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2016届江西吉安一中高三三模考试数学(理)试题(解析版)


2016 届江西吉安一中高三三模考试数学(理)试题
一、选择题 1.已知集合 M ? {x | x ? 1}, N ? {x | 2 x ? 1} ,则 M ? N ? ( A. ? C. {x | x ? 1} 【答案】D 【解析】试题分析:因为 N ? {x | 2 x ? 1} ? x x ? 0 ,所以 M ? N ? {x | 0 ? x ? 1} , 故选

D. 【考点】集合的运算及指数不等式. 2.复数 z ? B. {x | x ? 0} D. {x | 0 ? x ? 1} )

?

?

i 的共轭复数在复平面内所对应的点位于( 1 ? 2i
B.第二象限 D.第四象限



A.第一象限 C.第三象限 【答案】D

【解析】试题分析:复数 z ? 复数 z ?

i 2 1 2 1 可化为 z ? ? i ,共轭复数是 z ? ? i ,所以 5 5 5 5 1 ? 2i

i 的共轭复数在复平面内所对应的点位于第四象限, 故选 D. 1 ? 2i

【考点】复数,共轭复数及复平面. 3.下列说法正确的是( )

1 ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件 a B. “ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件
A. a ? R , “
2 2 C.命题“ ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0 ”

D.命题 p : “ ?x ? R , sin x ? cos x ? 【答案】A

2” ,则 ? p 是真命题

1 1 ? 1 ,所以“ ? 1 ”是“ a ? 1 ” a a 1 1 的必要条件, 又因为 ? 1 时不能推出 a ? 1 , 如 a ? ?1 , 所以所以 “ ? 1” 是 “ a ? 1” a a 1 的不充分条件,综上可知“ ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件,故可知选 A. a
【解析】试题分析:对于 A,由于当 a ? 1 时一定有 【考点】充分条件必要条件. 4.已知直线 l 经过圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心,且坐标原点到直线 l 的距离为
2 2

5 ,则直线 l 的方程为(
A. x ? 2 y ? 5 ? 0

) B. 2 x ? y ? 5 ? 0

第 1 页 共 15 页

C. x ? 2 y ? 5 ? 0 【答案】C

D. x ? 2 y ? 3 ? 0

【解析】试题分析:由于坐标原点到直线 l 的距离为 5 ,所以排除选项 D,又圆 C :

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心是 C ?1, 2 ? ,因为直线 l 经过圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0
的圆心 C ?1, 2 ? ,所以排除 A,B 选项,故选 C. 【考点】直线与圆的位置关系. 【方法点晴】本题是一个关于直线与圆的位置关系方面的问题.一般的直线与圆的位置 关系有三种,即相交、相切、相离.判断直线与圆的位置关系有两种方法:⑴代数法, 即将直线与圆的方程联立消去 y 整理后得到关于 x 的二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ,如果

? ? 0 ,则线与圆相交;如果 ? ? 0 ,则直线与圆相切;如果 ? ? 0 ,则直线与圆相离. ⑵几何法,设直线与圆心的距离为 d ,圆的半径为 r ,如果 d ? r 则相离,如果 d ? r , 则相切,如果 d ? r ,则相交.
? 5 . 在 Rt ?ABC 中 , ?A ? 90 , AB ? 2, AC ? 4, E, F 分 别 为 AB, BC 的 中点 , 则

CE ? AF ? (
A.9 D. ? 7 【答案】D 【 解

) B. ?9 C.7

























? ? ?1 ? 1 ? C ? B CE ? AF ? C ? A 2 2 ??? ? ???? 2 2 1 ? AB ? 2 AC ? ?7 ,故选 D. 4

?

? ?

?

? ?

?

?

?

? 1? A 2 C ? 4

??A

?

? ? B

?

?

? ?A

? ? B ?

? A

? C

【考点】平面向量的数量积. 6.按如下程序框图,若输出结果为 S ? 170 ,则判断框内应补充的条件为( )

A. i ? 9 【答案】A

B. i ? 7

C. i ? 9
1

D. i ? 5

【解析】试题分析:由程序框图知:第一次循环 S ? 0 ? 2 ? 2, i ? 1 ? 2 ? 3 ,第二次循 环 S ? 2 ? 2 ? 10, i ? 5 , 第 三 次 循 环 S ? 10 ? 2 ? 42, i ? 7 , 第 四 次 循 环
3 5

S ?4 2 ? 72?

