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函数单调性的应用课件ppt


函数单调性的应用

1.利用函数单调性比较大小

(1)如果 f ( x) ? x2 ? bx ? c ,对称轴为 x ? 2,试比较 de f (1)、f (2)、f (4) 的大小. (2)已知 f ( x) 是 [0, ??) 上的增函数,比较 f ( 1 ) 与 2 2 de f (a ? a ?1) 的大小. (3)已知函数 f

( x ) 在区间 [a, b]上具有单调 性, 且 f (a). f (b) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 [ a, b] 上( ) A、至少有一个实根 C、没有实根 B、至多有一个实根 D、有唯一实根

2.利用函数单调性确定函数的值域或 最值.
2 y ? x ? 2x ? 2,x ?[2,3] 上的最值. (1)求二次函数

(2).函数 f ( x) ? x 最小值为

x?2

在区间[2,4]上的最大值为

(3)已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? a,x ?[0,1] ,若f ( x) 有最小值-2,则 f ( x ) 的最大值为 (4)若函数 f ( x) ? a | x ? b | ?2 在 [0, ??) 上为 增函数,则实数 a , b 的范围是 . 2 (5)求 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在区间[0, 2]上的最大值 和最小值

温馨提示
1.函数最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ? I ,

使得 f ( x0 ) ? M ;
2.函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的,即 对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M). 3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在 x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ; 4.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上 单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

3.判断函数的单调性:
(1)函数对任意 a, b, f (x) 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 2010 ,
f (x) ? 2010 求证 f (x) 在 R 上是增函数. 并且当 x ? 0 时,
(2) 已知 f ( x) 在(0, ??)上是增函数,且 f ( x) ? 0 ,f (3) ? 1 判断 g ( x) ? f ( x) ?

并加以证明.

1 在 (0,3] 上是增函数还是减函数, f ( x)

3.判断函数的单调性
(3)设函数 f ( x) 是实数 R 上的增函数,令F ( x) ? f ( x) ? f (2 ? x) ①求证: F ( x) 在 R 上是增函数; ②若 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 ,求证: x1 ? x2 ? 2

R ,对任意 x, x' ? R ,de ' ' 有 f ( x ? x ) ? f ( x) ? f ( x ),且对任意 x ? 0 ,都有 f ( x) ? 0 f (3) ? ?3 de
(4)已知函数 y ? f ( x)的定义域为

①试证明:函数 y ? f ( x) 是R上的单调函数.
②试求函数 y ? f ( x) 在 [m, n](m, n ? Z , 且mn ? 0) 上的值域.

4.求参数的范围.
(1)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 (??, 4] 上 是减函数,则实数 a 的取值范围是( )

(??, ?3] A、

[?3, ??) B、

C、( ??,3]

D、[3, ??)

(2)已知 f ( x) ? ? x3 ? ax 在 (0,1] 上是增函数,求实 数a的取值范围. (3)已知函数 f ( x) ? x ? ? 数,求实数
a x a 在 2

(1, ??) 上是增函

a 的取值范围。

5.利用函数的单调性解不等式
(1)已知函数
x y

f ( x)是定义在 (0, ? ?) 上的增函数

且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ), f (2) ? 1 ,
1 )?2 解不等式 f ( x) ? f ( x?3

(2)已知 f ( x)为 R 上的减函数,则满足 f ( ) ? f (1) | x| 的实数 x 的取值范围是 ( )
A、 (?1,1) C、 (?1, 0) ? (0,1) B、

1

(0,1)

D、 (??, ?1) ? (1, ??)

5.利用函数的单调性解不等式
2 ? ?x ? 4x x ? 0 (3)已知函数 f ( x) ? ? 2 ? x?0 4 x ? x ?

2 f (2 ? a ) ? f (a ) ,若

则实数 a 的取值范围是(
A、 (??, ?1) ? (2, ??) C、 (?2,1) B、 D、



? ??, ?2? ? ?1, ??
x ? 0 ,则不等式 x?0

(?1, 2)

?x 2 ? 4x ? 6 (4)设函数 f ( x) ? ? ?x ? 6

f ( x) ? f (1) 的解集是

作业:
1.求函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 的单调区间. 2.求二次函数 y ? x2 ? 2x ? 2 , x ? [0,3] 上的最值. 3.已知 f ( x) 是定义在 [?1,1] 上的增函数,且 f ( x ? 1) ? f (1 ? 3x) 的求x的取值范围。2 4.已知函数 f ( x) ? (1)当 a ?
1 2

x ? 2x ? a , x ?[1, ??) x

时,求函数 f ( x) 的最小值;

(2)若对任意 x ?[1, ??), f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

作业:
5.设

x1 , x2 为方程 4 x2 ? 4mx ? m ? 2 ? 0 的两个实根, 2 当 m 为 何数值时, 有最小值,并求这个最小 x12 ? x2
值. 6.已知定义在区间 (0, ??) 上的函数 f ( x )满足 x1 de f ( ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 . x2 (1)求 f (1) 的值. (2)判断 f ( x) 的单调性. (3)若 f (3) ? ?1 ,解不等式

f (| x |) ? 2




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