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2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案


第三届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
(2006 年 7 月 27 日, 8:00-12:00, 南昌) 2(a ? b) x ? 2ab 一、 设 a ? b ? 0, f ( x) ? .证明:存在唯一的正数 x,使得 4x ? a ? b

f ( x) ? (

a ?b 3 ) . 2

1 3

1 3

A G

二、 如图所示,在△ABC 中, ?ABC ? 90?, D, G 是 边 CA 上的两点,连接 BD,BG。过点 A,G 分别作 BD 的垂线,垂足分别为 E,F,连接 CF。若 BE=EF,求证: ?ABG ? ?DFC 。

D F C

E B

三、 一副纸牌共 52 张,其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种 花色的牌各 13 张,标号依次是 2,3,?,10, J , Q, K , A,其中相同花色、相邻 标号的两张牌称为“同花顺牌”,并且 A 与 2 也算是顺牌(即 A 可以当成 1 使用). 试确定,从这副牌中取出 13 张牌,使每种标号的牌都出现,并 且不含“同花顺牌”的取牌方法数。
3 四、 对任意正整数 n,设 an 是方程 x ?

x ? 1 的实数根,求证: n

(1) an?1 ? an ; (2)

? (i ? 1) a
i ?1 2

n

1

? an 。

i

第二天
(2006 年 7 月 28 日, 8:00-12:00, 南昌) 五、 如图,在 ?ABC 中, ?A ? 60? , ?ABC 的内切圆 I 分 别切边 AB、AC 于点 D、E,直线 DE 分别与直线 BI、 1 CI 相交于点 F、G,证明: FG ? BC 。 2 六、 求最小的实数 m 使得对于满足 a+b+c=1 的任意正实 , 数 a,b,c,都有 m (a3 ? b3 ? c3) 6 a 2 ? b2 ? c2) 1 。 ?( ?
B A

G

D F I E

C

七、 (1)求不定方程 mn ? nr ? mr ? 2(m ? n ? r ) 的正整数解 (m, n, r ) 的组数。 (2)对于给定的整数 k>1,证明:不定方程 mn ? nr ? mr ? k (m ? n ? r ) 至 少有 3k+1 组正整数解 (m, n, r ) 。

八、 对于周长为 n (n ? N * ) 的圆 称满足如下条件的最小的正整数 Pn 为“圆剖分 , 数”:如果在圆周上有 Pn 个点 A1, A2 ,?, Apn ,对于1,2,?, n ? 1中的每一个整 数 m,都存在两个点 Ai , Aj (1 ? i, j ? P ) ,以 Ai 和 Aj 为端点的一条弧长等于 n m;圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列 Tn ? (a1, a2 ,?, aPn ) 称为“圆 剖分序列”。例如当 n=13 时,圆剖分 数为 P ? 4 ,如图所示,图中所标数字 13 为相邻两点之间的弧长,圆剖分序列为 T13 ? (1,3,2,7) 或 (1,2,6,4) 。求 P21 和 P31 , 7 并各给出一个相应的圆剖分序列。
1
3

1 4

2

2

6

答案
一、 【解法一】 令t ? (

2(a ? b) x ? 2ab a ?b 3 ,得 ) ,由 t ? 4x ? a ? b 2 [2(a ? b) ? 4t ]x ? t (a ? b) ? 2ab ?(1) 为证(1)有唯一的正数解 x,只要证, 2(a ? b) ? 4t ? 0 及 t (a ? b) ? 2ab ? 0 , 即
2ab a ?b 3 a?b ?( ) ? ? (2) a?b 2 2
1 3 1 3