满足 输出 S ? 170 , 则判断框内应补充的条件为 i ? 9 , 17 i? 0 ,, 9 i?9,

故选 A. 【考点】程序框图. 7.设函数 f ( x) ? ln(x ?

x 2 ? 1) ? 3 ,若 f (a) ? 10 ,则 f (?a) ? (
第 2 页 共 15 页



A.13 【答案】D

B. ? 7

C.7

D. ? 4

【解析】试题分析:设 g ? x ? ? ln x ? 由 于

?

x2 ? 1 ,则 g ? x ? ? ln x ? x 2 ? 1 是奇函数,

?

?

?

f (a) ? 10





1 ?g 0?

?

a ? ?

?3 ? ? g,
?

, a ?从 7 而

f ( ?a ) ? g ? ?

?

a 3?

? ? ?
?
6

D. g ?3 ,故选 a 4?

【考点】函数的奇偶性. 8.将函数 f ( x) ? 3 sin( 4 x ?

) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移


? 个单位长度,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 y ? g ( x) 图象的一条对称轴是( 6 ? ? A. x ? B. x ? 12 6 ? 2? C. x ? D. x ? 3 3
【答案】C 【解析】 试题分析: 将函数 f ( x) ? 3 sin( 4 x ? 倍 得 到 函 数 y ? 3sin ? 2 x ?

?
6

) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2

? ?

??

? ? 的图象,再向右平移 6 个单位长度,得到函数 6?

? ? ?? ?? ?? ? ?? ? y ? 3sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? 3sin ? 2 x ? ? ,即 y ? g ( x) 的图象,而 g ? ? ? 3 ,则 6? 6 ? 6? ? ?3? ? ?
y ? g ( x) 图象的一条对称轴是 x ?

?
3

,故选 C.

【考点】三角函数的图象和性质及其变换. 【方法点晴】本题是一个关于三角函数的图象和性质及其变换方面的综合性问题,属于 中档题,解决本题的基本思路及切入点是,首先根据三角函数的基本变换原理,由函数

f ( x) ? 3 sin( 4 x ?

?
6

) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到函数

? ?? ? 个 单 位 长 度 , 得 到 函 数 y ? 3sin ? 2 x ? ? , 再 向 右 平 移 6 6? ?
? ? ?? ?? ?? ? y ? 3sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 3sin ? 2 x ? ? 即 y ? g ( x) ,最后根据正弦型函数在对称 6 ? 6? 6? ? ? ?
轴处取最值的特点即可求得结论. 9.从 1,2,3,4,5,6 中任取三个不同的数,则这三个数能构成一个等差数列的概率 为( ) A.

3 10

B.

3 7

C.

7 10

D.

3 5

【答案】A 【解析】试题分析:从 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 中任取三个不同的数,共有不同的取法数
3 是 C6 ? 20 , 其 中 这 三 个 数 能 构 成 一 个 等 差 数 列 的 取 法 是 :

第 3 页 共 15 页

?1,2,3? , ? 2,3,4? , ?3,4,5? , ?4,5,6? , ?1,3,5?, ?2,4,6? 共 6 种,则这三个数能构成一个等
差数列的概率为

3 ,故选 A. 10

【考点】古典概型. 10.已知双曲线:

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c ,直 a2 b2

线 y ? 3( x ? c) 与双曲线的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则双曲线的离心 率为( A. 2 【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 直 线 y ? 3( x ? c) 与 双 曲 线 的 一 个 交 点 M 可 知 ) B. 3 C.2 D. 3 ? 1

?MF1 F2 ? 2?MF2 F1
sin

?

60?









