数模型的选择与建立时,要注意函数图象的直观运用,分析图象特点,分析变 量 x 的范围,同时还要与实际问题结合,如取整等. 3.函数建模 (1)定义:用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程,叫作数学建模. (2)过程:如下图所示.
n 2 x

【典型例题分析】 典例 1:某公司为了实现 1000 万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案: 销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金数额 y(单位:万元)随销售利润 x (单位: 万元) 的增加而增加, 但奖金数额不超过 5 万元, 同时奖金数额不超过利润的 25%, 600 其中模型能符合公司的要求的是 (参考数据: 1.003 ≈6, 1n7≈1.945, 1n102≈2.302) ( ) A.y=0.025x B.y=1.003 C.y=l+log7x
x

D.y=

x

2

分析:由题意,符合公司要求的模型只需满足:当 x∈[10,1000]时,①函数为增函数; ②函数的最大值不超过 5;③y≤x?25%,然后一一验证即可. 解答:解:由题意,符合公司要求的模型只需满足: 当 x∈[10,1000]时, ①函数为增函数;②函数的最大值不超过 5;③y≤x?25%= x, A 中,函数 y=0.025x,易知满足①,但当 x>200 时,y>5 不满足公司要求; x B 中,函数 y=1.003 ,易知满足①,但当 x>600 时,y>5 不满足公司要求;
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C 中,函数 y=l+log7x,易知满足①,当 x=1000 时,y 取最大值 l+log71000=4﹣lg7<5,且 l+log7x≤ x 恒成立,故满足公司要求; D 中,函数 y= x ,易知满足①,当 x=400 时,y>5 不满足公司要求;
2

故选 C 点评:本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查方案的优化设计,解题的关键是 一一验证. 典例 2:某服装生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 2015 年度进行一系列促销活动, 经过市场调查和测算,服装的年销量 x 万件与年促销 t 万元之间满足关系式 3﹣x= (k

为常数) ,如果不搞促销活动,服装的年销量只能是 1 万件.已知 2015 年生产服装的设备折 旧,维修等固定费用需要 3 万元,每生产 1 万件服装需再投入 32 万元的生产费用,若将每 件服装的售价定为:“每件生产成本的 150%”与“平均每件促销费的一半”之和,试求: (1)2015 年的利润 y(万元)关于促销费 t (万元)的函数; (2)该企业 2015 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费,生产成本=固定费用+生产费用) 分析: (1)通过 x 表示出年利润 y,并化简整理,代入整理即可求出 y 万元表示为促销费 t 万元的函数. (2)根据已知代入(2)的函数,分别进行化简即可用基本不等式求出最值,即促销费投入 多少万元时,企业的年利润最大. 解答:解: (1)由题意:3﹣x= 且当 t=0 时,x=1. 所以 k=2,所以 3﹣x= ,…(1 分) ,…(2 分) …(3 分) = , (t≥50) ;…(2 分) 当且仅当 ,即 t=7 时取等号,…(4 分) ,

生产成本为 32x+3,每件售价 所以,y= =16x﹣ (2)因为

所以 y≤50﹣8=42,…(1 分) 答:促销费投入 7 万元时,企业的年利润最大.…(1 分) 点评:本小题主要考查函数模型的选择与应用,看出基本不等式在求最值中的应用,考查学 生分析问题和解决问题的能力,强调对知识的理解和熟练运用,考查转化思想的应用. 【解题方法点拨】 用函数模型解决实际问题的常见类型及解法: (1)解函数关系已知的应用题

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①确定函数关系式 y=f(x)中的参数,求出具体的函数解析式 y=f(x) ;②讨论 x 与 y 的对 应关系,针对具体的函数去讨论与题目有关的问题;③给出实际问题的解,即根据在函数 关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案. (2)解函数关系未知的应用题 ①阅读理解题意 看一看可以用什么样的函数模型,初步拟定函数类型; ②抽象函数模型 在理解问题的基础上,把实际问题抽象为函数模型; ③研究函数模型的性质 根据函数模型,结合题目的要求,讨论函数模型的有关性质,获得函数模型的解; ④得出问题的结论 根据函数模型的解,结合实际问题的实际意义和题目的要求,给出实际问题的解. 9.等比数列的前 n 项和 【知识点的知识】 1.等比数列的前 n 项和公式等比数列{an}的公比为 q(q≠0) ,其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn= = .

