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陕西省高职单招考试数学模拟试题


2017 西安铁路职业技术学院高职单招考试模拟试卷一 数学
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式:锥体体积公式 V=

1 Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。 3
^

线性回归方程 y ? b x ? a 中系数计算公式 b ?

^

/>
^

^

? ( x1 ? x)( y1 ? y)
i ?1

n

? ( x1 ? x)
i ?1

n

,a ? y ?b

^

^

2

样本数据 x1,x2,……,xa 的标准差, 其中 x, y 表示样本均值。

2 1 ? ( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x) ? ( xn ? x) n

N 是正整数,则 an ? bn ? (a ? b)(an?1 ? an?2b ? ……abn?2 ? bn?1 ) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.设复数 z 满足 iz=1,其中 i 为虚数单位,则 A.-i B.i C.-1 D.1 2.已知集合 A= ( x, y) x, y 为实数,且 x 2 ? y 2 ? 1,B= ( x, y) x, y为实数, 且 x ? y ? 1则 A ? B 的 元素个数为 A.4

B.3

C.2

D.1

3.已知向量 a=(1,2) ,b=(1,0) ,c=(3,4) 。若 ? 为实数, ( (a ? ?b)∥c ) ,则 ? = A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

4.函数 f ( x) ?

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是 1? x
B. (1,+ ? ) D. (- ? ,+ ? ) B. (1, + ? ) D. ( ??, ? ) ? (1, ??)

A. (??, ?1) C. (-1,1)∪(1,+∞) 5.不等式 2x2-x-1>0 的解集是 A. ( ?

1 ,1) 2

C. (- ? ,1)∪(2,+ ? )

1 2

?0 ? x ? 2 ? 6.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式 ? x ? 2 ? ?x ? 2 y
动点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z= OM ·OA 的最大值为 A.3 B.4 C.3 2

给定,若 M(x,y)为 D 上的

D.4 2

7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正 五棱柱对角线的条数共有 A.20 B.15 C.12 D.10 2 2 8.设圆 C 与圆 x +(y-3) =1 外切,与直线 y =0 相切,则 C 的圆心轨迹为 A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 9.如图 1-3,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰三角形和菱形, 则该几何体体积为

A. 4 3

B.4

C. 2 3

D.2

10.设 f(x) ,g(x) ,h(x)是 R 上的任意实值函数,如下定义两个函数 ( f ? g )( x) 和 ( f ? x)( x) ; 对任意 x ∈ R , (f· g) (x)= f ( g ( x)) ; (f· g) (x)= f ( x) g ( x) .则下列恒等式成立的是 A. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) B. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) C. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) D. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 11.已知 {an } 是同等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=______

12.设函数 f ( x) ? x3 cos x ? 1,若 f (a) ? 11 ,则 f(-a)=_______ 13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 1 2 3 4 5 时间 x 命中率 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这 5 天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法,预测小李每月 6 号打篮 球 6 小时的投篮命中率为________. (二)选择题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14 . (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ?

? ? ? 5 cos? ( 0 ? ? < ? )和 y ? sin ? ?

5 2 ? ?x ? t ,它们的交点坐标为 4 (t ? R ) ? ? ?y ? t



15. (集合证明选讲选做题)如图 4,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2.E,F 分别为 AD,BC 上点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分为 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2sin( x ? (1)求 f (0) 的值; (2)设 ? , ? ?0,

1 3

?
6

) , ? ? R。

? 10 6 ? ?? ,f(3 ? ? )= ,f(3 ? +2 ? )= .求 sin( ? ? )的值 ? 2 13 5 ? 2?

17. (本小题满分 13 分) 在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分。用 xn 表示编号为 n(n=1,2,…,6)的同学所得 成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 1 2 3 4 5 编号 n 成绩 xn 70 76 72 70 72 (1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s;

(2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率。 18. (本小题满分 13 分) 图 5 所示的集合体是将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿

? , D' E ' 的中点,O , O' , O O' ? , C ' D' , DE 切面向右水平平移后得到的.A,A′,B,B′分别为 CD 1 1 2, 2
分别为 CD, C ' D ', DE, D ' E ' 的中点. (1)证明: O1' , A' , O2 , B 四点共面;
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2)设 G 为 A A′中点,延长\ AO 1 到 H′,使得 O 1H ? AO 1 .证明: BO2 ? 平面H B G

?

?