线











?MF1F2 ? ?MF2 F1 2 e? ? 3 ? 1 ,故选 D. ?MF1F2 ? ?MF2 F1 sin 2
【考点】双曲线及其离心率. 11.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件的三 视图,则该几何体的体积是( )

A.5 B.5.5 C.6 D.4 【答案】A 【解析】试题分析:由三视图可知该几何体是一个长方体截去两个三棱锥后所得到的组 合体,从而则该几何体的体积是 V ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? ? ?1?1? 3 ? 5 ,故选 A. 【考点】三视图. 【方法点晴】本题是一个关于三视图以及几何体的体积方面的综合性问题,属于难题. 解决本题的基本思路及切入点是,首先要根据三视图正确的得出几何体的形状,通过分 析三视图可知该几何体是由一个长宽高分别为 3, 2,1 的长方体截去两个三棱锥,其中三 棱锥的三条棱两两垂直,棱长分别为 1,1,3 ,故由此可得出几何体的体积.

1 1 3 2

第 4 页 共 15 页

?1 2 x ? 1, x ? 0 ? 12.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若函数 F ( x) ? f ( x) ? kx 有且只有两个零点, ? ?? ln(1 ? x), x ? 0
则 k 的取值范围为( A. (0,1) 【答案】C 【解析】试题分析:作出函数 f ( x) ? ? 2 ) B. (0, )

1 2

C. ( ,1)

1 2

D. (1,??)

?1 2 x ? 1, x ? 0 ? ? ?? ln(1 ? x), x ? 0

以及直线 y ? kx 的图象如图所

示,由于函数 y ?

1 2 x ? 1 ? x ? 0 ? 的图象是双曲线在第一象限的部分,其渐近线是 2

1 x ,而函数 y ? ? ln ?1? x ?? x ? 0? 的图象在原点处的切线是 y ? x ,由于函数 2 1 F ( x) ? f ( x) ? kx 有且只有两个零点,从而 k 的取值范围为 ( ,1) ,故选 C. 2 y y?
2

1

-5

-4

-3

-2

-1 -1

O

1

2

3

4

5

x

-2

【考点】函数的零点. 【思路点晴】本题是一个关于双曲线,对数函数,以及函数的零点方面的综合性问题, 属于难题.解决本题的基本思路及切入点是,首先根据条件做出函数

?1 2 x ? 1, x ? 0 1 2 ? x ? 1 ? x ? 0 ? 的图象是双曲 的图象, 并且注意到函数 y ? f ( x) ? ? 2 2 ? ?? ln(1 ? x), x ? 0
线在第一象限的部分,其渐近线是 y ?

1 x ,函数 y ? ? ln ?1? x ?? x ? 0 ? 的图象在原点 2

处的切线是 y ? x ,根据数形结合的思想即可求得函数 F ( x) ? f ( x) ? kx 有且只有两个 零点时 k 的取值范围.

二、填空题 13 . 设 a ? 为 . 第 5 页 共 15 页

?

?

0

a (cosx ? sin x)dx , 则 二 项 式 ( x 2 ? ) 6 展 开 式 中 的 x 3 项 的 系 数 x

【答案】 ? 160 【解析】试题分析:因为 a ?
6

?

?

0

(cosx ? sin x)dx ? ?sin x ? cos x ?

?
0

? ?2 ,从而可求得

a 2? ? ( x 2 ? ) 6 ? ? x 2 ? ? 展开式中的 x 3 项的系数为 ? 160 ,故答案填 ? 160 . x x? ?
【考点】定积分,二项式定理. 14. 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上, 若 AB ? 3 ,AC ? 4 ,

AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的表面积为
【答案】 169 ? 【 解 析 】 试 题 分 析 : 设 球
2 4R2 ? 3 ?

.

O

的 球 半 径 是

R

, 则

?42 ? 1 22 ? 球 S1 ? 6 ? 9? R ,

1691 ? .6 9 ?2 ,故答案填 4

【考点】棱柱,球及其表面积.

