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江苏徐州市五县一区2015~2016学年度第一学期期中考试高二数学试题word版


江苏徐州市五县一区 2015~2016 学年度第一学期期中考试高二数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.点 P (1,2) 直线 y ? ?1 的距离 ▲ . ▲ . .

2.点 P ( 2,?2,1) 关于 xOz 平面对称点是
2

>
3.命题“ ?x ? R, 有 x ? 0 ”的否定为 ▲

4.经过点 A( 2,?3) 且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为 ▲ . 5.方程 x 2 ? y 2 ? x ? y ? m ? 0 表示一个圆,则 m 的取值范围是 6.过三点 A( ?4,0), B(0,2) 和原点 O(0,0) 的圆的方程 ▲ . ▲ .

7.已知两条直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m, l 2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8. 若直线 l 1 与直线 l 2 平行,则实数

m?



.

8.已知 ? , ? 是不同的平面, m, l 是不同的直线,给出下列 4 个命题: ①若 l // ? , m ? ? , 则 l // m; ②若 l ? ? , l // ? , ? ? ? ? m, 则 l // m; ③若 l // m, m ? ? 则 l // ? ;④若 l ? ? , m // ? , 则 l ? m . 则其中真命题为 ▲ (写出所有真命题的序号) . ▲ .

9.若命题“ ?x ? R, x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围为

10.空间四个点 P , A, B, C 在同一个球面上, PA 、 PB 、 PC 两两垂直,且 PA ? PB ? PC ? a, 那么这 个球的表面积是 ▲ . ▲ .

2 2 11.直线 y ? kx ? 2 被圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 所截得的弦长为 2 3 ,则实数 k 的值为

12.过点 A(4,2) 作圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 的切线 l , 则切线 l 的方程为





2 2 13.已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0, 若以直线 l : y ? x ? b 被圆 C 所截得的弦 AB 为直径的圆过

原点,则实数 b ?



. ▲ .

2 14.若方程 1 ? ( x ? a ) ? x ? 2 有两个不同的实数根,则实数 a 的取值范围为

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤.

1

15.(本小题满分 14 分) 已知直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 和 l 2 : 3 x ? y ? 1 ? 0 (1)求过直线 l 1 和 l 2 的交点且与直线 l 3 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线方程; (2)求直线 l 1 和 l 2 的交点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAB ? 平面 ABCD , BC // 平面 PAD, ?PBC ? 90?

?PBA ? 90 ?.
求证: (1) AD // 平面 PBC; (2)平面 PBC // 平面 PAB . P A

D C

B

2

17.(本小题满分 14 分)

?x2 ? x ? 6 ? 0 设 p : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0, 其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足 ? 2 ?x ? 2x ? 8 ? 0
2 2

(1)若 a ? 2 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱垂直于底面, AB ? BC , AA1 ? AC ? 2, BC ? 1 ,

E , F 分别为 A1 C 1 、 BC 的中点.
(1)求证:平面 ABE ? 平面 B1 BCC 1 ; (2)求证: C 1 F // 平面 ABE ; (3)求三棱锥 E ? ABC 的体积.

A1

E

C1 B1

A
B

F

C

3

19. (本小题满分 16 分) 如图:已知 A, B 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 与 x 轴的交点, P 为直线 l : x ? 4 上的动点, PA, PB 与圆的另一个 交点分别为 M , N . (1) 若 P 点坐标为 ( 4,6) , 求直线 MN 的方程; (2)求证:直线 MN 过定点. A O N M P

B

20.(本小题满分 16 分) 在平面直线角坐标系 xOy 中,已知直线 l : 8 x ? 6 y ? 1 ? 0 ,圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 8 x ? 2 y ? 13 ? 0, 圆

C 2 : x 2 ? y 2 ? 8tx ? 8 y ? 16t ? 12 ? 0.
(1)当 t ? ?1 时,试判断圆 C 1 和圆 C 2 的位置关系,并说明理由; (2)若圆 C 1 和圆 C 2 关于直线 l 对称,求 t 的值; (3)在(2)的条件下,若 P(a, b) 为平面上的点,是否存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l 1 和 l 2 , 它们分别与圆 C 1 和 C 2 相交,且直线 l 1 被圆 C 1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,若存在,求 点 P 的坐标,若不存在,请说明理由.

