当前位置:首页 >> 数学 >>

(通用版)2016年高考数学二轮复习 专题十四 九章算术与高考数学课件 理


专题十四 《九章算术》与高考数学

若把“原本”比“算术”,此中翘楚是《九章》 .这是对代表 东方数学最高成就的巨著《九章算术》的赞誉. 《九章算术》 是勤劳勇敢的中华民族的智慧结晶,是中华文化和中华文明 传承的经典之作,尊为古代数学群经之首. 《九章算术》所创 立的机械算法体系显示出比欧几里得几何学更高的水准.并 将其扩展到其他领域,其算法体系至今仍推动着

计算机的发 展与应用.

为更好的传承这一举世无双的经典之魁.宏扬中华传统文化 和中华文明,近年来在全国高考数学试题中,从《九章算术》 中选取与当今高中数学教学相映的题材背景,经命题专家精 细加工,再渗透现代数学思想和方法.编制出精妙绝伦的当 今数学高考试题.体现出《九章算术》与现代高考的优美结 合.体现了中华古代文明与现代文明的相映.

《九章算术》与高考真题案例展示

1.(2015· 高考全国卷Ⅰ,5 分)《九章算 术》 是我国古代内容极为丰富的数学名 著,书中有如下问题:“今有委米依垣 内角,下周八尺,高五尺.问:积及为 米几何?”其意思为: “在屋内墙角处 堆放米 (如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长 为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多 少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3, 估算出堆放的米约有 ( )

A. 14 斛 C. 36 斛

B.22 斛 D. 66 斛

此题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五 ],将古代文化 “依垣”和现代教育元素“圆锥”结合,对培养学生的爱国 情操和认识中华古典文化有着深刻的教育意义.

2. (2015· 高考全国卷Ⅱ, 5 分 )下边程序框图的算法思路源于 我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” .执行该 程序框图, 若输入的 a,b 分别为 14, 18, 则输出的 a= ( )

A. 0 C. 4

B.2 D. 14

此题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]:“又有九十一 分之四十九.问约之得几何?”“可半者半之,不可半者, 副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等 数约之”,后人称之为“更相减损木”,它是求最大公约数 的伟大创举.

3. (2015· 高考湖北卷)《九章算术》 中,将底面为长方形且有一条侧棱 与底面垂直的四棱锥称之为阳马, 将四个面都为直角三角形的四面 体称之为鳖臑,如图,在阳马 PABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD= CD,过棱 PC 的 中点 E,作 EF⊥ PB 交 PB 于点 F,连接 DE,DF,BD,BE. (1)证明: PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑, 若是,写出其每个面的直角 (只需写出结论);若不是,说明理 由.

π DC (2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 , 求 的值. 3 BC 此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五 ].今有阳 马,广五尺,袤七尺,高八尺.问积几何;之 [一六 ]今有鳖臑, 下广五尺,无袤;上袤四尺,无广,高七尺.问积几何.考 题将“阳马”, “鳖臑”相结合,以《选修 2- 1》P109 例 4 为 源进行有机整合.巧妙嫁接,精典设问,和谐优美的考题呼 之即出.让数学教育者与高考学子为之赞叹!

《九章算术》与现代高考典例展示 高考数学试题由《九章算术》中,典型的数学问题结合现代 数学教育命制而成.然而《九章算术》中,精典的数学问题 十分丰富,现以《九章算术》中部分精典的问题与现代数学 相结合,编制如下的八道高考数学试题模型.

[选择型]
1. 《九章算术》是我国古代数学名著,在其中有道 “竹九问 题”“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问 中间二节欲均容各多少?”意思为:今有竹九节,下三节容 量和为 4 升,上四节容量之和为 3 升,且每一节容量变化均 匀 (即每节容量成等差数列). 问每节容量各为多少?在这个问 题中,中间一节的容量为 ( C ) 7 A. 2 67 C. 66 37 B. 33 10 D. 11

[解析 ] 设从最下节往上的容量构成等差数列{an}, 公差为 d.
? ? ?a1+a2+ a3=4 ?3a1+ 3d=4 则? ,即? , ?a9+a8+ a7+a6= 3 ?4a1+ 26d= 3 ? ?