19. (本小题满分 14 分) 设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)的单调性。 20. (本小题满分 14 分) 设 b>0,数列 ?a n }满足 a1=b, a n ? (1)求数列 ?a n

nban?1 (n≥2) an?1 ? n ? 1

? 的通项公式;
n ?1

(2)证明:对于一切正整数 n,2a n ? b

+1

21. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP 的 垂直平分线上一点,且满足 ∠MPO=∠AOP (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程;

(2)已知 T(1,-1) ,设 H 是 E 上动点,求 HO + HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 T(1,-1)且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求直线 l1 的 斜率 k 的取值范围。

参考答案
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算,共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。 A 卷:1—5DBCBA 6—10CADCB 二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性。共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分,其中 14—15 题是选做题,考生只能选做一题。 11.2 12.-9 13.0.5,0.53 14. ? 1,

? 2 5? ? ? 5 ? ? ?

15.7:5

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f (0) ? 2sin ? ?

? ?? ? ? 6?

? ?2sin
(2)?

?
6

? ?1 ;

10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ?

6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? , 5 6? 2? ?3 ?
? sin ? ? 5 3 , cos ? ? , 13 5
2 2

12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ? 4 ?3? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2 2

故 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 17. (本小题满分 13 分) 解: (1)? x ?
5

5 3 12 4 63 ? ? ? ? . 13 5 13 5 65

1 6 ? xn ? 75 6 n?1

? x6 ? 6 x ? ? xn ? 6 ? 75 ? 70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? 90,
n ?1

s2 ?

1 6 1 ( xn ? x)2 ? (52 ? 12 ? 32 ? 52 ? 32 ? 152 ) ? 49 , ? 6 n?1 6

? s ? 7.

(2)从 5 位同学中随机选取 2 位同学,共有如下 10 种不同的取法: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}, 选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下 4 种取法: {1,2},{2,3},{2,4},{2,5}, 故所求概率为 . 18. (本小题满分 13 分)

2 5

? ,C ??D? 中 点 , 证 明 : ( 1 ) ? A, A?分别为CD
? O1? A? / / O1 A
连接 BO2 ? 直线 BO2 是由直线 AO1 平移得到

? AO1 / / BO2
? O1? A? / / BO2

? O1? , A?, O2 , B 共面。
(2)将 AO1 延长至 H 使得 O1H=O1A,连接 HO1? , HB, H ?H // ? 由平移性质得 O1?O2? =HB

? BO2? / / HO1?

? ? A?G ? H ?O1? , H ?H ? A?H ?, ?O1? H ?H ? ?GA?H ? ? 2
? ?GA?H ? ? ?O1? H ?H

? ?H ?O1? H ? GH ?A ?
? O1? H ? H ?G ? BO2? ? H ?G

?
2

? O1?O2? ? B ?O2? , O1?O2? ? O2?O2 , B ?O2? ? O2?O2 ? O2? ? O1?O2? ? 平面B ?BO2 O2? ? O1?O2? ? BO2?

? BO2? ? H ?B ?
? H ?B? ? H ?G ? H ?

? BO2? ? 平面H ?B ?G.
19. (本小题满分 14 分) 解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??).

f ?( x) ?

2a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 , x

当a ?1 时,方程2a(1-a)x2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? 0 的判别式

1? ? ? ? 12(a ? 1) ? a ? ? . 3? ?
①当 0 ? a ?

1 时, ? ? 0, f ?( x) 有两个零点, 3

x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? ? 0, x2 ? ? 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)

且当 0 ? x ? x1或x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, x1 )与( x2 , ??) 内为增函数; 当 x1 ? x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在( x1 , x2 ) 内为减函数;

1 ? a ? 1时, ? ? 0, f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(0, ??) 内为增函数; 3 1 ③当 a ? 1时, f ?( x) ? ? 0( x ? 0), f ( x)在(0, ??) 内为增函数; x
②当 ④当 a ? 1 时, ? ? 0, x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) 1 ? ? 0, 2a 2a(1 ? a)

x2 ?

(a ? 1)(3a ? 1) 1 ? ? 0, 所以f ?( x) 在定义域内有唯一零点 x1 , 2a 2a(1 ? a)
内 为 增 函 数 ; 当 x ? x1 时 ,

且 当 0 ? x ? x1时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, x1 )

f ?( x? )
0?a? 1 3

内为减函数。 0 f,在 x (1 ) ?x ?( , )

f ( x) 的单调区间如下表:
1 ? a ?1 3
a ?1

(0, x1 )

( x1 , x2 )

( x2 , ??)

(0, ??)

(0, x1 )

( x1 , ??)