?x ? 2 ? 15.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 4 且目标函数 z ? 3x ? y 的最小值是 5,则 z 的最大 ?? 2 x ? y ? c ? 0 ?
值为 . 【答案】 10 【解析】试题分析:如下图所示,由题意可知直线 ?2 x ? y ? c ? 0 经过两直线 x ? 2 , 从而求得 c ? 5 , 进而可知当直线 z ? 3x ? y 经过点 B ? 3,1? 3x ? y ? 5 的交点 A ? 2,1? , 时, z 的最大值为 10 .

y
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3

C B O
1 2 3 4

A

x

【考点】线性规划. 【思路点晴】本题是一个关于线性规划方面的综合性问题,属于中档题.解决本题的基

?x ? 2 ? 本思路及切入点是,首先根据知 x, y 满足 ? x ? y ? 4 且目标函数 z ? 3x ? y 的最 ?? 2 x ? y ? c ? 0 ?
小值是 5 , 可知可知直线 ?2 x ? y ? c ? 0 经过两直线 x ? 2 , 3x ? y ? 5 的交点 A ? 2,1? , 第 6 页 共 15 页

从而求得 c ? 5 ,进而可知当直线 z ? 3x ? y 经过点 B ? 3,1? 时, z 的最大值为 10 . 16.如图,为了测量 A 、 C 两点间的距离,选取同一平面上 B 、 D 两点,测出四边形 ABCD 各边的长度(单位:km) , AB ? 5 ,BC ? 8 ,CD ? 3 ,DA ? 5 ,且 ? B 与 ?D 互补,则 AC 的长为 km.

【答案】 7 【 解 析 】 试 题 分 析 : 在 三 角 形 ?A B C 中,分别根据余弦定理可得 ,? A C D

cos B ?

64 ? 25 ? AC 2 25 ? 9 ? AC 2 , cos D ? , 因 ? B 与 ?D 互 补 , 所 以 2?8? 5 2? 5? 3

cos B ? cos D ? 0 ,解得 AC ? 7 ,故答案填 7 .
【考点】余弦定理的应用. 【思路点晴】 本题是一个余弦定理的应用与解三角形相结合的综合性问题, 属于中档题. 解决本题的基本思路及切入点是,首先根据题目条件在三角形 ?ABC , ?ACD 中,分别 根据余弦定理可得关系式 cos B ?

64 ? 25 ? AC 2 25 ? 9 ? AC 2 , cos D ? ,由于 ? B 与 2?8? 5 2? 5? 3

?D 互补,从而可知 cos B ? cos D ? 0 ,即可求得 AC 的长为 7 km .
三、解答题 17.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n(n ? 1) ( n ? N ) ,数列 {bn } 满足:
?

an ?

b1 b b b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? n n (n ? N ? ) . 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1

(1)求 an , bn 的通项公式; (2)令 cn ?

an bn ? ( n? N ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 4
(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 n(n ? 1) ? . 4 2
?

【答案】 (1) an ? 2n , bn ? 2(3n ? 1) ; (2) Tn ?

【解析】试题分析:对问题(1) ,根据 Sn ? n(n ? 1) ( n ? N ) ,并结合对 n 的讨论即 可 求 得 数 列 {an } 的 通 项 公 式 , 对 数 列 {bn } , 根 据

an ?

b1 b b b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? n n (n ? N ? ) ,以及 an ? 2n 即可求出 bn 的通项公 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1
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式;对问题(2) ,由于 cn ?

an bn ( n? N? ) ,根据 an ? 2n , bn ? 2(3n ? 1) ,并结合 4

分组求和以及错位相减法即可求出数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 试 题 解 析 : ( 1 ) 当 n ? 1 时 , a1 ? S1 ? 2 , 当 n ? 2 时 ,

an ? Sn ? Sn?1 ? n(n ? 1) ? (n ? 1)n ? 2n ,知 a1 ? 2 满足该式,∴数列 {an } 的通项公式
为 an ? 2n .

b1 b b b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? n n (n ? 1) ① 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 b3 b ?1 b1 b2 ? an ?1 ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ?n ② 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 1 ?1
∵ an ? ② ? ①得: (2) cn ?

3

n ?1 n ?1

b

?1

? an ?1 ? an ? 2 , bn ?1 ? 2(3n ?1 ? 1) ,故 bn ? 2(3n ? 1) (n ? N ? ) .

anbn ? n(3n ? 1) ? n ? 3n ? n , 4

∴ Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ?? cn ? (1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ?? n ? 3n ) ? (1 ? 2 ? ?? n) 令 Hn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? n ? 3n ,① 则 3Hn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ? ? n ? 3n ?1 ② ① ? ②得: ? 2 H n ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? 3
2 3 n n ?1

?