2.等比数列前 n 项和的性质 公比不为﹣1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn, S2n﹣Sn, S3n﹣S2n 仍成等比数列, n 其公比为 q . 10.等差数列的性质 【知识点的知识】 等差数列的性质: (1)若公差 d>0,则为递增等差数列;若公差 d<0,则为递减等差数列;若公差 d=0,则 为常数列; (2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和; + (3)m,n∈N ,则 am=an+(m﹣n)d; (4)若 s,t,p,q∈N*,且 s+t=p+q,则 as+at=ap+aq,其中 as,at,ap,aq 是数列中的项, 特别地,当 s+t=2p 时,有 as+at=2ap; (5)若数列{an},{bn}均是等差数列,则数列{man+kbn}仍为等差数列,其中 m,k 均为常 数. (6)an,an﹣1,an﹣2,…,a2,a1 仍为等差数列,公差为﹣d. (7)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的 等差中项,即 2an+1=an+an+2, + 2an=an﹣m+an+m, (n≥m+1,n,m∈N ) (8)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍为等差数列,公差为 kd(首项不一定选 a1) . 11.数列递推式
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【知识点的知识】 1、递推公式定义:如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 an﹣ (或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 1 2、数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式:an= .

在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系,是本讲内容一个重点,要认真掌握. 注意: (1) 用 an=Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时, 你注意到此等式成立的条件了吗? (n≥2, 当 n=1 时,a1=S1) ;若 a1 适合由 an 的表达式,则 an 不必表达成分段形式,可化统一为一个 式子. (2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式 an=Sn﹣Sn﹣1,先将 已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解. 3、数列的通项的求法: (1)公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. (2)已知 Sn(即 a1+a2+…+an=f(n) )求 an,用作差法:an= .一般

地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时, 常需运用关系式, 先将已知条件转化为只含 或 的关系式,然后再求解. (3)已知 a1?a2…an=f(n)求 an,用作商法:an,= .

(4)若 an+1﹣an=f(n)求 an,用累加法:an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1) +a1(n≥2) . (5)已知 =f(n)求 an,用累乘法:an= (n≥2) .

(6)已知递推关系求 an,有时也可以用构造法(构造等差、等比数列) .特别地有, n ①形如 an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+b (k,b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公 比为 k 的等比数列后,再求 an. ②形如 an= 的递推数列都可以用倒数法求通项.

(7)求通项公式,也可以由数列的前几项进行归纳猜想,再利用数学归纳法进行证明. 12.平行向量与共线向量 【知识点的知识】 1、平行向量: 方向相同或相反的非零向量.如果 , , 是非零向量且方向相同或相反(向量所在 的直线平行或重合) ,则可即位 ∥ ∥ ,任一组平行向量都可移动到同一条直线上,因此 平行向量又叫共线向量,任一向量都与它自身是平行向量,并且规定,零向量与任一向量平 行.
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2、共线向量: 如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后, 这些有向线段在同一条直线上, 这样的 一组向量称为共线向量.零向量与任一向量共线. 说明: (1)向量有两个要素:大小和方向. (2)向量 与向量 共线的充要条件是:向量 a 与向量 b 的方向相同或相反,或者有一个是 零向量. 13.平面向量的坐标运算 【知识点的知识】 平面向量除了可以用有向线段表示外,还可以用坐标表示,一般表示为 =(x,y) ,意 思为以原点为起点,以(x,y)为终点的向量,它的模为 d= .若 =(m,n) ,则

+ =(x+m,y+n) ,则 ﹣ =(x﹣m,y﹣n) ; ? =(xm,ny) ,λ =(λx,λy) . 【典型例题分析】 例: 已知平面向量 满足: , , 且 , 则向量 的坐标为 (4,

2)或(﹣4,﹣2) . 解:根据题意,设 =(x,y) , 若 若 ,有
2

=0,则﹣x+2y=0,①,
2

,x +y =20,②,

联立①②,可得



解可得





则 =(4,2)或(﹣4,﹣2) ; 故答案为(4,2)或(﹣4,﹣2) . 这个题就是考察了向量的坐标运算,具体的可以先设 =(x,y) ,根据题意,由 可得﹣x+2y=0,①,由
2 2



,可得 x +y =20,②,联立①②两式,解可得 x、y 的

值,即可得 的坐标.这也是常用的一种方法.

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【考点点评】 这是一个很重要的考点, 也是一个比较容易的考点, 大家在学习的时候关键是掌握公式 的应用,常用的解法一般就是上面例题中的先设未知数,再求未知数. 14.程序框图 【知识点的知识】 1.程序框图 (1)程序框图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来 准确、直观地表示算法的图形; (2)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 表示一个算法的起始和结束, 是任何算法程序框图不可缺 少的.