(其中 x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ) ? , x2 ? ? 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 a1 ? b ? 0, 知an ?

nban?1 ?0 an?1 ? n ? 1

n 1 1 n ?1 ? ? an b b an?1
令 An ?

n 1 , A1 ? , an b

当 n ? 2时, An ?

1 1 ? An ?1 b b 1 1 1 ? ? ? ? n ?1 ? n ?1 A1 b b b 1 1 1 ? ? ? ? n ?1 ? n . b b b

1? 1 ? ?1 ? n ? bn ? 1 b? b ? ? n ①当 b ? 1时, An ? 1 b (b ? 1) 1? b
②当 b ? 1 时, An ? n.

? nb n (b ? 1) ,b ? 1 ? ? an ? ? b n ? 1 ?1, b ? 1 ?
2nb n (b ? 1) ? b n ?1 ? 1, (2)当 b ? 1时,( 欲证2 an ? n b ?1
只需 2nb ? (b
n n ?1

? 1)

bn ? 1 ) b ?1

? (bn?1 ? 1)

bn ? 1 ? b2 n ? b2 n?1 ? ? ? bn?1 ? bn?1 ? bn?2 ? ? ? 1 b ?1

1 1 1? ? ? bn ? bn ? n ? bn?1 ? n?1 ? ? ? b ? ? b? b b ?

? bn (2 ? 2 ? ? ? 2) ? 2nbn ,

? 2an ?

2nb n (b ? 1) ? 1 ? b n ?1 . n b ?1

综上所述 2an ? bn?1 ? 1. 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图 1,设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线,交 OP 于点 Q,

? ?MPQ ? ?AOP,? MP ? l , 且 | MO |?| MP | .
因此 x ? y ?| x ? 2 |, 即
2 2

y 2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1).



另一种情况,见图 2(即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧) 。

? MQ 为线段 OP 的垂直平分线,
??MPQ ? ?MOQ.
又? ?MPQ ? ?AOP,??MOQ ? ?AOP. 因此 M 在 x 轴上,此时,记 M 的坐标为 ( x,0). 为分析 M ( x,0)中x 的变化范围,设 P(?2, a) 为 l 上任意点 (a ? R). 由 | MO |?| MP | (即 | x |?

( x ? 2) 2 ? a 2 )得,

1 x ? ?1 ? a 2 ? ?1. 4
故 M ( x,0) 的轨迹方程为

y ? 0, x ? ?1
综合①和②得,点 M 轨迹 E 的方程为



?4( x ? 1), x ? ?1, y2 ? ? x ? ?1. ?0,

(2)由(1)知,轨迹 E 的方程由下面 E1 和 E2 两部分组成(见图 3) :

E1 : y2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1) ;
E2 : y ? 0, x ? ?1.
当 H ? E1 时,过T作垂直于 l 的直线,垂足为 T ? ,交 E1 于 D ? ? 再过 H 作垂直于 l 的直线,交 l于H ?. 因此, | HO |?| HH ? | (抛物线的性质) 。

? 3 ? , ?1? 。 ? 4 ?

? | HO | ? | HT |?| HH ? | ? | HT |?| TT ? |? 3 (该等号仅当 H ?与T ? 重合(或 H 与 D 重合)时
取得) 。 当 H ? E2 时,则 | HO | ? | HT |?| BO | ? | BT |? 1 ? 5 ? 3. 综合可得,|HO|+|HT|的最小值为 3,且此时点 H 的坐标为 ? ? (3)由图 3 知,直线 l1 的斜率 k 不可能为零。 设 l1 : y ? 1 ? k ( x ? 1)(k ? 0). 故x ?

? 3 ? , ?1? . ? 4 ?

1 4 ?4 ? ( y ? 1) ? 1, 代入E1 的方程得: y 2 ? y ? ? ? 8 ? ? 0. k k ?k ?

因判别式 ? ?

16 ?4 ? ?4 ? ? 4 ? ? 8 ? ? ? ? 2 ? ? 28 ? 0. 2 k ?k ? ?k ?

2

所以 l1 与 E 中的 E1 有且仅有两个不同的交点。 又由 E2 和 l1 的方程可知,若 l1 与 E2 有交点, 则此交点的坐标为 ?

k ?1 1 ? k ?1 ? ,0 ? , 且 ? ?1.即当 ? ? k ? 0时, l1与E2 有 唯 一 交 点 k 2 ? k ?

? k ?1 ? , 0 ? ,从而 l1 表三个不同的交点。 ? ? k ?
因此,直线 l1斜率k 的取值范围是 ( ??, ? ] ? (0, ?? ).

1 2


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