1 3

1 3

记 a ? u, b ? v , u ? v, ,即要证
2u 3v3 ? u ? v ? u 3 ? v3 ?? ?(3) ? ? u 3 ? v3 ? 2 ? 2
3 3 ?u?v? ? 2 u 3v3 uv ? 2u 3v3 ,即(3)左端成立。 由于 ? u ? v ? ? ? ? 2 ? 3 3 3 1 u 2 ? uv ? v 2 2 2 ?u?v? u ?v , ? u ? v ? ? 4(u 2 ? uv ? v 2 ) , ? 为证 ? ,即 ? u ? v ? ? ? 8 2 2 ? 2 ? t (a ? b) ? 2ab 2 即 3? u ? v ? ? 0 ,此为显然.故(3)成立,从而 x ? 即为所求。 2(a ? b) ? 4t 【解法二】 2(a ? b) x ? 2ab 1 ( a ? b) 2 f ( x) ? ? ( a ? b) ? 在 (0, ??) 上为严格单调增加 4x ? a ? b 2 2(4 x ? a ? b) a?b 2ab 的连续函数,而且 f (0) ? , lim f ( x) ? 。据解法一(2)式知 2 a ? b x??? 3 3 3

1 3

1 3

?

?

2ab a3 ? b3 3 a ? b a 3 ? b3 3 ?( ) ? ,故存在唯一的正数 x,使得 f ( x) ? ( ) 。 a?b 2 2 2

1

1

1

1

二、 【证法一】 作 GM⊥AB 于 M,设 AE 与 BG 的交点为 K,连接 KM。由 BE=EF,及 AE//GF 知,
A M G

K 为 Rt△BGM 斜边 BG 上的中线,所以 BK=KG=MK, ?ABG ? ?BMK 。因为 K BF ? AK ? 4S?ABK ? 2S?ABG ? AB ? MG D AB AM 又 MG//BC,所以 ,故 AB ?MG ? F BC MG E B ? BC ? AM ,所以 BF ? AK ? BC ? AM , BF AM 即 。结合 ?KAB ? ?CBD ,知 ? BC AK △KAM ? △CBF,所以 ?AMK ? ?CFB ,于是 ?BMK ? ?CFD ,故 ?ABG ? ?DFC 。 【证法二】 作 Rt?ABC 的外接圆 w,延长 BD、AE 分别交 w 于 K、J。连接 BJ、CJ、KJ、FJ。易知 ?BAJ ? ?KBC , 故 BJ=KC。于是四边形 BJCK 是等腰梯形,又 AJ 垂直平分 BF,故 BJ=FJ,故四边形 FJCK 是平行 四边形. 设 AE 与 BG 的交点为 M,FC 与 JK 的交 点为 N,则 M、N 分别是 BG 和 FC 的中点, 于是 AB sin ?MAG sin ?JKC FK ? ? ? , AG sin ?BAM sin ?BKJ CK 又 ?BAG ? ?FKC ,于是 ?BAG ? ?FKC ,所以 ?ABG ? ?DFC 。 三、 先一般化为下述问题:设 n ? 3 ,从 A ? ? a1, a2 ,?, an ? , B ? ? b1, b2 ,?, bn ? ,

C

C ? ? c1, c2 ,?, cn ? , D ? ? d1, d2 ,?, dn ? 这四个数列中选取 n 个项,且满足: (i) 1, 2, ?, n 每个下标都出现; (ii) 下标相邻的任两项不在同一个数列中(下标 n 与 1 视为相邻),其选取方 法数记为 xn ,今确定 xn 的表达式: 将一个圆盘分成 n 个扇形格,顺次编号为1, 2, ?, n ,并将 n 1 2 3 数列 A, B, C, D 各染一种颜色,对于任一个选项方案,如果 n-1 下标为 i 的项取自某颜色数列 则将第 i 号扇形格染上该颜 , 色。于是 xn 就成为将圆盘的 n 个扇形格染四色,使相邻格 不同色的染色方法数,易知, x1 ? 4 、 x2 ? 12 、 xn ? xn?1 ? 4 ? 3n?1 ? n ? 3? ? (1)
将(1)写作 ? ?1? xn ? ? ?1?
n n ?1

xn?1 ? ?4 ? ? ?3?

n ?1



因此

? ?1?

n ?1

xn?1 ? ? ?1?
3

n?2

xn?2 ? ?4 ? ? ?3? ?
2

n?2

;

? ?1?
n n

x3 ? ? ?1? x2 ? ?4 ? ? ?3? ;
2

? ?1?