起止框

输入、输 出框 处理框

表示一个算法输入和输出的信息, 可用在算法中任何需要 输入、输出的位置. 赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等,它们 分别写在不同的用以处理数据的处理框内. 判断某一条件是否成立, 成立时在出口处标明“是”或“Y”; 不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”.

判断框

流程线

算法进行的前进方向以及先后顺序

连结点 注释框

连接另一页或另一部分的框图 帮助编者或阅读者理解框图

(3)程序框图的构成. 一个程序框图包括以下几部分:实现不同算法功能的相对应的程序框;带箭头的流程线;程 序框内必要的说明文字. 15.三角函数中的恒等变换应用 【知识点的认识】 1.同角三角函数的基本关系 2 2 (1)平方关系:sin α+cos α=1. (2)商数关系: =tanα.

2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cos_α,其中 k∈Z. 公式二:sin(π+α)=﹣sin_α,cos(π+α)=﹣cos_α,tan(π+α)=tanα.
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公式三:sin(﹣α)=﹣sin_α,cos(﹣α)=cos_α. 公式四:sin(π﹣α)=sinα,cos(π﹣α)=﹣cos_α. 公式五:sin( 公式六:sin( ﹣α)=cos_α,cos( +α)=cos_α,cos( ﹣α)=sinα. +α)=﹣sin_α

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α﹣β) :cos (α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ; (2)C(α+β) :cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ; (3)S(α+β) :sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; (4)S(α﹣β) :sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ; (5)T(α+β) :tan(α+β)= (6)T(α﹣β) :tan(α﹣β)= 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; 2 2 2 2 (2)C2α:cos 2α=cos α﹣sin α=2cos α﹣1=1﹣2sin α; (3)T2α:tan 2α= . . .

16.正弦函数的定义域和值域 三角函数的定义域和值域的规律方法 1. 求三角函数的定义域实际上是解三角不等式, 常借助三角函数线或三角函数图象来求解. 2.求解三角函数的值域(最值)的常见类型及方法. (1)形如 y=asinx+bcosx+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值域) ; (2)形如 y=asin x+bsinx+c 的三角函数,可先设 sinx=t,化为关于 t 的二次函数求值域(最 值) ; (3)形如 y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c 的三角函数,可设 t=sinx±cosx,化为关于 t 的二 次函数求解. 17.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换 【知识点的知识】 函数 y=sinx 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象的步骤
2

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两种变换的差异 先相位变换再周期变换(伸缩变换) ,平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换) 再相位变换,平移的量是 言的. 【解题方法点拨】 1.一个技巧 列表技巧:表中“五点”中相邻两点的横向距离均为 ,利用这一结论可以较快地写出“五点” 的坐标. 2.两个区别 (1)振幅 A 与函数 y=Asin (ωx+φ)+b 的最大值,最小值的区别:最大值 M=A+b,最小值 m=﹣A+b,故 A= . (ω>0)个单位.原因是相位变换和周期变换都是针对 x 而

(2)由 y=sinx 变换到 y=Asin (ωx+φ)先变周期与先变相位的(左、右)平移的区别:由 y=sinx 的图象变换到 y=Asin (ωx+φ) 的图象, 两种变换的区别: 先相位变换再周期变换 (伸 缩变换) , 平移的量是|φ|个单位; 而先周期变换 (伸缩变换) 再相位变换, 平移的量是 (ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多少值, 而不是依赖于 ωx 加减多少值. 3.三点提醒 (1)要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象; (2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函 数; (3)由 y=Asinωx 的图象得到 y=Asin(ωx+φ)的图象时,需平移的单位数应为 是|φ|. 18.由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式 【知识点的知识】 根据图象确定解析式的方法: ,而不

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在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= 由周期 T 确定,即由 =T 求出,φ 由特殊点确定.