3(1 ? 3n ) ? n ? 3n ?1 1? 3

∴ Hn ?

(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 (2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 n(n ? 1) ? , ∴数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ? . 4 4 2

【考点】1、通项公式;2、数列的前 n 项和. 18.某工厂为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按实现拟定的价格进行试销, 得到一组检测数据 ( xi , yi ) ( i ? 1,2,?,6 )如下表所示: 试销价格 x (元) 产品销量 y (件) 4 5 84 6 83 7 80

a
75
6

9 68
6

b

已知变量 x, y 具有线性负相关关系,且

? xi ? 39 , ? yi ? 480 ,现有甲、乙、丙三
i ?1 i ?1

位同学通过计算求得其回归直线方程为:甲: y ? 4 x ? 54 ;乙: y ? ?4 x ? 106;丙:

y ? ?4.2 x ? 105,其中有且仅有一位同学的计算是正确的.
(1)试判断谁的计算结果是正确的?并求出 a , b 的值; (2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过 1,则该检测数据是 第 8 页 共 15 页

“理想数据”.现从检测数据中随机抽取 3 个,求“理想数据”个数 ? 的分布列和数学 期望. 【答案】 (1)乙是正确的, a ? 8 , b ? 90 ; (2)分布列见解析,

3 . 2

【解析】试题分析:对问题(1) ,已知变量 x, y 具有线性负相关关系,首先排除甲,再 根据已知求出

? x, y ? ,并将 ? x, y ? 代入乙,丙进行检验,进而可知乙是正确的;再根
6 i ?1



?x
i ?1

6

i

? 39 , ? yi ? 480 即可求出 a , b 的值;对问题(2)首先根据(1)的结论计

算“理想数据”的个数,再根据超几何分布即可求得“理想数据”个数 ? 的分布列和数 学期望. 试题解析: (1)∵变量 x, y 具有线性负相关关系,∴甲是错误的. 又∵

? xi ? 39 , ? yi ? 480 ,∴ x ? 6.5, y ? 80,满足方程 y ? ?4 x ? 106,故乙是
i ?1 i ?1

6

6

正确的.由

?x
i ?1

6

i

? 39 , ? yi ? 480 ,得 a ? 8 , b ? 90 .
i ?1

6

(2)由计算可得“理想数据”有 3 个,即 (4,90), (6,83), (8,75) ,故 ? ? 0,1,2,3 .

?

的 分 布 列 为
1 C32C3 9 , ? 3 C6 20

P(? ? 0) ?

0 3 C3 C3 1 ? 3 C6 20



P(? ? 1) ?

1 2 C3 C3 9 ? 3 C6 20



P(? ? 2) ?

3 0 C3 C 1 , P(? ? 3) ? 3 3 ? C6 20

列表如下:

?
P

0
1 20

1

2

3

9 9 1 20 20 20 1 9 9 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . ∴ E? ? 0 ? 20 20 20 20 2
【考点】1、线性回归分析;2、超几何分布.

M 为 DC 的中点.将 ?ADM 19. 如图, 已知长方形 ABCD 中,AB ? 2 2 ,AD ? 2 ,
沿 AM 折起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM .

第 9 页 共 15 页

(1)求证: AD ? BM ; (2)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,二面角 E ? AM ? D 的余弦 值为

5 . 5

【答案】 (1)证明见解析; (2) E 为 BD 的中点,理由见解析. 【解析】试题分析:对问题(1)要证线线垂直,可以先证明线面垂直,进而可得线线 垂直;对问题(2) ,可以通过建立空间直角坐标系,用向量的方法确定点 E 位置. 试题解析: (1)证明:∵长方形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ? 2 , M 为 DC 的中 点,∴ AM ? BM ? 2 ,∴ BM ? AM . ∵平面 ADM ? 平面 ABCM ,交线为 AM ,且 BM ? 平面 ABCM ,所以 BM ? 平 面 ADM , ∵ AD ? 平面 ADM ,∴ AD ? BM ; (2)建立如图所示的直角坐标系:

D

z

M O xA y

B

C

DE ? ? DB , 则 平 面 ADM

的 一 个 法 向 量

n ? (0,1,0) ,

ME ? MD ? ? DB ? (1? ?,2?,1? ?) , AM ? (?2,0,0) ,设平面 AME 的一个法向量
为 m ? ( x, y, z) ,