2

x2 ? ?4 ? ? ?3?
n

相加得, ? ?1? xn ? ? ?3? ? 3 ,于是 xn ? 3n ? 3 ? ? ?1? (n ? 2) 。 因此 x13 ? 313 ? 3 . 这就是所求的取牌方法数. a 3 四、 由 an ? n ? 1,得 0 ? an ? 1。 n (1) a a a a 3 3 3 3 0 ? an?1 ? an ? n?1 ? n ? an?1 ? an ? n?1 ? n n ?1 n n n 1 2 2 ? (an?1 ? an )(an?1 ? an?1an ? an ? ) n 1 2 2 因为 an?1 ? an?1an ? an ? ? 0 ,故 an?1 ? an ? 0 ,即 an?1 ? an . n ? 2 1? (2) 因为 an ? an ? ? ? 1 ,所以 n? ? 1 1 n , an ? ? ? 1 1 n ?1 2 an ? 1? n n 1 1 从而 , ? 2 ? n ? 1? an n ? n ? 1?
n 1 1 1 1 n ? ?i ? 1?2 a ? ? i ?i ? 1? ? ? ( i ? i ? 1) ? 1 ? n ? 1 ? n ? 1 ? an 。 i ?1 i ?1 i ?1 i n

1

n



? ? i ? 1?
i ?1

n

1

2

ai

? an .

五、 【证法一】 、 、、 分别连接 CF,BG,ID,IE,AI ,则 A D I E 四点共 1 1 圆。所以 ?IDE ? ?A ,从而 ?BDF ? 90? ? ?A ; 2 2 1 1 又 ?BIC ? 180? ? (?B ? ?C) 90? ? ?A , ? 2 2 所以 ?BDF ? ?BIC 。 又 ?DBF ? ?CBI ,得 ?FDB ? ?CIB 。所以 FB DB 。 ? CB IB

A

G

D F I E

B

C

又由 ?DBI ? ?FBC ,得 ?IDB ? ?CFB ,所以 CF ? BF ,从而 1 、、、 ?FCG ? ?A ? 30? 。同理 BG ? GC ,所以 B C F G 四点共圆,由此 2 1 FG ? BC ,所以 FG ? BC 。 2 sin ?FCG 【证法二】 1 180? ? ?A 1 因为 ?BIG ? (?B ? ?C ),又因为 ?BDG ? ?ADE ? ? (?B ? ?C ) , 2 2 2 、 、、 所以 B D I G 四点共圆,因此 ?BGC ? ?BDI ? 90? 。 、、、 同理 ?CFB ? 90? ,所以 B C F G 四点共圆。 1 又 ?FCG ? 90? ? ?FBC ? ?BCI ? 90? ? (?B ? ?C ) ? 30? ,所以 2 1 FG ? BC sin ?FCG ? BC . 2 六、 【解法一】 1 当 a=b=c ? 时,有 m ? 27 。下证不等式 3 27(a3 ? b3 ? c3 ) ? 6 (a 2 ? b2 ? c2 ) ? 1 对于满足 a+b+c=1 的任意正实数 a,b,c 都成立。 因为对于 0 ? x ? 1 ,有 4 27 x3 ? 6 x2 ? 5x ? ? 81x3 ? 18x 2 ? 15x ? 4 ? 0 ? (3x ? 1) 2 (9 x ? 4) ? 0 3 4 故 27 x3 ? 6 x 2 ? 5 x ? , 0 ? x ? 1 。 3 所以 4 27 a 3 ? 6a 2 ? 5a ? 3 4 27b3 ? 6b 2 ? 5b ? 3 4 27c 3 ? 6c 2 ? 5c ? 3 把上面三个不等式相加,得 27(a3 ? b3 ? c3 ) ? 6 (a 2 ? b2 ? c2 ) ? 1 . 所以,m 的最小值为 27。 【解法二】 1 当 a=b=c ? 时,有 m ? 27 。下证不等式 3 27(a3 ? b3 ? c3 ) ? 6 (a 2 ? b2 ? c2 ) ? 1 对于满足 a+b+c=1 的任意正实数 a,b,c 都成立。