,k=

,ω

19.轨迹方程 【知识点的认识】 1.曲线的方程和方程的曲线 在平面内建立直角坐标系以后,坐标平面内的动点都可以用有序实数对(x,y)表示,这就 是动点的坐标.当点按某种规律运动形成曲线时,动点坐标(x,y)中的变量 x、y 存在着 某种制约关系,这种制约关系反映到代数中,就是含有变量 x、y 的方程. 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看做适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与 一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线. 2.求曲线方程的一般步骤(直接法) (1)建系设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任一点 M 的坐标; (2)列式:写出适合条件 p 的点 M 的集合{M|p(M)}; (3)代入:用坐标表示出条件 p(M) ,列出方程 f(x,y)=0; (4)化简:化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点 【常用解法】 (1)直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(如 两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简.这种求轨迹方程 的过程不需要特殊的技巧. (2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆 等) ,可用定义直接探求.关键是条件的转化,即转化为某一基本轨迹的定义条件. (3)相关点法:用所求动点 P 的坐标(x,y)表示已知动点 M 的坐标(x0,y0) ,即得到 x0=f(x,y) ,y0=g(x,y) ,再将 x0,y0 代入 M 满足的条件 F(x0,y0)=0 中,即得所求.一 般地,定比分点问题、对称问题可用相关点法求解,相关点法的一般步骤是:设点→转换→ 代入→化简. (4)待定系数法 (5)参数法 (6)交轨法. 20.椭圆的定义 【知识点的认识】 1.椭圆的第一定义 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数 2a(2a>|F1F2|)的动点 P 的轨迹叫做 椭圆,其中,这两个定点 F1、F2 叫做椭圆的焦点,两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距. 2.椭圆的第二定义

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平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数 e= (0<e<1,其中 a 是 半长轴,c 是半焦距)的点的轨迹叫做椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫椭圆的准线,常 数 e 叫椭圆的离心率. 3.注意要点 椭圆第一定义中,椭圆动点 P 满足{P||PF1|+|PF2|=2a}. (1)当 2a>|F1F2|时,动点 P 的轨迹是椭圆; (2)当 2a=|F1F2|时,动点 P 的轨迹是线段 F1F2; (3)当 2a<|F1F2|时,动点 P 没有运动轨迹. 【命题方向】 利用定义判断动点运动轨迹,需注意椭圆定义中的限制条件:只有当平面内动点 P 与两个 定点 F1、F2 的距离的和 2a>|F1F2|时,其轨迹才为椭圆. 1.根据定义判断动点轨迹 例:如图,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 分析:根据 CD 是线段 MF 的垂直平分线.可推断出|MP|=|PF|,进而可知 |PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点 P 的轨迹. 解答:由题意知,CD 是线段 MF 的垂直平分线. ∴|MP|=|PF|, ∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|(定值) , 又显然|MO|>|FO|, ∴根据椭圆的定义可推断出点 P 轨迹是以 F、O 两点为焦点的椭圆. 故选 A 点评:本题主要考查了椭圆的定义的应用.考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用. 2.与定义有关的计算 例: 已知椭圆 上的一点 P 到左焦点的距离为 , 则点 P 到右准线的距离为 ( )

A.2 B.2 C.5 D.3 分析:先由椭圆的第一定义求出点 P 到右焦点的距离,再用第二定义求出点 P 到右准线的 距离 d. 解答:由椭圆的第一定义得 点 P 到右焦点的距离等于 4﹣ = ,离心率 e= , 再由椭圆的第二定义得 =e= , ∴点 P 到右准线的距离 d=5, 故选 C. 点评:本题考查椭圆的第一定义和第二定义,以及椭圆的简单性质.
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21.椭圆的简单性质 【知识点的认识】 1.椭圆的范围

2.椭圆的对称性

3.椭圆的顶点 顶点:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 顶点坐标(如上图) :A1(﹣a,0) ,A2(a,0) ,B1(0,﹣b) ,B2(0,b) 其中,线段 A1A2,B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 4.椭圆的离心率 ①离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率,用 e 表示,即:e= ,且 0<e <1. ②离心率的意义:刻画椭圆的扁平程度,如下面两个椭圆的扁平程度不一样:

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e 越大越接近 1,椭圆越扁平,相反,e 越小越接近 0,椭圆越圆.当且仅当 a=b 时,c=0, 椭圆变为圆,方程为 x +y =a . 2 2 2 5.椭圆中的关系:a =b +c . 22.双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0)
2 2 2

图形

焦点 焦距 范围 对称 顶点 轴 性 离心率 准线

F1(﹣c,0) ,F2( c,0) |F1F2|=2c |x|≥a,y∈R 关于 x 轴,y 轴和原点对称 (﹣a,0) . (a,0) 实轴长 2a,虚轴长 2b e= (e>1) x=± ± =0

F1(0,﹣c) ,F2(0,c) 2 2 2 a +b =c |y|≥a,x∈R (0,﹣a) (0,a)

y=± ± =0

渐近线 质

23.直线与圆锥曲线的综合问题 【概述】 直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点,比方说求封闭面积,求距离,求他们的 关系等等, 常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系, 通过这两个关系 的变形去求解. 【实例解析】

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例:已知圆锥曲线 C 上任意一点到两定点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)的距离之和为常数,曲 线 C 的离心率 .