?2 x ? 0 2? 2? ) ,因为 ,取 y ? 1 ,得 x ? 0 , z ? ,所 以 m ? (0,1, ? 1? ? 1? ? ?2?y ? (1 ? ? ) z ? 0
cos ? m, n ?? m?n | m || n | ? 5 1 ,求得 ? ? ,所以 E 为 BD 的中点. 5 2

【考点】1、线面之间的位置关系;2、二面角. 20.已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以其四个顶点为顶点的四 2 a b 3
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边形的面积等于 2 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 P, Q 两点, A 是椭圆 C 的右顶点,直 线 AP, AQ 分别与 y 轴交于点 M , N ,问:以 MN 为直径的圆是否恒过 x 轴上的定点? 若存在,请求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)

x2 ? y2 ? 1; (2)以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1,0) , (1,0) . 3

【解析】试题分析:对问题(1) ,根据椭圆离心率定义, a, b, c 关系、菱形面积公式即 可求得椭圆 C 的标准方程;对问题(2)假设存在这样的点 R(t ,0) ,设出点 A, M , N , P 等各点的坐标,再结合 A, M , P 以及 A, N , Q 共线,同时注意到 RM ? RN ,进而可求 得 t 的值,故以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点.

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?a ? 3 6 ?c 试题解析: ( 1 )依题意,得 ? ? ,解得 ? ,故椭圆 C 的标准方程为 a 3 b ? 1 ? ? ?ab ? 3 ?
x2 ? y2 ? 1. 3
(2) A( 3,0) ,设 M (0, m) , N (0, n) , P( x0 , y0 ) ,则由题意,可得 且 Q(? x0 ,? y0 ) , AP ? ( x0 ? 3, y0 ), AM ? (? 3, m) , 由 A, P, M 三 点 共 线 , 所 以 AP // AM , 故 有 ( x0 ? 3)m ? ? 3 y0 , 解 得
2 x0 2 ? y0 ? 1() 3

m??

3 y0 3 y0 ,同理可得 n ? ? ,假设存在满足题意的 x 轴上的定点 R(t ,0) , x0 ? 3 x0 ? 3

则 有 RM ? RN , 即 RM ? RN ? 0 , 因 为 RM ? (?t , m), RN ? (?t , n) , 所 以

t 2 ? m n ? 0 ,即 t 2 ? (?

3 y0 x0 ? 3

)( ?

3 y0 x0 ? 3

) ? 0 ,整理得 t 2 ? ?

2 3 y0 ,又由()得 2 x0 ?3

2 2 2 ,所以 t ? 1 ,解得 t ? 1 或 t ? ?1 .故以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 3 y0 ? 3 ? x0

(?1,0) , (1,0) .
【考点】1、椭圆及其方程;2、与圆锥曲线相结合的探索性问题.

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21.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x , g ? x ? ? e , a ? R .
x

(1)是否存在 a 及过原点的直线 l ,使得直线 l 与曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 均相切? 若存在,求 a 的值及直线 l 的方程;若不存在,请说明理由; (2)若函数 F ( x) ?

f ( x) 在区间 (0,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围. g ( x)

【答案】 (1)存在 a ? e ? 1 及 l : y ? ex ,使得直线 l 与曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 均相 切; (2) a 的取值范围是 (??,2] . 【解析】试题分析:对问题( 1 ) ,根据导数的几何意义以及过原点的直线 l 是曲线 , y ? f ( x) , y ? g ( x) 的公切线,从而可求出直线 l 的方程以及 a 的值;对于问题(2) 通过对函数 F ( x) ?

f ( x) 进行求导并结合对实数 a 的分类讨论即可求出 a 的取值范围. g ( x)
x

试题解析: (1)∵ g ' ( x) ? e x ,设曲线 y ? g ( x) 在点 ( x1 , e 1 ) 处切线过原点,则切线方 程为 y ? e 1 x ,
x

∵点 ( x1 , e 1 ) 在切线上, ∴ e 1 ? x1 ? e 1 , ∴ x1 ? 1 , ∴切线方程为 y ? ex , 设直线 y ? ex
x x x

与曲线 y ? f ( x) 切于点 ( x2 , y2 ) , ∵ f ' ( x) ? 2 x ? a ?

