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2015年高中数学 3.4.1函数与方程(1)课件 苏教版必修1


高中数学 必修1

情境问题:
在第3.2.1节中,我们利用对数求出了方程0.84x=0.5的近似解;

利用函数的图象能求出方程0.84x=0.5的近似解吗?

情境问题:
y 如图1,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于 (-2,0)点,试根据图象填空 : (1)k 0,b 0; (2)方程k

x+b=0的解是 ; (3)不等式kx+b<0的解集 .

-2 O 图1 x

y 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象x轴交于点(-3,0) 和(1,0),且开口方向向下,试画出图象并结合图象填空: 3 2 (1)方程ax +bx+c =0的解是 ; 1 x (2)不等式ax2+bx+c>0的解集为 ; 2 不等式ax2+bx+c<0的解集为 . -4 -2O 方程f (x)=0的解、不等式f (x)<0、f (x)>0的解集 与函数y=f (x)的图象密切相关: 方程f (x)=0的解是函数y=f (x)的图象与x轴交点的横坐标, 如何定义这一数值呢?

数学建构:
函数零点的定义: 一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根称为一次函数y=kx+b的零点. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)

的零点.

一般地,对于函数y=f (x)(x?D),我们把使f (x)=0的实数x叫做函 数y=f (x)(x?D)的零点.

数学应用:
例1 函数y=f (x)(x?[-5,3])的图象如图所示 ,根据图象,写出函数f (x) 的零点及不等式f (x)>0与f (x)<0的解集.

y
函数f (x)的零点 x1=-2 x2=0 x3=2 不等式f (x)>0的解集为 {x|-2<x<0或2<x≤3} 不等式f (x)<0的解集为 {x|-5≤x<-2或0<x<2} -5 -3 -1 O

1
3 x

数学探究:
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的零点、图象与一元二次方程ax2+bx +c=0的实数根的关系.

△=b2-4ac
ax2+bx+c=0的根

△>0

△=0

△<0

y=ax2+bx+c的图 象
y=ax2+bx+c的零 点
见课本92页表3-4-1

数学应用:
例2 求证:二次函数y=2x2+3x-7 有两个不同的零点.

变式练习1.下列区域:(1)(-3,-2),(2)(-2,-1),(3)(-1,0),

(4)(0, 1),(5)(1,2),(6)(2,3),函数y=2x2+3x-7的两个零点分别
在其中的区间 (1) (5) 上.

数学建构:
函数零点存在条件 :
若函数y=f (x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f (a)· f (b)<0,则函数y=f (x)在区间(a,b)上有零点.

思考:若x0是二次函数y=f (x)的零点,且a<x0 <b,那么f (a)· f (b)< 0 一定成立吗?

数学应用:
例3.判断函数f(x)=x2-2x-1在区间(2,3)上是否存在零点? 变式练习2. (1)函数f(x)=2x2-5x+2的零点是_______ . (2)若函数f(x)=x2-2ax+a没有零点,则实数a的取值范围是_________; (3) 二次函数y=2x2+px+15的一个零点是-3,则另一个零点是 ;

数学应用:
例4.求证:函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2,-1)上存在零点. 变式练习3. 已知函数f(x)=x3-3x+3在R上有且只有一个零点,且该零点在区间 [t,t+1]上,则实数t= .

数学应用:
补充例题.若关于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0有一根在(0,1)内,试确定 实数m 的范围.

变式1.已知方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,求实数a的取值范围.

变式2.已知方程ax2+2x-1=0在(0,1)内恰有一解,求实数a的取值范围.

数学应用:
补充练习1.已知函数f (x)=(x-a)(x-b)-2(a<b)的两个零点分别是?, ?(?<?),则实数a、b、?、?的大小关系用“<”按从小到大的顺序排列 是 . 2.若函数f (x)=x2-ax+a2-7的零点一个大于2,一个小于2,则实数 a的取值范围是 . 3.若函数f (x)=x2-ax+a2-7的零点都大于2,则实数a的取值范围 是 .

4.若函数f (x)=x2-ax+a2-7的零点都小于2,则实数a的取值范围 是 .

小结:
二次函数与 一元二次方程

二次函数 的零点

二次函数的零点与对应一元 二次方程根的关系

函数的零点

函数零点存在的条件

作业:

课本P97-习题2,5.


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