95 7 解得 a1= , d=- . 66 66 95 7 67 中间为第五节,即 a5= a1+4d= + 4× (- )= .故选 C. 66 66 66

2.《九章算术》是我国古代著名数学经 典.其中对勾股定理的论术比西方早一 千多年,其中有这样一个问题:“今有 圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之, 深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其 意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯 去锯该材料,锯口深 1 寸,锯道长 1 尺.问这块圆柱形木料 的直径是多少?长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中, 截面图如图所示 (阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).

已知弦 AB= 1 尺, 弓形高 CD= 1 寸, 估算该木材镶嵌在墙中 的体积约为 ( D ) 5 (注: 1 丈=10 尺=100 寸, π ≈3.14, sin 22.5°≈ ) 13 A. 600 立方寸 C. 620 立方寸 B.610 立方寸 D. 633 立方寸

[解析 ] 连接 OA、 OB, OD,设⊙ Ο 的半径为 R, 则 (R-1)2+ 52= R2,∴ R= 13. AD 5 sin∠ AOD= = . AO 13

∴∠ AOD= 22.5°, 即 ∠ AOB= 45° . ∴ S 弓形 ACB= S 扇形 OACB- S△ OAB 45π ×132 1 = - ×10× 12≈6.33 平方 360 2 寸. ∴该木材镶嵌在墙中的体积为 V= S 弓形 ACB× 100≈ 633 立方寸.选 D.

3. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰,在研 究比率方面的应用十分丰富,其中有“米谷粒分”问题:粮 仓开仓收粮,粮农送来 1 534 石,验其米内杂谷,随机取米一 把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约 ( B ) A. 134 石 C. 268 石 B.169 石 D. 338 石

[解析 ] 设这批米内夹谷约为 x 石, 根据随机抽样事件的概率得 x 28 = ,得 x≈ 169. 1 534 254 事实上,1 534 约是 254 的 6 倍,则 x 约是 28 的 6 倍,故选 B.

4.我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求 一边的算法,其方法的前两步为: 1 1 1 1 第一步:构造数列 1, , , ,?, .① 2 3 4 n 第二步: 将数列①的各项乘以 n, 得数列 (记为)a1, a2, a3, ?, an. 则 a1a2+ a2a3+?+an-1an 等于 ( C ) A. n2 C. n(n-1) B.(n- 1)2 D. n(n+1)

[解析 ] a1a2+ a2a3+?+an- 1an n n n n n n = · + · +?+ · 1 2 2 3 n- 1 n 1 1 1 =n [ + +?+ ] 1·2 2·3 ( n-1) n
2

1 1 1 1 1 = n [1- + - +?+ - ] 2 2 3 n- 1 n
2

n- 1 =n · n
2

= n(n-1).选 C.

[填空型]

5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商 鞅督造一种标准量器 ——商鞅铜方升,其三视图如图所示 (单 位:寸 )

1.6 若 π 取 3,其体积为 12.6(立方寸 ),则图中的 x 为________ .

[解析 ] 由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而 成.由题意得: 12 (5.4- x)× 3×1+π · ( ) x= 12.6, 2 解得 x=1.6.

6.中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸” 是一 道名题,其内容为:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一 尺,引葭赴岸,适与齐.问水深葭长各几何”意为:今有边 长为 1 丈的正方形水池的中央生长着芦苇,长出水面的部分 为 1 尺,将芦苇牵引向池岸,恰巧与水岸齐接,问水深芦苇 的长度各是多少?将该问题拓展如图,记正方形水池的剖面 图为 ABCD,芦苇根部 O 为 AB 的中点,顶端为 P(注芦苇与 水面垂直 ).在牵引顶端 P 向水岸边中点 D 的过程中, 当芦苇 尺.(注: 1 丈= 10 尺, 601≈ 24.5)
36 尺 经过 DF 的中点 E 时, 芦苇的顶端离水面的距离约为 ________ 49