1 1 , ∴ f ' ( x2 ) ? 2 x2 ? a ? ? e, x x2

a ? e ? 2 x2 ?

1 . x2
2 x2 ? (e ? 2 x 2 ?

又 ∵

2 x2 ? ax2 ? ln x2 ? ex2 , ∴

1 ) x2 ? ln x2 ? ex2 , ∴ x2

2 x2 ? ln x2 ?1 ? 0 ,解得 x2 ? 1 ,

∴ a ? e ? 1 .故存在 a ? e ? 1 及 l : y ? ex ,使得直线 l 与曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 均 相切.

1 ? x 2 ? (2 ? a) x ? a ? ? ln x x 2 ? ax ? ln x x (2) F ( x) ? , F ' ( x) ? , x x e e 1 1 1 2 令 h( x) ? ? x ? (2 ? a ) x ? a ? ? ln x , 则 h' ( x) ? ?2 x ? 2 ? ? 2 ? a , 易知 h' ( x ) 在 x x x
(0,1] 上单调递减,从而 h' ( x) ? h' (1) ? 2 ? a .
①当 2 ? a ? 0 时,即 a ? 2 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,∵ h(1) ? 0 , 第 12 页 共 15 页

∴ h( x) ? 0 在 (0,1] 上恒成立,即 F ' ( x) ? 0 在 (0,1] 上恒成立. ∴ F ( x) 在区间 (0,1] 上单调递减,∴ a ? 2 满足题意. ②当 2 ? a ? 0 时,即 a ? 2 时,h' (1) ? 2 ? a ? 0 ,当 x ? 0 且 x ? 0 时,h' ( x) ? ?? , 故函数 h' ( x ) 存在唯一零点 x0 ? (0,1] ,且 h( x) 在 (0, x0 ) 上单调递增,在 ( x0 ,1) 上单调 递减,又∵ h(1) ? 0 ,∴ F ( x) 在 ( x0 ,1) 上单调递增. 注意到 h(e?a ) ? 0, e?a ? (0, x0 ) , ∴ F ( x) 在 (0, e?a ) 上单调递减, 这与 F ( x) 在区间 (0,1] 上是单调函数矛盾,∴ a ? 2 不合题意. 综合①②得, a 的取值范围是 (??,2] . 【考点】1、导数在函数研究中的应用;2、导数的几何意义及其应用. 【思路点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题,属于难题. 解决本题的基本思路及切入点是,对问题(1) ,根据导数的几何意义以及过原点的直线

l 是曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 的公切线,从而可求出直线 l 的方程以及 a 的值;对于问
题(2) ,通过对函数 F ( x) ?

f ( x) 进行求导并结合对实数 a 的分类讨论,即可求出 a 的 g ( x)

取值范围. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,P 是圆 O 外一点,PA 是圆 O 的切线,A 为切点, 割线 PBC 与圆 O 交于 B ,C , PC ? 2 PA , D 为 PC 中点, AD 的延长线交圆 O 于点 E .

证明: (1) BE ? EC ; (2) AD ? DE ? 2 PB .
2

【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析. 【解析】试题分析:对问题(1) ,根据切割线定理以及 D 为 PC 中点,并结合三角形的 外角与内角的关系,可以证出 ?DAC ? ?BAD ,进而可得 BE ? EC ;对问题(2)利 用问题(1)的结论并结合相交弦定理,进而可证明所需结论. 试题解析: (1)证明:连接 AB, AC ,由题设知 PA ? PD ,故 ?PAD ? ?PDA ,因为

?PDA ? ?DAC ? ?DCA , ?PAD ? ?BAD ? ?PAB ,由弦切角等于同弦所对的圆 ?DCA ? ?PAB , 周角, 所以 ?DAC ? ?BAD , 从而弧 BE ? 弧 EC , 因此 BE ? EC .
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( 2 )由切割线定理得: PA2 ? PB ? PC ,因为 PA ? PD ? DC ,所以 DC ? 2 PB ,