(1)求圆锥曲线 C 的方程; (2)设经过点 F2 的任意一条直线与圆锥曲线 C 相交于 A、B,试证明在 x 轴上存在一个定 点 P,使 的值是常数. (a>b>0) ,

解: (1)依题意,设曲线 C 的方程为 ∴c=1, ∵ ∴a=2, ∴ , ,

所求方程为



(2)当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设其方程为 y=k(x﹣1) ,


2 2


2 2

得(3+4k )x ﹣8k x+4(k ﹣3)=0, 从而 设 P(t,0) ,则 = , ,

当 解得 此时对? k∈R,





当 AB⊥x 轴时,直线 AB 的方程为 x=1, xA=xB=1, ,
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, ,使 的值为常数 .



即存在 x 轴上的点

这是一道符合高考命题思维的题型,一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式; 第二问在求证某种特殊的关系, 像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式. 我 们看看解答思路,第一问就是求 a、b、c 中的两个值即可;第二问先是联立方程,然后把我 们要证的这个关系转化为根与系数的关系,这也是常用的方法. 【考点分析】 必考题,也是难题,希望大家多总结,尽量去总结一下各种题型和方法,在考试的时 候,如果运算量大可以适当的放到最后做. 24.旋转体(圆柱、圆锥、圆台) 【知识点的认识】 旋转体的结构特征: 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作 旋转面;该定直线 叫做旋转体的轴;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体. 1.圆柱 ①定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何

体叫做圆柱. 圆柱用轴字母表示,如下图圆柱可表示为圆柱 OO′. ②认识圆柱

③圆柱的特征及性质

圆柱与底面平行的截面是圆,与轴平行的截面是矩形. ④圆柱的体积和表面积公式 设圆柱底面的半径为 r,高为 h:

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2.圆锥 ①定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围 成的几何体叫做圆锥.

圆锥用轴字母表示,如下图圆锥可表示为圆锥 SO. ②认识圆锥

③圆锥的特征及性质

与圆锥底面平行的截面是圆,过圆锥的顶点的截面是等腰三角形,两个腰都是母线. 2 2 2 母线长 l 与底面半径 r 和高 h 的关系:l =h +r ④圆锥的体积和表面积公式 设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线长为 l:

3.圆台 ①定义:以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而成的曲 面所围成的几何体叫做圆台.

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圆台用轴字母表示,如下图圆台可表示为圆台 OO′. ②认识圆台

③圆台的特征及性质

平行于底面的截面是圆,轴截面是等腰梯形. ④圆台的体积和表面积公式 设圆台的上底面半径为 r,下底面半径为 R,高为 h,母线长为 l:



25.棱柱、棱锥、棱台的体积 【知识点的知识】 柱体、锥体、台体的体积公式: V 柱=sh,V 锥= Sh.

26.空间中直线与直线之间的位置关系 【知识点的认识】 空间两条直线的位置关系: 位置关系 共面情况 相交直线 在同一平面内

公共点个数 有且只有一个

图示

平行直线

在同一平面内



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异面直线

不同时在任何一个平 面内



27.直线与平面所成的角 【知识点的知识】 1、直线和平面所成的角,应分三种情况:? (1) 直线与平面斜交时, 直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角; (2)直线和平面垂直时,直线和平面所成的角的大小为 90°;? (3)直线和平面平行或在平面内时,直线和平面所成的角的大小为 0°.? 显然,斜线和平面所成角的范围是(0, ) ;直线和平面所成的角的范围为[0, ].?

2、一条直线和一个平面斜交,它们所成的角的度量问题(空间问题)是通过斜线在平面内 的射影转化为两条相交直线的度量问题(平面问题)来解决的.具体的解题步骤与求异面直 线所成的角类似,有如下的环节:? (1)作﹣﹣作出斜线与射影所成的角;? (2)证﹣﹣论证所作(或找到的)角就是要求的角;? (3)算﹣﹣常用解三角形的方法(通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直 角三角形)求出角.? (4)答﹣﹣回答求解问题. 在求直线和平面所成的角时, 垂线段是其中最重要的元素, 它可起到联系各线段的纽带 的作用.在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想.? 3、斜线和平面所成角的最小性: 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的, 其中一条直线就是斜线本 身,另一条直线是斜线在平面上的射影.在平面内经过斜足的直线有无数条,它们和斜线都 组成相交的两条直线, 为什么选中射影和斜线这两条相交直线, 用它们所成的锐角来定义斜 线和平面所成的角呢?原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中,它是最小的 角.对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的,它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程 度”.根据线面所成的角的定义,有结论:斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内 的直线所成的一切角中最小的角.

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