4

2015~2016 学年度第一学期期中考试 高二数学参考答案
一、填空题: 1. 3 2. P(2, 2,1) 5. m ? 3. 存在 x0∈R,x0<0
2
2

4. x ? 2 y ? 8 ? 0 8. ②④

1 2

6.( x +2)

+(y-1)2 =5
2

7. ?7

9. (1 ? 2 2 ,1 ? 2 2 ) 12.

10. 3?a

11 .

k = 0 或k =

4 3
14. (2 ? 2 ,1]

y = 4 或 3x + 4 y - 20 = 0

13. b = 1 或 --4

二、解答题 15.解: (Ⅰ)由 ?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ,解得交点坐标为 ?1, ?4? ----------------3 分 ?3x ? y ? 1 ? 0
2 , 3

因为所求直线与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行,则所求直线方程的斜率为 ?

所求直线方程为 2 x ? 3 y +10 ? 0 ----------------------------------7 分 (Ⅱ)由(1)知两直线的交点坐标为 (1,?4) 所以点到直线的坐标为 d ?

1? 4 ?1 2

?

6 2

? 3 2 ---------------14 分

16. 【证】(1)因为 BC//平面 PAD, 而 BC ? 平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 PAD = AD, 所以 BC//AD 因为 AD ? 平面 PBC,BC ? 平面 PBC,所以 AD // 平面 PBC

----------------7 分

P

A H B C

D

(2)自 P 作 PH ? AB 于 H,因为平面 PAB ? 平面 ABCD ,且平面 PAB ? 平面 ABCD =AB, 所以 PH ? 平面 ABCD --------------------------------10 分 因为 BC ? 平面 ABCD,所以 BC ? PH.因为 ?PBC ? 90? ,所以 BC ? PB, 而 ?PBA ? 90? ,于是点 H 与 B 不重合,即 PB ? PH = H. ----------------12 分 因为 PB,PH ? 平面 PAB,所以 BC ? 平面 PAB
5

因为 BC ? 平面 PBC,故平面 PBC ? 平面 AB
2 2

-----------------------------14 分

17 解: 由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 , 又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a , 当 a ? 2 时,2﹤a﹤6,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 2﹤a﹤6. ---------2 分

2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 由? 2 ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . ----4 分 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 (Ⅱ) ? p 是 ? q 的充分不必要条件,即 ? p ? ? q ,且 ? q 设 A= {x | ?p} ,B= {x | ?q} ,则 A

------------7 分

? ? ?p ,

B , -----------------------------------10 分

又 A= {x | ?p} = {x | x ? a或x ? 3a} , B= {x | ?q} = {x ? 2或x ? 3 }, ---------12 分 则 0< a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 ----------------14 分

18.解: (I)在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, BB 1 ? 底面 ABC,所以 BB 1 ? AB,----------3 分 又因为 AB⊥BC,所以 AB⊥平面 B1BCC1 ,所以平面 ABE ? 平面 B1BCC1 .-----------6 分 (II)取 AB 中点 G,连结 EG,FG, 因为 E,F 分别是 AC 1 1 、 BC 的中点,所以 FG∥AC,且 FG=

1 AC, 2

因为 AC∥ AC 1 1 ,且 AC= AC 1 1 ,所以 FG∥ EC1 ,且 FG= EC1 , 所以四边形 FGEC1 为平行四边形,所以 C1F // EG,-----------------------------8 分 又因为 EG ? 平面 ABE, C1F ? 平面 ABE, 所以 C1F // 平面 ABE .---------------10 分 (III)因为 AA1 =AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以 AB= 所以三棱锥 E ? ABC 的体积为: V ?

AC 2 ? BC 2 ? 3 ,------------14 分

1 1 1 3 S?ABC ? AA1 = ? ? 3 ? 1? 2 = .--------16 分 3 3 2 3

19. 解(1)直线 PA 方程为 y ? x ? 2 , 由 ?