BD ? PB ,由相交弦定理得: AD ? DE ? BD ? DC ,所以 AD ? DE ? 2PB 2 .
【考点】切割线定理,相交弦定理. 【方法点晴】本题是一个关于平面几何证明方面的综合性问题,属于中档题.解决本题 的基本思路及切入点是,对问题(1) ,根据切割线定理以及 D 为 PC 中点,并结合三角 形的外角与内角的关系,可以证出 ?DAC ? ?BAD ,进而可得 BE ? EC ;对问题(2) 利用问题(1)的结论并结合相交弦定理,进而可证明所需结论. 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 5 cos? ( ? 为参数) ,直线 l 的参数方 ? y ? 15 sin ? ?

1 ? x?? t ? 2 ? 程为 ? ( t 为参数) ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ?y ? 3 ? 3 t ? 2 ?
点 P 的极坐标为 ( 3 ,

?
2

).

(1)求点 P 的直角坐标,并求曲线 C 的普通方程; (2)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A, B ,求 | PA | ? | PB | 的值.

【答案】 (1) P(0, 3) ,曲线 C 的普通方程为:

x2 y 2 ? ? 1; (2)| PA | ? | PB | ? 6 . 5 15

【解析】试题分析:对问题(1)根据极坐标与直角坐标互化公式,即可求得点 P 的直 角坐标,再根据曲线 C 的参数方程 ?

? ? x ? 5 cos? ( ? 为参数) ,并消去参数 ? ,进而 ? ? y ? 15 sin ?

可得到曲线 C 的普通方程;对问题(2) ,根据(1)的结论知点 P 在直线 l 上,再利用 参数 t 的几何意义即可求出 | PA | ? | PB | 的值. 试题解析:(1)由极坐标互化公式知,点 P 的横坐标 x ? 3 cos 标 y ? 3 sin

?
2

? 0 ,点 P 的纵坐

?
2

? 3 , 所 以 P(0, 3) , 消 去 参 数 ? 的 曲 线 C 的 普 通 方 程 为 :

x2 y 2 ? ? 1. 5 15
2 (2)点 P 在直线 l 上,将直线的参数方程代入曲线 C 的普通方程得: t ? 2t ? 8 ? 0 ,

设 其 两 个 根 为 t1 , t 2 , 所 以 t1 ? t 2 ? 2 , t1t2 ? ?8 , 由 参 数 t 的 几 何 意 义 知 :

| PA | ? | PB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 6 .
【考点】极坐标与参数方程. 24.选修 4-5:不等式选讲 第 14 页 共 15 页

已知 a, b, c ? R ,且 a 2 ? b2 ? c2 ? 1 . (1)求证: | a ? b ? c |? 3 ; (2) 若不等式 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? (a ? b ? c)2 对一切实数 a, b, c 恒成立, 求 x 的取值范围. 【答案】 (1)证明见解析; (2) (?? ,? ] ? [ ,?? ) . 【解析】试题分析:问题(1)可利用基本不等式或者由柯西不等式即可证明所需的结 论;对问题(2)可以先根据(1)的结论得出关于 x 的不等式,进而可求出 x 的取值范 围. 试 题 解 析 :( 1 ) 方 法 1 : 因 为 a, b, c ? R , 且 a 2 ? b2 ? c2 ? 1 , 所 以

3 2

3 2

?a ? b ? c?

2

? a 2 ? b2 b2 ? c 2 c 2 ? a 2 ? 2 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ? ab ? bc ? ca ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ? ? ? ? ? 3?a ? b ? c 2 2 ? ? 2

所以 (a ? b ? c)2 ? 3 ? | a ? b ? c |? 3 当且仅当 a ? b ? c 时取得等号; 方法 2: 由柯西不等式 (a ? b ? c)2 ? (12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? 3 ? | a ? b ? c |? 3 . (2)由(1)可知若不等式 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 3 ,

x ? ?1 ?? 2 x 3 3 ? y ?| x ? 1 | ? | x ? 1 |? ?2 ? 1 ? x ? 1 ,从而解得 (?? ,? ] ? [ ,?? ) . 2 2 ?2 x x ?1 ?
【考点】1、基本不等式与柯西不等式;2、极端不等式恒成立.

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