[解析 ] 设水深为 x, 则 x2+ 52=(x+ 1)2, 解得:x=12. ∴水深 12 尺,芦苇长 13 尺, 以 AB 所在的直线为 x 轴, 芦苇所在的直线为 y 轴,建立直角坐标系, 在牵引过程中,P 的轨迹是以 O 为圆心,半径为 13 的圆,其 方程为 x2+ y2=169,(-5≤x≤ 5, 12≤ y≤13),①

5 E 点的坐标为 (- , 12), 2 24 ∴ OE 所在的直线方程为 y=- x,② 5 由①②联解得 y= 169× 576 13× 24 624 ≈ = . 601 24.5 49

则此时芦苇的顶端到水面的距离为 624 36 - 12= . 49 49

[解答型]

7. 《九章算术》是我国古代数学名著,它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年.例 如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直 于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一 侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体. 如图,在堑堵 ABCA1B1C1 中, AC⊥ BC.

(1)求证:四棱锥 BA1ACC1 为阳马,并判断四面体 A1CBC1 是否为鳖臑,若是写出各个面的直角(只写出结论); (2)若 A1A= AB= 2,当阳马 BA1ACC1 体积最大时; ①求堑堵 ABCA1B1C1 的体积; ②求 C 到平面 A1BC1 的距离; ③求二面角 CA1B? C1 的余弦值.

[解 ] (1)证明:由堑堵 ABCA1B1C1 的性质知: 四边形 A1ACC1 为矩形. ∵ A1A⊥底面 ABC, BC? 平面 ABC, ∴ BC⊥ A1A,又 BC ⊥ AC, A1A∩ AC= A. A1A, AC? 平面 A1ACC1. ∴ BC⊥平面 A1ACC1, ∴四棱锥 BA1ACC1 为阳马, 且四面体 A1CBC1 为鳖臑,四个面的直角分别是∠ A1CB,∠ A1C1C,∠ BCC1,∠ A1C1B.

(2)∵ A1A= AB= 2. 由 (1)知阳马 BA1ACC1 的体积 1 V= S 矩形 A ACC · BC 3
1 1

1 = × A1A× AC× BC 3 2 1 = AC× BC≤ (AC2+ BC2) 3 3 1 4 2 = × AB = . 3 3 当且仅当 AC= BC= 2时, 4 Vmax= ,此时 3

①堑堵 ABCA1B1C1 的体积 1 V′= S△ ABC· AA1= × 2× 2× 2= 2. 2 ②由题意与题图知, V 三棱锥 BA AC= V 三棱锥 BACC
1

1

1

1 2 = V 阳马 BA ACC = . 2 3
1 1

又 A1C1= 2, BC1= BC2+ C1C2= 6, 设 C 到平面 A1BC1 的距离为 d. 1 2 则 S△ A BC · d= . 3 3
1 1

1 1 2 即 · 2× 6· d= , 3 2 3 4 2 ∴ d= = 3. 2× 6 3 ③法一: 设 C 在平面 A1BC1 上的射影为 D(事实上 D∈ BC1). 在 A1B 上 的射影为 E. 连接 DE,易知 A1B⊥ ED. ∴∠ CED 即为二面角 CA1B? C1 的平面角. 2 由②知 CD= d= 3. 3

由直角三角形 A1BC 得 A1C· BC CE= A1B = A1A2+ AC2· BC A1A2+ AB2
2 2

6· 2 6 = = , 2 2 2 6 4 - 4 3

∴ DE= CE - CD = = 1 6 = . 6 6

DE 1 ∴ cos∠ CED= = = . CE 6 3 2 1 即二面角 CA1B? C1 的余弦值为 . 3 法二:以 C 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz. 则 A1(0, 2, 2), B( 2, 0, 0), C1(0,0,2) → → ∴CA1 = (0, 2, 2),CB= ( 2, 0, 0), → C1A1= (0, 2, 0), → C1B= ( 2, 0,- 2),