因为 (a ? b)2 (a ? b) ? 0 ,所以 a3 ? b3 ? a2b ? ab2 ,同理, b3 ? c3 ? b2c ? bc2 , c3 ? a3 ? c2a ? ca2 , 于是 2(a 3 ? b3 ? c 3 ) ? a 2b ? b 2c ? c 2a ? ab 2 ? bc 2 ? ca 2 3(a 3 ? b3 ? c 3 ) ? a 3 ? b3 ? c 3 ? a 2b ? b 2c ? c 2a ? ab 2 ? bc 2 ? ca 2 ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? a 2 ? b2 ? c2 所以 6 ( a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 1 ? 6 ( a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? (a ? b ? c) 2 ? 6(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 3(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 9(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 27(a 3 ? b3 ? c3 ) 所以,m 的最小值为 27. 七、 (1) 若 m, n, r ? 2 ,由 mn ? 2m, nr ? 2n, mr ? 2r 得 mn ? nr ? mr ? 2(m ? n ? r ) , 所以以上不等式均取等号,故 m ? n ? r ? 2 。 若1?{m, n, r} ,不妨设 m=1,则 nr ? n ? r ? 2(1 ? n ? r ) ,于是 (n ? 1)(r ? 1) ? 3 , 所以{n ? 1, r ? 1} ? {1, 3} ,故 {n, r} ? {2, 4},{m, n, r} ? {1, 2, 4},这样的 解有 3! ? 6 组。 所以,不定方程 mn ? nr ? mr ? 2(m ? n ? r ) 共有 7 组正整数解。 (2) 将 mn ? nr ? mr ? k (m ? n ? r ) 化为 [n ? (k ? m)][r ? (k ? m)] ? k 2 ? km ? m 2 。 k n ? k ? m ? 1, r ? k 2 ? km ? m2 ? k ? m 满足上式,且 m ? 1,2,?,[ ] 时, 2 0?m?n?r。 k 2 2 k 为偶数时,{m, n, r} ? {l , k ? l ? 1, k ? kl ? l ? k ? l},其中 l ? 1,2,?, 给 2 k 组正整数解。 出了不定方程的 3 k ?1 2 2 k 为奇数时 {m, n, r} ? {l , k ? l ? 1, k ? kl ? l ? k ? l}, , 其中 l ? 1,2,?, 2 k ?1 给出了不定方程的 3 (k ? 1) 组正整数解, m, n, r 中有两个 ,另一个 2 k ?1 k ?1 2 k ? 1 (k ? 1)(3k ? 1) 为 k2 ? k 的情况给出了不定方 ?( ) ?k ? ? 2 2 2 4 程的 3 组正整数解; 而 m ? n ? r ? k 亦为不定方程的正整数解.

故不定方程 mn ? nr ? mr ? k (m ? n ? r ) 至少有 3k+1 组正整数解。 八、 由于 k 个点中,每两个点间可得一段优弧和一段劣弧,故 5 至多可得 k (k ? 1) 个弧长值。当 k (k ? 1) ? 20 时,则 k ? 5 ;而 当 k (k ? 1) ? 30 时,则 k ? 6 。另一方面,在 k ? 5 时,可以给 2 出剖分图所以,P ? 5,T21 ? (1,3,10,2,5) .对于 n=31,在 k=6 21 时,类似可给出剖分图
1 5 2 7 4
13 4 6
8
1

3

10

1

2
10

1

3 2 7

1 14

3 6

1 14 7 3

5

12

5

2

4

2

所以, P ? 6 , T31 ? (1,2,7,4,12,5) 、 (1,2,5,4,6,13) 、 (1,3,2,7,8,10) 、 31 (1,3,6,2,5,14) 或 (1,7,3,2,4,14) 等。


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