?y ? x ? 2
2 2 ?x ? y ? 4

解得 M (0, 2) ,

直线 PB 的方程 y ? 3x ? 6 ,由 ? 所以 MN 的方程 y ? ?2 x ? 2

? y ? 3x ? 6 ?x ? y ? 4
2 2

解得 N ( , ? ) , ----------4 分

8 5

6 5

----------------------------------------6 分

6

(2)设 p(4, t ) ,则直线 PA 的方程为 y ?

t t ( x ? 2) ,直线 PB 的方程为 y ? ( x ? 2) 6 2
---------10 分

? x2 ? y 2 ? 4 72 ? 2t 2 24t 2t 2 ? 8 ?8t ? M ( , ) N ( , ) 得 , 同理 ? t 36 ? t 2 36 ? t 2 4 ? t2 4 ? t2 ? y ? ( x ? 2) 6 ?

24t ?8t ? 2 t 2 ? 8t 直线 MN 的斜率 k ? 36 ? t 2 4 ? 2 72 ? 2t 2t ? 8 12 ? t 2 ? 36 ? t 2 4 ? t2

-------------------------12 分

8t 2t 2 ? 8 8t (x ? )? 直线 MN 的方程为 y ? , -------------------------14 分 2 2 12 ? t 4?t 4 ? t2
化简得: y ?

8t 8t x? 2 12 ? t 12 ? t 2
--------------- -------------------------16 分

所以直线 MN 过定点 (1, 0) 20.解: (1) t ? ?1 时 圆 C1 的圆心 C1 (?4,1) 圆 C2 的圆心 C2 (4, 4) 圆心距 | C1C2 |?

半径 r1 ? 2 半径 r2 ? 6

(4 ? 1) 2 ? (4 ? 4) 2 ? 73 ? r1 ? r2 ? 8 --------------- -2 分

? 两圆相离--------------- --------------- --------------- -------4 分
(2)圆 C2 圆心 C2 (?4t , 4)
2 半径 r2 ? 16t ? 16t ? 4

?? C1 与 ? C2 关于直线 l 对称,又直线 l 的斜率 kl ? ?
3 ? 4 ?1 ? ?4t ? 4 ? 4 ? 4 ?1 ? ?4t ? 4 ? 6? ?1 ? 0 由 ?8 ? 2 2 ? ?16t 2 ? 16t ? 4 ? 4 ? ?

4 3

-----------------------------------6 分

得 t ? 0 , 即 t 的值为 0-----------------------------------------------8 分 (3)假设存在 P (a, b) 满足条件: 不妨设 l1 的方程为 y ? b ? k ( x ? a)(k ? 0) 则 l2 的方程为 y ? b ? ?
2

1 ( x ? a ) ---------------------------------------10 分 k
2

因为圆 C1 : ( x ? 4) ? ( y ?1) ? 4 和圆 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 4 的半径相等, 又直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直 线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 距离,和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等:即

7

| ?4k ? 1 ? b ? ka | k 2 ?1

a | 4?b? | k ---------------------12 分 ? 1 1? 2 k

整理得 | (a ? 4)k ? b ? 1|?| (b ? 4)k ? a | 即 (a ? 4)k ? b ? 1 ? (b ? 4)k ? a 或 (a ? 4)k ? b ? 1 ? (4 ? b)k ? a 即 (a ? b ? 8)k ? a ? b ? 1 ? 0 或 (a ? b)k ? a ? b ? 1 ? 0 因为 k 取值无穷多个 所以 ?

?a ? b ? 8 ? 0 ?a ? b ? 0 或? ----------------------------------------14 分 ? ? a ? b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0

7 ? 1 ? a?? a?? ? ? ? 2 ? 2 解得 ? 或? ?b ? 9 ?b ? 1 ? ? ? 2 ? 2
7 9 1 1 , ) , P2 ( ? , ) ? 这样的点 P 可能是 P 1 (? 2 2 2 2
经检验 P 1, P 2 符合题意

7 9 1 1 ? 所求点 P 的坐标为 (? , ) 和 (? , ) -----------------------------------16 分 2 2 2 2

8


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