6 6

设平面 CA1B 的法向量为 n1= (x1, y1, z1).平面 C1A1B 的法 向量为 n2= (x2, y2, z2), → ? ?n1·CA1 = 0, 则? → ? ?n1·CB= 0, → ? ?n2·C1A1=0 . ? → ? ?n2·C1B= 0

? 2y1+2z1=0 ? 2y2=0 . ? ? ? 2x1=0. ? 2x2-2z2=0
取 x1= 0, y1= 2, z1=-1;x2= 2, y2=0, z2=1.

则 n1= (0, 2,-1), n2=( 2, 0,1). n1· n2 -1 ∴ cos〈n1,n2〉= = |n1|· |n2| 3× 3 1 =- . 3 1 结合图形知二面角 CA1B? C1 的余弦值为 . 3

8.《九章算术》中的邪田意为直角梯形, 上、下底称为畔,高称为正广,非高腰 边称为邪 (如图 )已知在邪田 ABCD 中, 以 正广为直径的半圆与邪相切于 E, EF⊥ BC,垂足为 F, AC 与 EF 相交于 M. (1)求证 ME=MF; 1 1 (2)若 EF=1,求 + 的值. AB DC

[解 ] (1)证明:∵邪田 ABCD 的邪与以 BC 为直径的圆相切, ∴ AB, DC 都与半圆相切, ∴ AB= AE, DC= DE. 又 EF⊥ BC,∴ AB∥ DC∥ EF. ME AE MF CM DE ∴ = , = = CD AD AB CA DA AE AB ∴ ME= × CD= × DE, AD AD

DE MF= × AB. AD ∴ ME= MF. AB· DC (2)由 (1)知 EF= 2ME= 2· , AD ∴ 2AB· DC= AD= AE+ DE= AB+ DC. AB+ DC 1 1 ∴ = 2,即 + = 2. AB· DC AB DC


相关文章:
【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题4 数列检测 文
【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题4 数列检测 文_数学_高中教育_...21.(本小题满分 14 分) (2015 湖北卷) 《九章算术》 中,将底面为长方形...
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题14 直线与圆(含解析)
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题14 直线与圆(含解析)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【走向高考】 (全国通用)2016...
【名师伴你行】2016高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题四 立体几何专题限时训练14 文
【名师伴你行】2016高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题四 立体几何专题限时训练14 文_数学_高中教育_教育专区。专题限时训练(十四) 一、选择题(每小题 5 分...
2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题14 定积分与微积分基本定理 理(含解析)新人教A版
2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题14 定积分与微积分基本定理 理(含解析)新人教A版_高考_高中教育_教育专区。2016 年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题 ...
[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书:专题十四 算法初步与复数
二轮复习教师用书:专题十四 算法初步与复数_数学_...清题目中 给出的条件后再加以分析求解.复数相等...思路源于我国古代数学 名著《九章算术》中的“更相...
2016高考化学二轮复习 专题十四 化学与技术配套作业
2016高考化学二轮复习 专题十四 化学与技术配套作业_理化生_高中教育_教育专区。...海水中得到的粗盐中往往含有一些杂质,必须加入一些化学试剂,使杂质沉淀,处 后...
最新2017年高三数学(理)二轮复习:专题十四 圆锥曲线与方程 Word版含解析
最新2017年高三数学(理)二轮复习:专题十四 圆锥曲线与方程 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题十四 圆锥曲线与方程 (见学生用书 P84) (见学生...
2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:14直线与圆
2016高考数学二轮复习专题强化练习题:14直线与圆_高考_高中教育_教育专区。第...3 (理)已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 ...
数学二轮复习专题6 概率与统计(理科)教师版
2011届高三二轮复习专题(理... 14页 2财富值 12高考数学二轮专题复习_概... 21页 1财富值 2012届高三数学二轮专题复... 16页 免费 2012届高三数学专题复习...
更多相关标签: